江苏省苏州市吴中区九年级（上）期末数学试卷.doc

江苏省苏州市吴中区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（3分）方程x2＝1的解是（　　）
A．x＝1 B．x＝±1 C．x＝﹣1 D．x＝
2．（3分）两个相似多边形的相似比是2：3，则这两个多边形的周长比是（　　）
A．4：9 B． C．2：5 D．2：3
3．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，则sinA的值是（　　）

A． B． C． D．
4．（3分）一组数据﹣1，﹣2，0，1，2，则这组数据的方差为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．10
5．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＜ B．m≤ C．m＞ D．m≥
6．（3分）二次函数y＝x2+2x﹣3的图象的对称轴是（　　）
A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝4 D．直线x＝﹣4
7．（3分）要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（　　）
A． B．
C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28
8．（3分）如图，扇形AOB中，半径OA＝2，∠AOB＝120°，C是的中点，连接AC、BC，则图中阴影部分面积是（　　）

A．﹣2 B．﹣2 C．﹣ D．﹣
9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（　　）

A．函数有最小值
B．对称轴是直线x＝
C．当x＜，y随x的增大而减小
D．当﹣1＜x＜2时，y＞0
10．（3分）如图，A（8，0）、B（0，6）分别是平面直角坐标系xOy坐标轴上的点，经过点O且与AB相切的动圆与x轴、y轴分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（　　）

A． B．5 C．4.8 D．4.75
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）满足tanα＝的锐角α的度数是　 　．
12．（3分）如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO＝5，PA切⊙O于A点，则PA＝　 　．

13．（3分）如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD＝　 　．

14．（3分）下列说法：①必然事件的概率为1；②数据1、2、2、3的平均数是2；③数据5，2、﹣3、0的极差是8；④如果某种游戏活动的中奖率为40%，那么参加这种活动10次必有4次中奖．其中正确的有　 　个．
15．（3分）一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为　 　．
16．（3分）如图，在一笔直的海岸线上有A、B两个观测站，A在B的正西方向，AB＝2km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏西30°的方向，则船C离海岸线的距离是　 　．

17．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B＝30°．CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，若△ADE的面积是5，则△CDB的面积是　 　．

18．（3分）某数学兴趣小组研究二次函数y＝x2﹣mx+m的图象时发现：无论m如何变化，该图象总经过一个定点，这个定点的坐标是　 　．
三、解答题（本大题共10小题，共76分，把解答过程写在答题纸相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.）
19．（4分）计算：+（1﹣）0﹣2sin45°
20．（8分）解方程：
（1）x2﹣1＝3x；
（2）9x2﹣（x﹣1）2＝0．
21．（6分）如图，D是△ABC的边AB上的点，DB＝3AD，过D作DE∥BC交AC于E．BE、CD相交于F．
（1）若AE＝2，则EC＝　 　；
（2）求：的值．

22．（6分）为了解本学期初三期中调研测试数学试题的命题质量与难度系数，命题教师选取了一个水平相当的初三年级进行分析研究，随机抽取部分学生成绩（得分为整数，满分为130分）分为5组：第一组55～70，第二组70～85，第三组85～100，第四组100～115，第五组115～130；统计后得到如图所示的频数分布直方图（每组含最小值不含最大值）和扇形统计图，观察图形的信息，回答下列问题：

（1）本次调查共随机抽取了该年级多少名学生？并将频数分布直方图补充完整；
（2）若将得分转化为等级，规定：得分低于70分评为“D”，70～100分评为“C”，100～115分评为“B”，115～130分评为“A”，那么该年级1500名考生中，考试成绩评为“B”的学生大约有多少名？
23．（7分）小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为1﹣4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．若两次数字之和大于5，则小颖胜，否则小丽胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
24．（7分）某地区2014年投入教育经费2900万元，2016年投入教育经费3509万元．
（1）求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率；
（2）按照义务教育法规定，教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四，结合该地区国民生产总值的增长情况，该地区到2018年需投入教育经费4250万元，如果按（1）中教育经费投入的增长率，到2018年该地区投入的教育经费是否能达到4250万元？请说明理由．
（参考数据：＝1.1，＝1.2，＝1.3，＝1.4）
25．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠ACD＝∠AOC，AD⊥CD于D．
（1）求证：CD是⊙O的切线：
（2）若AB＝10，AD＝2，求cos∠OAC的值．

26．（10分）问题1如图①点A、B、C在⊙O上，且∠ABC＝120°，⊙O的半径是3．求的长．
问题2如图②点A、B、C、D在⊙O上，且，E是AB的延长线上的BE＝AB，EF＝CE．

（1）设BD＝n•BF，则n＝　 　；
（2）如图③若G是线段BD上的一个点，且．试探究，在⊙O上是否存在点P（B除外）使PG＝PF？为什么？
27．（10分）如图①，在矩形ABCD中，动点P从A出发，以相同的速度，沿A→B→C→D→A方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，△PAB面积为y，y与x的函数图象如图②所示．
（1）矩形ABCD的面积为　 　；
（2）如图③，若点P沿AB边向点B以每秒1个单位的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2个单位的速度移动．如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：
①当运动开始秒时，试判断△DPQ的形状；
②在运动过程中，是否存在这样的时刻，使以Q为圆心，PQ的长为半径的圆与矩形ABCD的对角线AC相切，若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由．

28．（10分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴分别交于点A、B（A在左侧），与y轴交于点C，若将它的图象向上平移4个单位长度，再向左平移5个单位长度，所得的抛物线的顶点坐标为（﹣2，0）．

（1）原抛物线的函数解析式是　 　．
（2）如图①，点P是线段BC下方的抛物线上的点，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图②，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

江苏省苏州市吴中区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（3分）方程x2＝1的解是（　　）
A．x＝1 B．x＝±1 C．x＝﹣1 D．x＝
【解答】解：开方得，x＝±1．
故选：B．
2．（3分）两个相似多边形的相似比是2：3，则这两个多边形的周长比是（　　）
A．4：9 B． C．2：5 D．2：3
【解答】解：∵两个相似多边形的相似比是2：3，
∴这两个多边形的周长为2：3．
故选：D．
3．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，则sinA的值是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：在△ABC中，∵AC＝2，BC＝1，
∴AB＝＝＝，
∴sinA＝＝＝，
故选：C．
4．（3分）一组数据﹣1，﹣2，0，1，2，则这组数据的方差为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．10
【解答】解：这组数据的平均数是：（﹣1﹣2+0+1+2）÷5＝0，
则这组数据的方差为：[（﹣1﹣0）2+（﹣2﹣0）2+（0﹣0）2+（1﹣0）2+（2﹣0）2]＝2；
故选：C．
5．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＜ B．m≤ C．m＞ D．m≥
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×m＞0，
∴m＜．
故选：A．
6．（3分）二次函数y＝x2+2x﹣3的图象的对称轴是（　　）
A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝4 D．直线x＝﹣4
【解答】解：∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1．
故选：B．
7．（3分）要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（　　）
A． B．
C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28
【解答】解：设比赛组织者应邀请x个队参赛，
依题意，得：x（x﹣1）＝28．
故选：A．
8．（3分）如图，扇形AOB中，半径OA＝2，∠AOB＝120°，C是的中点，连接AC、BC，则图中阴影部分面积是（　　）

A．﹣2 B．﹣2 C．﹣ D．﹣
【解答】解：连接OC，过O作OM⊥AC于M，

∵∠AOB＝120°，C为弧AB中点，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
∵OA＝OC＝OB＝2，
∴△AOC、△BOC是等边三角形，
∴AC＝BC＝OA＝2，AM＝1，
∴△AOC的边AC上的高是＝，
△BOC边BC上的高为，
∴阴影部分的面积是﹣×2×+﹣×2×＝π﹣2，
故选：A．
9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（　　）

A．函数有最小值
B．对称轴是直线x＝
C．当x＜，y随x的增大而减小
D．当﹣1＜x＜2时，y＞0
【解答】解：A、由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，正确，故A选项不符合题意；
B、由图象可知，对称轴为x＝，正确，故B选项不符合题意；
C、因为a＞0，所以，当x＜时，y随x的增大而减小，正确，故C选项不符合题意；
D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故D选项符合题意．
故选：D．
10．（3分）如图，A（8，0）、B（0，6）分别是平面直角坐标系xOy坐标轴上的点，经过点O且与AB相切的动圆与x轴、y轴分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（　　）

A． B．5 C．4.8 D．4.75
【解答】解：如图，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、OF、OD，则FD⊥AB．
∵A（8，0）、B（0，6），
∴AO＝8，BO＝6，
∴AB＝10，
∴∠AOB＝90°，FO+FD＝PQ，
∴FO+FD≥OD，
当点F、O、D共线时，PQ有最小值，此时PQ＝OD，
∴OD＝BC•AC÷AB＝4.8．
故选：C．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）满足tanα＝的锐角α的度数是　30°　．
【解答】解：∵tanα＝，
∴∠α＝30°，
故答案为：30°．
12．（3分）如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO＝5，PA切⊙O于A点，则PA＝　4　．

【解答】解：∵PA切⊙O于A点，
∴OA⊥PA，
在Rt△OPA中，OP＝5，OA＝3，
∴PA＝＝4．
故答案为：4．
13．（3分）如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD＝　72°　．

【解答】解：∵正五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠E＝×540°＝108°，∠BAE＝108°
又∵EA＝ED，
∴∠EAD＝×（180°﹣108°）＝36°，
∴∠BAD＝∠BAE﹣∠EAD＝72°，
故答案是：72°．
14．（3分）下列说法：①必然事件的概率为1；②数据1、2、2、3的平均数是2；③数据5，2、﹣3、0的极差是8；④如果某种游戏活动的中奖率为40%，那么参加这种活动10次必有4次中奖．其中正确的有　3　个．
【解答】解：①必然事件的概率为1，正确；
②数据1、2、2、3的平均数是2，正确；
③数据5，2、﹣3、0的极差是8，正确；
④如果某种游戏活动的中奖率为40%，那么参加这种活动10次可能有4次中奖，此结论错误；
故答案为：3．
15．（3分）一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为　3　．
【解答】解：设这个圆锥的底面半径为r，
根据题意得2πr＝，
解得r＝3．
故答案为3．
16．（3分）如图，在一笔直的海岸线上有A、B两个观测站，A在B的正西方向，AB＝2km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏西30°的方向，则船C离海岸线的距离是　（3﹣）km　．

【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
由题意可得：∠ACD＝45°，∠CBD＝60°，
设DC＝x，
则AD＝x，BD＝x，
故x+x＝2，
解得：x＝3﹣．
故答案为：（3﹣）km．

17．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B＝30°．CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，若△ADE的面积是5，则△CDB的面积是　　．

【解答】解：连接BE，
设AC＝a，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2a，
由勾股定理得，BC＝＝a，
∵CE平分∠ACB，
∴＝，
∴AE＝BE，
∴△AEB为等腰直角三角形，
∴AE＝AB＝a，
∵∠AEC＝∠ABC，∠ADE＝∠CDB，
∴△ADE∽△CDB，
∴＝（）2，即＝，
解得，S△CDB＝，
故答案为：．

18．（3分）某数学兴趣小组研究二次函数y＝x2﹣mx+m的图象时发现：无论m如何变化，该图象总经过一个定点，这个定点的坐标是　（1，1）　．
【解答】解：在y＝x2﹣mx+m中，当x＝1时，y＝1，
∴无论m如何变化，图象总经过定点（1，1），
故答案为：（1，1）．
三、解答题（本大题共10小题，共76分，把解答过程写在答题纸相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.）
19．（4分）计算：+（1﹣）0﹣2sin45°
【解答】解：原式＝2+1﹣2×
＝2+1﹣
＝+1．
20．（8分）解方程：
（1）x2﹣1＝3x；
（2）9x2﹣（x﹣1）2＝0．
【解答】解：（1）x2﹣3x﹣1＝0，
△＝（﹣3）2﹣4×（﹣1）＝13，
x＝，
所以x1＝，x2＝；
（2）（3x+x﹣1）（3x﹣x+1）＝0，
3x+x﹣1＝0或3x﹣x+1＝0，
所以x1＝，x2＝﹣．
21．（6分）如图，D是△ABC的边AB上的点，DB＝3AD，过D作DE∥BC交AC于E．BE、CD相交于F．
（1）若AE＝2，则EC＝　6　；
（2）求：的值．

【解答】解：（1）∵DB＝3AD，
∴＝．
∵DE∥BC，AE＝2，
∴＝＝，即＝．
∴EC＝6．
故答案是：6．

（2）由（1）知，＝＝，则＝＝．
∵DE∥BC，
∴△EFD∽△BFC．
∴＝＝．即．

22．（6分）为了解本学期初三期中调研测试数学试题的命题质量与难度系数，命题教师选取了一个水平相当的初三年级进行分析研究，随机抽取部分学生成绩（得分为整数，满分为130分）分为5组：第一组55～70，第二组70～85，第三组85～100，第四组100～115，第五组115～130；统计后得到如图所示的频数分布直方图（每组含最小值不含最大值）和扇形统计图，观察图形的信息，回答下列问题：

（1）本次调查共随机抽取了该年级多少名学生？并将频数分布直方图补充完整；
（2）若将得分转化为等级，规定：得分低于70分评为“D”，70～100分评为“C”，100～115分评为“B”，115～130分评为“A”，那么该年级1500名考生中，考试成绩评为“B”的学生大约有多少名？
【解答】解：（1）20÷40%＝50（名），50﹣4﹣8﹣20﹣14＝4，
画图如下：

（2）（4+14）÷50×1500＝540（名）
答：考试成绩评为“B”的学生大约有540名．
23．（7分）小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为1﹣4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．若两次数字之和大于5，则小颖胜，否则小丽胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
【解答】解：这个游戏对双方不公平．
理由：列表如下：

1
2
3
4
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
所有等可能的情况有16种，其中数字之和大于5的情况有（2，4），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），（4，4）共6种，
故小颖获胜的概率为：＝，则小丽获胜的概率为：，
∵＜，
∴这个游戏对双方不公平．
24．（7分）某地区2014年投入教育经费2900万元，2016年投入教育经费3509万元．
（1）求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率；
（2）按照义务教育法规定，教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四，结合该地区国民生产总值的增长情况，该地区到2018年需投入教育经费4250万元，如果按（1）中教育经费投入的增长率，到2018年该地区投入的教育经费是否能达到4250万元？请说明理由．
（参考数据：＝1.1，＝1.2，＝1.3，＝1.4）
【解答】解：（1）设增长率为x，根据题意2015年为2900（1+x）万元，2016年为2900（1+x）2万元．
则2900（1+x）2＝3509，
解得x＝0.1＝10%，或x＝﹣2.1（不合题意舍去）．
答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．
（2）2018年该地区投入的教育经费是3509×（1+10%）2＝4245.89（万元）．
4245.89＜4250，
答：按（1）中教育经费投入的增长率，到2018年该地区投入的教育经费不能达到4250万元．
25．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠ACD＝∠AOC，AD⊥CD于D．
（1）求证：CD是⊙O的切线：
（2）若AB＝10，AD＝2，求cos∠OAC的值．

【解答】解：（1）∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵∠AOC+∠OCA+∠OAC＝180°，
∴∠AOC+2∠OCA＝180°，
∴∠AOC+∠OCA＝90°，
∵∠ACD＝∠AOC，
∴∠ACD+∠OCA＝90°，即∠DCO＝90°，
又∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线；

（2）连接BC，
∴∠B＝∠AOC，
∵∠ACD＝∠AOC，
∴∠B＝∠ACD，
∵AD⊥CD，
∴∠D＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠D，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，
∵AB＝10，AD＝2，
∴AC2＝AB•AD＝20，
∴AC＝2，
∴cos∠OAC＝＝．

26．（10分）问题1如图①点A、B、C在⊙O上，且∠ABC＝120°，⊙O的半径是3．求的长．
问题2如图②点A、B、C、D在⊙O上，且，E是AB的延长线上的BE＝AB，EF＝CE．

（1）设BD＝n•BF，则n＝　3　；
（2）如图③若G是线段BD上的一个点，且．试探究，在⊙O上是否存在点P（B除外）使PG＝PF？为什么？
【解答】解：问题1：如图①中，在优弧AC上取一点D，连接AD，DC，
∵∠D+∠B＝180°，∠B＝120°，
∴∠D＝60°，
∴∠AOC＝2
∠D＝120°，
∴＝＝2π
问题2：（1）如图②中，连接AC．
∵＝，
∴＝，
∴BD＝AC，
∵EB：EA＝1：3，EF：EC＝1：3，
∴＝，
∴BF∥AC，
∴△BFE∽△ACE，
∴＝＝，
∴AC＝3BF，
∴BD＝3BF，
∴n＝3，
故答案为3．

（2）过点B作AE的垂线，与圆的交点即是点P．
理由：连接FG，CD，PG，PF．
∵BG：GD＝EF：FG＝1：2，
∴CD∥FG，
∵＝，
∴∠ABD＝∠CDB，
∴CD∥AB，
∴FG∥AE，
∵BG＝BD，FB＝BD，
∴BG＝BF，
∴BP垂直平分线段FG，
∴PG＝PF．

27．（10分）如图①，在矩形ABCD中，动点P从A出发，以相同的速度，沿A→B→C→D→A方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，△PAB面积为y，y与x的函数图象如图②所示．
（1）矩形ABCD的面积为　72　；
（2）如图③，若点P沿AB边向点B以每秒1个单位的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2个单位的速度移动．如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：
①当运动开始秒时，试判断△DPQ的形状；
②在运动过程中，是否存在这样的时刻，使以Q为圆心，PQ的长为半径的圆与矩形ABCD的对角线AC相切，若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）从图①可看出，当点P在AB上运动时，△PAB面积为0，对应图②中的路程x为0至6；点P在BC上运动时，△PAB面积逐渐增大，对应图②中的路程x为6至18；点P在CD上运动时，△PAB面积不变，对应图②中的路程x为18至24；当点P在DA上运动时，△PAB面积逐渐减小至0，对应图②中的路程x为24至36；由此可知矩形的宽和长分别为6和12，
∴S矩形ABCD＝6×12＝72；

（2）设运动时间为t，
①当t＝时，
AP＝，BP＝6﹣＝，BQ＝3，CQ＝12﹣3＝9，
∵AD＝12，DC＝6，
∴在Rt△ADP中，
DP2＝AD2+AP2＝，
在Rt△PBQ中，
PQ2＝PB2+BQ2＝，
在Rt△PQC中，
DQ2＝DC2+CQ2＝117，
在△DPQ中，
∵DQ2+PQ2＝DP2，
∴△DPQ是直角三角形；

（3）不存在，
理由如下：
假设存在，如图④，连接AC，过点Q作QM垂直于AC，垂足为点M，
则QM＝PQ，
在Rt△ABC中，
AC＝＝6，
∵∠QMC＝∠ABC＝90°，∠QMC＝∠ABC，
∴△QMC∽△ABC，
∴，
即，
∴QM＝，
在Rt△BPQ中，
PQ2＝BP2+BQ2＝（6﹣t）2+（2t）2，
又∵QM2＝（）2，
∴（6﹣t）2+（2t）2＝（）2，
整理，得7t2﹣4t+12＝0，
∵△＝b2﹣4ac＝﹣320＜0，
∴此方程无解，
∴不存在这样的时刻，使以Q为圆心，PQ的长为半径的圆与矩形ABCD的对角线AC相切，

28．（10分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴分别交于点A、B（A在左侧），与y轴交于点C，若将它的图象向上平移4个单位长度，再向左平移5个单位长度，所得的抛物线的顶点坐标为（﹣2，0）．

（1）原抛物线的函数解析式是　y＝x2﹣6x+5　．
（2）如图①，点P是线段BC下方的抛物线上的点，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图②，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵将二次函数y＝x2+bx+c的图象向上平移4个单位长度，再向左平移5个单位长度，所得的抛物线的顶点坐标为（﹣2，0），
∴二次函数y＝x2+bx+c的顶点坐标为（3，﹣4），
∴二次函数解析式为：y＝（x﹣3）2﹣4＝x2﹣6x+5，
故答案为：y＝x2﹣6x+5；
（2）如图，过点P作PM⊥x轴，交BC于点M，

∵二次函数y＝x2﹣6x++5的图象与x轴交于A，B两点，交y轴与点C，
∴当x＝0时，y＝5，当y＝0时，x2﹣6x+5＝0，
解得：x1＝5，x2＝1，
∴点C坐标为（0，5），点A坐标（1，0），点B坐标（5，0），
∴直线BC解析式为：y＝﹣x+5，
设点P（a，a2﹣6a+5），则点M（a，﹣a+5），
∴S△PBC＝（﹣a+5﹣a2+6a﹣5）×5＝﹣（a﹣）2+，
∴当a＝时，△PBC面积的最大值为，
∴点P（，﹣）；
（3）存在，理由：
①如图，△CMQ为等腰直角三角形、△BMQ为直角三角形，

设点M的坐标为（m，5﹣m），Q的坐标为（n，0），
MQ2＝（m﹣n）2+（5﹣m）2，CM2＝m2+m2，CQ2＝n2+25，
由MQ2＝CM2＝CQ2，解得：m＝5﹣5，
故点M的坐标为（5﹣5，10﹣5）；
②如图，△CMQ为等腰三角形、△BMQ为直角三角形，

同理可得：点M坐标为坐标：（5﹣5，10﹣5），
故：点M的坐标：或（5﹣5，10﹣5）．
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日期：2019/12/18 10:10:31；用户：刘丹；邮箱：dsjs000305684.21030286；学号：27497202