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学习能力型问题的探索

一、概念学习型
例1．如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，，即（），我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列就是“对称数列”．
（1）设是项数为7的“对称数列”，其中是等差数列，且，
．依次写出的每一项；
（2）设是项数为(正整数)的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等差数列．记各项的和为．当为何值时，取得最大值？并求出的最大值；
（3）对于确定的正整数，写出所有项数不超过的“对称数列”，使得依次是该数列中连续的项；当时，求其中一个“对称数列”前项的和．

变式练习1：
定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．
已知数列是等和数列，且，公和为，那么的值为____________．这个数列的前项和的计算公式为_____________________________________．

变式练习2：
对于任意两个集合X和Y，X-Y指所有属于X但不属于Y的集合，X和Y的对称差X△Y规定为X△Y=（X-Y）∪(X-Y）。
设A={y︴y=x2,x∈R}，B={y︴y=3sinx,x∈R}，求A△B。

例2. （03年上海理科）已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x+T)=T f(x)成立.
（1）函数f(x)= x 是否属于集合M？说明理由；
（2）设函数f(x)=ax（a>0,且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：
f(x)=ax∈M；
（3）若函数f(x)=sinkx∈M ,求实数k的取值范围.

例3．（上海2002春）对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点．已知函数（）．
（1）当，时，求函数的不动点；
（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围内；
（3）在（2）的条件下，若图像上、两点的横坐标是函数的不动点，且、两点关于直线对称，求的最小值．

题型结构和特点
1． 新概念的名称、符号和定义；
2． 新概念的简单运用或判定；
3． 研究新概念的某些属性；
4． 运用新概念的定义解有关的问题.
特点：1.内容新颖；2.抽象简单；3.即时运用.
解题方法和策略
1. 熟记和记住新概念的名称和符号；
2. 阅读和理解新概念的定义（1）字面理解：通过阅读理解定义中的每一个句子和词的含义；（2）深层理解.①深入理解新概念定义的本质；②弄清与相近旧概念之间的联系和区别.
3. 在具体情境中初步运用新概念的定义（1）求出该概念的具体对象；（2）判断某一对象是否属于该概念的外延.
4. 运用新概念解决有关问题.
二、定理（公式）学习型问题
例1．（01上海春）若记号“*”表示求两个实数与的算术平均数的运算，即，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实当选、、都能成立的一个等式可以是_______.

例2．（01上海春）在长方体中，点、分别、上，且，
（1）求证：；
（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角），则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等
试根据上述定理，在，，时，求平面与平面所成的角的大小（用反三角函数值表示）

例3．在上定义运算：
，若不等式对任意实数成立，则（ ）
（A） （B） （C） （D）

例4．（全国2005）计算机中常用的十六进制是“逢进”的计数制，采用数学和字母共个计数符号，这些符号与十进制数的对应关系如下表：
16进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
例如，用进制表示：，则____________．

例5．（上海2006春）同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果去掉一些低分，那么班级的平均分将提高．这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列满足，则_________________________________________________________________________（结论用数学式子表示）．
例6．（02上海秋）规定=，其中x∈R，m是正整数，且=1，这是组合数（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广.
（1）求的值；
（2）组合数的两个性质：①=；②+=.
是否都能推广到（x∈R，m是正整数）的情况？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；
（3）已知组合数是正整数，证明：当x∈Z，m是正整数时，∈Z.

例7．规定数列的前项“交替和”，．设数列是公差为 的等差数列，求其前项交替和关于、和的解析表达式．

例8.对于集合及它的每一个非空真子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数．例如集合的交替和是，集合的交替和为，当集合中的时，集合的所有非空子集为、、，则它的“交替和”的总和．请你尝试对于的情况，计算它们的“交替和”的总和、，并根据结果猜测集合的每一个非空子集的“交替和”的总和_______________________（不必给出证明）．

下面我们再来看几个有关函数集合的问题．
例11．（2005年上海七校联考）已知集合是满足下列性质的函数的全体：对于定义域中的任意两个自变量（），都有成立．
（1）当时，函数（）是否属于，为什么？
（2）当时，试证明：函数（）不属于；
（3）设，是否存在一个集合，使得函数（）属于集合？给出你的结论，并说明理由．

题型结构和特点
1. 新的定理的内容叙述；
2. 新概念的简单运用或判定；
3. 研究新概念的某些属性；
4. 运用新的定理所要解决的问题.
特点：1.内容新颖；2.抽象简洁；3.不要求证明；4.即时运用.
解题方法和策略
1. 阅读和理解新定理的内容（1）理解新定理中所涉及到的概念；（2）分清定理的条件和结论；（3）理解定理的本质；（4）画出有关的几何图形，帮助理解定理的内容.
2. 运用新定理解决有关的问题①建立要求解决的问题与新定理之间的联系；②寻找满足新定理的条件.
3. 在具体情境中初步运用新概念的定义（1）求出该概念的具体对象；（2）判断某一对象是否属于该概念的外延.
4. 运用新概念解决有关问题.

三、方法学习型问题
例1．阅读下列问题的解法：
实数满足，设，求的值．
解：设代入，化简后得，解得；∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ．
试用上述解题方法解下列问题：设且，求的取值范围．
试用上述解题方法解下列问题：设且，求的取值范围．

例2．阅读下面例题的解法：求函数的值域．
解：构造向量，，
则 ，
∴ （为与的夹角）
∵ 位于第一象限，且与轴成角，是模为的向量，且始终在轴上方，
∴ 的范围为，∴ ，∴ ．
试用上述方法求的值域．

例3．用n个不同的实数a1,a2,┄an可得n!个不同的排列,每个排列为一行写成一个n!行的数阵.对第i行ai1,ai2,┄,ain,记bi=- ai1+2ai2-3 ai3+┄+(-1)nnain, i=1,2,3, ┄,n!.用1,2,3可得数阵如右,由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以,b1+b2+…+b6=-12+212-312=-24.那么,在用1,2,3,4,5形成的数阵中, b1+b2+┄+b120= ．

题型结构和特点 通常有以下两个部分组成：
1 一个问题和他的解体过程；
2 用上述问题的解题方法接另一个问题；
特点：1. 学习的是方法和过程；2. 需要抽象和概括.
解题方法和策略
1.阅读和理解问题的解题过程；
2.提炼解题方法和步骤；
3.迁移解题方法解类似的问题

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