高三一轮学案5圆锥曲线.docx

圆锥曲线
一、椭圆的标准方程与几何性质
（一）求标准方程
1. 已知椭圆的两个焦点分别为，且过点，求方程。

2. 已知椭圆过两个点，求方程。

3. 已知椭圆过两个点，求方程。

4. 已知为椭圆的两个焦点，过作弦，且的周长为16，椭圆离心率为，求方程。

（二）求离心率或离心率的范围
1. 椭圆的两个焦点为，若为椭圆上一点，且，求离心率的取值范围。

2. 设椭圆上存在一点，它与椭圆中心的连线和它与长轴一个端点的连线相互垂直，求离心率的取值范围。

3. 设为椭圆上一点，为焦点，，求椭圆离心率。

4. 已知为椭圆焦点，为椭圆上一点，，求椭圆离心率的取值范围。

椭圆测试题
一、选择题：
1．若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（ ）
A．（0，+∞） B．（0，2） C．（1，+∞） D．（0，1）
2．设定点F1（0，－3）、F2（0，3），动点P满足条件，则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段
3．椭圆和具有（ ）
A．相同的离心率 B．相同的焦点 C．相同的顶点 D．相同的长、短轴
4．椭圆上的点到直线的最大距离是（ ）
A．3 B． C． D．
5．若椭圆的短轴为,它的一个焦点为,则满足为等边三角形的椭圆的离心率是 ( )
A. B. C. D.
6．若直线和⊙O∶没有交点,则过的直线与椭圆的交点个数　 )
A.至多一个　　 B.2个 　　C.1个　　 D.0个
7．过点M（－2，0）的直线m与椭圆交于P1，P2，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1（），直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为（ ）
A．2 B．－2 C． D．－
二、填空题：
8．离心率，一个焦点是的椭圆标准方程为 ___________ .
9．与椭圆4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为_______________．
10．已知是椭圆上的点，则的取值范围是________________ ．

11．已知椭圆Ｅ的短轴长为6，焦点Ｆ到长轴的一个端点的距离等于９，则椭圆Ｅ的离心率等于__________________．
12．在中,,若以A,B为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率________

三、解答题：
13．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率，短轴长为，求椭圆的方程．(12分)

14．过椭圆引两条切线PA、PB、A、
B为切点，如直线AB与x轴、y轴交于M、N两点．
（1）若，求P点坐标；
（2）求直线AB的方程（用表示）；
（3）求△MON面积的最小值．（O为原点）(12分)

15．椭圆＞＞与直线交于、两点，且，其中为坐标原点.
（1）求的值；
（2）若椭圆的离心率满足≤≤，求椭圆长轴的取值范围.(12分)

16．一条变动的直线L与椭圆+=1交于P、Q两点，M是L上的动点，满足关系|MP|·|MQ|=2．若直线L在变动过程中始终保持其斜率等于1．求动点M的轨迹方程，并说明曲线的形状．（14分）

二、双曲线的定义及其标准方程

知识点一：双曲线定义的应用：
1、 双曲线的左右焦点分别是， ，过的直线交双曲线的左支于两点，且，求的面积。

2、已知双曲线的左右焦点分别是， ，点在双曲线上，
（1）若，求的面积；（2）若，求的面积。

3、已知双曲线的左右焦点分别是， ，点在双曲线上，且，求的面积。

4、已知双曲线的左右焦点分别是，，点在双曲线上，且，求的面积。

5、已知双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值是_______ ．

6、已知双曲线与椭圆有相同的焦点，是两条曲线的交点，则______ ．

知识点二：对双曲线的标准方程的认识：
1、如果方程表示双曲线，则的取值范围是_______ ．

2、如果方程表示双曲线，则的取值范围是_______ ．

3、已知双曲线的一个焦点坐标为，则的取值为_______ ．

4、已知双曲线的一个焦点坐标为，则的取值为_______ ．

5、已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则______ ．

6、如果方程表示的图形是：（1）双曲线；（2）椭圆；（3）圆。分别求出的取值范围，并写出（1）、（2）的焦点坐标。

知识点三：求双曲线的标准方程：

1、求满足下列条件的动圆圆心的轨迹方程：
（1）与圆内切，并且过点；

（2）与圆和圆都外切；

（3）与圆外切，且与圆内切。

2、求满足下列条件的双曲线标准方程：
（1）焦点为，，经过点；
（2）经过，两点。

三、双曲线的几何性质
知识提要：①渐近线：令
②准线：或，离心率：
③第二定义：双曲线上点到焦点的距离与到准线的距离之比为离心率

题型一：双曲线几何性质的探求
1、求双曲线（1） （2）的实轴长，虚轴长，焦点和顶点坐标，离心率及渐近线方程。

题型二：求双曲线的方程
1、渐近线方程为，焦点为，求双曲线方程。

2、渐近线方程为，焦点在轴上，实轴长为12，求双曲线方程。

3、渐近线方程为，，经过点，求双曲线方程。

4、求与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线方程。

5、求过点，且对称轴是坐标轴的等轴双曲线的方程。

6、已知双曲线顶点为6，渐近线方程为，求双曲线方程。

7、求以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线方程。

题型三：求双曲线的离心率或离心率的取值范围
1、双曲线的焦距为，直线过点，且原点到的距离为，求双曲线离心率。

2、双曲线的焦距为，直线过点，且点到的距离与点到的距离之和，求双曲线离心率取值范围。

3、设点在双曲线的右支上，焦点为，若，求双曲线离心率的取值范围。

四、抛物线
知识要点：1、定义：
或
2、焦半径：或
焦点弦：（为焦点弦的倾斜角）
，以为直径的圆与准线相切
通径（与轴垂直的焦点弦）：

题型一：抛物线的定义理解
1、已知点P在抛物线上。
（1）若点P的横坐标为2，求点P到抛物线焦点的距离；
（2）若点P到抛物线焦点的距离为4，求点P的坐标。

2、已知抛物线的焦点在y轴上，点是抛物线上的一点，M到焦点的距离是5，求m的值及抛物线的标准方程，准线方程。

3、已知圆，直线，求与直线相切且与圆F外切的圆的圆心M的轨迹方程。

4、在抛物线上求一点，使其到焦点F与到点的距离之和最小。

5、已知抛物线，点P是抛物线上的动点，点，求点P到点A的距离与到x轴的距离之和的最小值。

6、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个三角形的边长。

7、过抛物线上一点作倾斜角互补的两条直线交抛物线于，求证：直线BC的斜率是定值。

8、A，B为抛物线上两点，O为原点，若，求证：直线AB过定点。

题型二：焦点弦相关问题
1、斜率为1的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。

2、抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程。

3、过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A在y轴左侧），求的值。

4、直线l经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，且与抛物线交于P、Q两点，由P、Q分别向准线引垂线PR、QS，垂足分别为R、S.如果|PF|＝a，|QF|＝b，M为RS的中点，
（1）求证：以为直径的圆与抛物线准线相切
（2）求证：；（3）求|MF|（用表示）.

五、圆锥曲线的共同性质与综合应用
题型一：点差法、中点弦
1、过点M（－2，0）的直线m与椭圆交于P1，P2，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1（），直线OP的斜率为k2，则k1k2=_________.

2、过点且被点M平分的双曲线的弦所在直线方程为 ．

3、已知双曲线，过点能否作一条直线与双曲线交于A，B两点，使P为AB的中点？

4、若椭圆与直线交于A，B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为，又，求的值。

题型二：过定点的直线与圆锥曲线交点个数问题
1、已知双曲线方程为，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有（ ）条。
2、设双曲线C的方程为，直线的方程是，当k为何值时，直线与双曲线C
（1）有两个公共点？
（2）有一个公共点？
（3）没有公共点？

题型三：直线与圆锥曲线交点问题（弦长公式）
1、过双曲线的右焦点F作直线与双曲线交于A，B两点，若AB=4，则这样的直线有（ ）条。

题型四：第二定义
1、如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A．B，交其准线于点C，若，且，则此抛物线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2、设点P是双曲线上一点，焦点F（2，0），点A（3，2），使|PA|+|PF|有最小值时，则点P的坐标是______．

3、AB是抛物线的一条弦，若AB的中点到x轴的距离为1，则弦AB的长度的最大值为 .

六、求轨迹方程
（一）直接法
当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.
1.已知点、动点满足，则点的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

2.已知圆，过圆上一动点M作平行于x轴的直线m，设直线m与y轴交点为N，若向量，求动点Q的轨迹方程.

3.（2010四川文数）已知定点，定直线，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍，设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B，C两点，直线AB、AC分别交l于点M，N.
（1）求E的方程.

（2）试判断以MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.

4.设，直线相交于，且
（1）求M点轨迹方程.

（2）过点作直线l交（1）中轨迹于不同两点E，F（E在D，F之间），试求与面积之比的取值范围（O为原点）.

（二）定义法
定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.
1.已知中，、、的对边分别为、、，若依次构成等差数列，且，，求顶点的轨迹方程.

2.由动点P向圆引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，，求动点P的轨迹方程.

3.设圆内部一点与圆上动点Q连线AQ的中垂线交CQ于P，求点P的轨迹方程.

（三）代入法
当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点P的坐标x，y来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点P的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法.
1.已知点，点P是圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程.

2.过定点任作互相垂直的两直线，且与x轴交于点M，与y轴交于点N，求线段MN中点P的轨迹方程.

3.点是圆内的一点，A，B是圆上的两个动点，
且满足，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.

4.（2011安徽）设，点A的坐标为（1,1），点B在抛物线上运动，点Q满足，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足，求点P的轨迹方程。

（四）交轨法
1.（2012辽宁）如图，椭圆：，a，b为常数)，
动圆，。点分别为的左，右顶点，
与相交于A，B，C，D四点，求直线与直线交点M的轨迹方程.

2. 如右图，垂直于轴的直线交双曲线于、两点，为双曲线的左、右顶点，求直线与的交点的轨迹方程，并指出轨迹的形状.

（五）参数法
参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标x，y间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到x，y间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.
1.过抛物线（）的顶点作两条互相垂直的弦、，求弦的中点的轨迹方程.