培养几何直观.doc

永州市小学数学教研参评论文
浅谈小学数学教学中如何培养学生的几何直观能力
作者姓名 黄艳秀
工作单位 宁远县莲花小学
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【摘要】：什么是几何直观？《义务教育阶段数学课程标准（2011年版）》是这样定义的：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。如何帮助学生建立几何直观，第一要重视直观感知，感受图形的好处。。第二，重视画图指导，养成画图的习惯。第三，重视变换，让图形动起来，把握图形与图形之间的关系。第四，在学生头脑中建立一些基本图形的表象。
【关键词】： 几何直观 几何直观能力 小学数学教学 解决问题 数学问题 直观感知
一、几何直观概念的内涵
什么是直观？数学家克莱因认为“数学的直观就是对概念、证明的直接把握”，而西方哲学家通常认为“直观就是未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察，直接把握对象的全貌和对本质的认识”；心理学家则认为“直观是从感觉的具体的对象背后，发现抽象的、理想的能力”。蒋文蔚指出，几何直观是一种思维活动，是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态。
什么是几何直观？《义务教育阶段数学课程标准（2011年版）》是这样定义的：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。标准提出了数学数学学习内容的十个核心概念：数感、符号意识、空间观念和几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。课标指出“图形与几何”的教学主要意在帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力。几何直观主要是指利用图形描述和分析数学问题，可以把复杂的数学问题变得简明、形象。几何直观不仅在“图形与几何”的学习中发挥着不可替代的作用，而且贯穿在整个数学学习过程中。
二、几何直观的作用
数学是研究数量关系与空间形式的科学。空间形式最主要的表现就是图形。在数学研究、学习、讲授中，不仅需要关注研究图形的方法、研究图形的结果，还需要感悟图形给我们带来的好处，几何直观就是在“数学――几何――图形”这样的一个关系链中让我们体会到它带来的最大好处。德国数学家希尔伯特在他的著作《几何直观》中讲到了几何直观的三个维度：1．图像可以帮助刻画和描述问题。2．图像可以帮助发现和寻找解决问题的思路。3．图形可以帮助表述一些结果，可以帮助记忆一些结果。《义务教育阶段数学课程标准（2011年版）》也指出：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。几何直观所指有两点：一是几何，这是主要是指图形；二是直观，这里的直观不仅仅是指直接看到的东西（直接看到的是一个层次），更重要的是依托现在看到的东西，以前看到的东西进行思考、想象、综合起来，几何直观就是依托、利用图形进行数学的思考和想象。它在本质上是一种通过图形所展开的想象力。用最通俗的话说几何直观，就是看图想事，看图说理，也包括想图、画图、表达想法。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。例如，四年级有学生100人，五年级的学生是四年级的4倍，五年级的学生人数比四年级多多少人？一般解法为：100×4－100＝300（人）。但线段图的应用使学生能有更简便的解答方法。先表示数量（画线段图略）， 再分析数量关系。仔细看图可得知：四年级人数是1倍量，五年级的人数是4个1倍量，五年级比四年级人数多了几个1倍量，那么求五年级的学生人数比四年级多多少也就是求多几个1倍量，列式为100×（4－1）＝300（人）。学生们轻而易举地就解答了问题，而且更有乐趣。在小学一年级下册教学用两步计算来解决问题：猴弟弟摘了4个桃，猴哥哥比猴弟弟多摘了3个桃。猴哥哥和猴弟弟共摘了多少个桃？有很多小朋友算共摘3+4=7（个），如果老师让他们画图先理解意思，基本上都会算3+4=7(个）是猴哥哥摘的，共摘了7+4=11（个）。这足以说明几何直观在数与代数的的教学中发挥了作用，把复杂的数学问题变得简明，形象。
三、 那么在教学中如何培养学生的几何直观能力呢？
这个学期我参加了2012年的国培学习，下面我结合国培学习中听到的专家讲座和自己的教学实践来谈一谈小学数学课堂教学中如何培养学生的几何直观能力。
（一） 重视直观感知，感受图形的好处。
无论计算还是证明，逻辑的、形式的结论都是在形象思维的基础上产生的。在小学数学教学中，运用直观教学手段，通过画图（线段图、面积图、示意图等）将复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路。例如在教学《搭配中的学问》，出示三件上衣和两条裤子，让学生想一想：“一件上衣和一条裤子，共有几种搭配方法？”。引导学生用画图的方式来表示出搭配的情况，如用三个圆代表三件上衣，并用数字加以区分，用两个长方形代表两条裤子，并用数字加以区分，再引导学生用连线的方法表示出搭配的方法。接着引导学生看图说一说搭配的方案，让学生感受画图不仅能清楚地表达出每一种搭配的方案，还能直观地表明共几种搭配方法，让学生感受画图的价值。低年级学生年龄小，理解能力有限，学习应用题有一定困难。在这种情况下，引导学生用线段图表示题中数量，能使数量关系更直观形象，从而让应用题化难为易，简单易学。例如，小淘气有故事书25本，比笑笑少12本，笑笑有多少本？这道题看似容易，但“比（ ）多（ ）”“比（ ）少（ ）”的应用题是教学的一个难点，很多学生都弄不清楚，而线段图的正确使用就能避免学生出现错误的判断。在教学小数除以整数一课，如何让学生理解小数除以整数的算理，我也采用了画图的策略。结合图示说算理。用11个小正方形表示11个1，用涂色部分表示0.5,把11.5元平均分给5袋牛奶，每袋2元，还剩1.5元。1元不能直接分，把1.5元转化成15角，也就是15个0.1，平均分给5袋牛奶，每袋3角，也就是3个0.1元，2元和0.3元就是2.3元。当图形直观的呈现分不完有剩余的情况下，我们就把余下的数转化成计数单位更小的数进行计算。小学生正处在形象思维向抽象思维过渡的阶段。图示，把抽象的算理变得直观可见，学生一下子就明白小数除以整数的计算方法，理解了商的小数点为什么要和被除数的小数点对整齐。几何直观凭借图形的直观性特点将抽象的数学语言转化成直观的图形，让学生由形象思维慢慢过渡到抽象思维，帮助学生灵活的思维，开启智慧的大门。
在教学中，我们可以通过多种途径和方式，让学生体会到画图对理解概念、寻求解题思路带来的益处，进而产生画图的兴趣，培养学生初步的几何直观能力。
（二） 重视画图指导，养成画图的习惯。
在日常教学中，帮助学生养成画图的习惯是非常重要的，它有助于学生几何直观能力的培养。在教学时，能画图时尽量画图，它能将相对抽象的思考对象“图形化”，尽量把问题、计算、证明等数学的过程变得直观，直观了就容易展开想象思维。所以在教学中，我们要重视画图指导，让学生逐步养成画图习惯。例如线段图的形象性能帮助学生理解抽象的数量关系，进而解决问题，所以要重视培养学生利用画线段图分析问题、解决问题的能力。而在培养学生画线段图的能力时。在教学中，我根据不同年级制定相应的目标（每次在解决问题时都要画一画图），以求细水长流，达成最终目标。对于低年段学生，我对线段图教学的具体要求以放低些，如让学生看懂线段图，通过看线段图编应用题来训练他们的语言表达能力，并且可以通过看线段图列出算式，使学生能较清晰地表达题意和数量关系。我通过让低年级的学生看图编应用题，说出线段图的题意及数量关系，锻炼了学生的理解能力与口头表达能力，从而让学生达到“眼见为熟”的程度。对于中年段学生，我要求他们根据线段图的方法分析数量关系，能根据教师要求用较简洁的方式表示题意，初步尝试用画线段图的方法解决一些问题，初步渗透画线段图方法的指导。对于高年段学生，我则要求学生能自主、灵活地采用画线段图的方法来解决一些问题，鼓励学生运用线段图进行解题分析，具有独立画一个正确、完整的线段图的能力。一个良好的画图习惯的培养不是一朝一夕的，需要长期地培养，这样学生才能更好地利用图形来描述和分析问题。
（三）重视图形变换，建立运动的表象。
几何变换或图形的运动是几何、也是整个数学中很重要的内容，它既是学习的对象，也是认识数学的思想和方法。变换又可以看做运动，让图形动起来，在头脑中建立运动的表象，留住一些图形。例如在教学《图形的旋转》时，先出示一幅图片（如风车图），让学生观察图形的特点，再借助多媒体课件演示图形的变换过程，这样学生可以直观、形象地观察到图形的运动过程，进而在头脑中建立图形运动的表象，这样学生就能更好地理解有关旋转的知识。比如圆面积公式的推导。学生会计算平行四边形的面积，通过分割与拼组，把圆形转化成近似的平行四边形。通过动手操作，感知平行四边形的底就是圆周长的一半,平行四边形的高是圆的半径。因为平行四边形的面积等于底乘高，所以圆的面积等于πr² 。化静为动，让学生经历了圆面积公式的形成过程.为学生的空间想象打基础，为直观洞察做铺垫，并且利用几何直观帮助学生理解了圆面积与圆半径之间的数量关系。在短时间内完成教学目标，提高课堂的成效。
所以，在教学中，我们要充分利用变换去认识、理解几何图形，这是培养几何直观的好方法。此外，教师还可以充分借助多媒体现代化教育技术，向学生展现具体、形象、直观、声画并茂的视听线段图材料，充分调动学生的多种感官参与学习。

（四）在学生头脑中建立一些基本图形的表象。
点、线、面、体这些可帮助人们有效的刻画错综复杂的世界。要培养学生的几何直观能力，必须理解几何形体的本质属性，形成正确、清晰的几何概念。几何概念是人们在长期的生活、生产实践中，通过对大量的现实世界的空间形式进行高度的抽象概括后得到的。所以我们要重视引导学生进行观察等感知活动，使学生形成几何形体的表象，得到正确清晰的几何概念。例如怎样认识长方体和正方体？教材没有给长方体下定义，而是通过课本中图形的观察，指出某些物体的形状是长方体。但是由6个面、12条棱、8个顶点所组成的立体不一定都是长方体，所以在教学时，就要拿出学生熟悉的日常生活中的实物，如装食品的纸盒、铅笔盒、保健箱等，引导学生仔细观察这些实物的面、棱、顶点的情况。然后把作为教具的空纸盒展开成平面图（相对的面和相对的棱课前分别涂上不同的颜色，），让学生观察、比较一下，着重加深对长方体的“6个面都是长方形（也可能有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等”、“相对的棱的长度相等”的认识，使具体事物的形象在头脑里得到全面的反映，从而使学生对长方体的理解更加深刻。接着再引入正方体的知识，学生通过对实物和平面展开图的观察，突出正方体这一属概念所具有的，区别于其它属概念的性质是长、宽、高都相等，并且能了解正方体和长方体之间的关系。通过空间与图形这一部分内容的教学，学生头脑中能留下图形或图形间的关系的表象。如讲到直角、钝角、三角形、长方形、正方形、梯形等概念就能在头脑中浮现出直角、钝角、三角形、长方形、正方形、梯形……讲到垂直或平行，头脑中就浮现出两条直线垂直或平行的图形。这样学生头脑中有点、线、面、体的表象，可以帮助他们有效的刻画数量间的关系，有利于帮助学生用图形去表达，有助于学生几何直观的培养。
总之，几何直观是数学内容的核心概念之一，在教学中，我们要重视学生几何直观能力的培养，运用多种策略培养学生的几何直观能力，让学生的几何直观能力得以形成和发展，这样学生就能更好地感知数学，领悟数学。

参考资料：《义务教育阶段数学课程标准（2011年版）》
《几何直观》（作者：希尔伯特）