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圆相关典型例题讲解

一、知识点回顾
认识圆
1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。
2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。
一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等．
3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。
把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。
4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。
直径是一个圆内最长的线段。
5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
6、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的直径都相等。
7、在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的。
用字母表示为：d＝2r或r ＝
8、轴对称图形：
如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。
折痕所在的这条直线叫做对称轴。
9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。
10、只有1一条对称轴的图形有： 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。
只有2条对称轴的图形是： 长方形
只有3条对称轴的图形是： 等边三角形
只有4条对称轴的图形是： 正方形
有无数条对称轴的图形是： 圆、圆环

圆的周长

1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。
2、圆周率实验：在圆形纸片上做个记号，与直尺0刻度对齐，在直尺上滚动一周，求出圆的周长。发现一般规律，就是圆周长与它直径的比值是一个固定数（π）。
3．圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。
用字母π（pai） 表示。
（1）、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。
圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时，一般取π ≈ 3.14。
（2）、在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是3.14倍。
（3）、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。
4、圆的周长公式： C= πd d = C ÷π
或C=2πr r = C ÷ 2π
5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。
在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。
6、区分周长的一半和半圆的周长：
（1）周长的一半：等于圆的周长÷2 计算方法：2πr ÷ 2 即 πr
（2）半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。 计算方法：πr＋2r 即 5.14r

圆的面积

1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 用字母S表示。
2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。
3、圆面积公式的推导：
（1）、用逐渐逼近的转化思想： 体现化圆为方，化曲为直；化新为旧，化未知为已知，化复杂为简单，化抽象为具体。
（2）、把一个圆等分（偶数份）成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。
（3）、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。

圆的半径 = 长方形的宽
圆的周长的一半 = 长方形的长
因为： 长方形面积 = 长 × 宽

所以： 圆的面积 = 圆周长的一半 × 圆的半径
S圆 = πr × r
圆的面积公式： S圆 = πr2 r2 = S ÷ π
4、环形的面积:一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r。（R＝r＋环的宽度．）
S环 = πR²－πｒ²　 或
环形的面积公式： S环 = π（R²－ｒ²）。
5、扇形的面积计算公式： S扇 = πr2×（n表示扇形圆心角的度数）
6、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。
而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。 例如：
在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大9倍。
7、两个圆： 半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方。 例如：
两个圆的半径比是2∶3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3，而面积比是4∶9
8、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：4∶π
9、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆周长最短。
10、确定起跑线：
（1）、每条跑道的长度 = 两个半圆形跑道合成的圆的周长 + 两个直道的长度。
（2）、每条跑道直道的长度都相等，而各圆周长决定每条跑道的总长度。（因此起跑线不同）
（3）、每相邻两个跑道相隔的距离是：2×π×跑道的宽度
（4）、当一个圆的半径增加ａ厘米时，它的周长就增加２πａ厘米；当一个圆的直径增加ａ厘米时，它的周长就增加πａ厘米。
11、常用各π值结果：
9

π = 3.14
2π = 6.28
3π = 9.42
4π = 12.56
5π = 15.7
6π = 18.84
7π = 21.98
8π = 25.12

9π = 28.26
10π = 31.4
16π = 50.24
25π = 78.5
36π = 113.04
64π = 200.96
96π = 301.44

12、常用平方数结果

11²= 121 12² = 144 13² = 169 14² = 196 15² = 225 16² =256
17²=289 18² = 324 19² = 361

二、典型例题
1、李江自行车车轮半径是36厘米，车轮每分钟转100圈，李江家到学校有3200m，他从他家到学校大约要多少分钟？（得数保留整数）

2、安安家的挂钟分钟长30cm，45分钟后求分针尖端走过的距离和扫过的面积是多少？

3、一根长100m的绳子，绕一棵大树20圈少48cm，这棵大树的横截面积是多少？

4、一个圆形喷水池的周长为62.8m，绕着这个水池修一条宽为2m的水泥路，求路的面积。

5、两个圆的周长之比是3:2，面积之差是10平方厘米，求两个圆的面积各是多少？

6、下面是一个圆平均分成若干份后拼成的近似长方形，求该圆的面积。（单位：厘米）

7、如图，求阴影部分的面积．（单位：厘米）（注：这是一个基本图形）

8、求阴影部分的面积。(单位:厘米)

9、有三根直径都是2分米的圆柱形木材，想用一根绳子把它们捆成一捆，捆三圈最短需要多少分米长的绳子（打结处绳长不计）？

10、如图（单位：厘米），OA=OB=OC，AB=10。求图形的面积

11、如下图，△ABC是一个等腰直角三角形，AB=BC=10，求图中阴影部分的面积。（单位：分米）

12、求阴影部分的面积。(单位:厘米)

13、如图，一个圆心角为450的扇形，其中等腰直角三角形的直角边是6厘米，求阴影部分的面积。

三、课后习题
1、一个铁环直径是60cm，从操场东端滚到西端转了90圈，另一个铁环的直径是40cm，他从东端滚到西端要转多少圈？

2、已知挂钟分针的针尖在14小时内，正好走了25.12cm,求它扫过的面积是多少？

3、一个圆形花坛周长是37.68m，外围有一条宽2m的环形水泥路，求这条路的面积？

4．两个圆的面积之比是9:4，周长之差是10平方厘米，求两个圆的周长各是多少？

5、在一块直径为40m的圆形操场周围栽树，每隔6.28m载一棵，一共可以载多少棵树？

6、求阴影部分面积。

7、有四根直径是1米的圆柱形管子，用一根铁丝紧紧地捆在一起，铁丝的长度最短是多少米？（打结处铁丝长度不计）

8、 如图：小正方形的边长是大正方形边长的一半，阴影的面积是50平方厘米，求环形的面积是多少平方厘米？

9、把半径分别是6厘米、4厘米的两个半圆如图放置，求阴影部分的周长？

10、求阴影部分的面积。(单位:厘米)

11、在正三角形（等边三角形）中，BC=16cm,AE=8cm.求空白部分的面积。
C
B
A
E
F
D

12、求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）

13、求阴影部分的面积．（单位：厘米）