数字规律探索(一).docx

数字规律的探索(一)
贵州省遵义市二初中 王孟飞
一．专题诠释
规律探索型题是根据已知条件或题干所提供的若干特例，通过观察、类比、归纳，发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题。这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖新。其目的是考查学生收集、分析数据，处理信息的能力。所以规律探索型问题备受命题专家的青睐，逐渐成为中考数学的热门考题。

二． 解题策略和解法精讲
规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律．它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力．题型可涉及填空、选择或解答题。

三．教学目标：本课主要任务是使学生理解类比的数学思想，能够理解等差数列和等比数列的通项公式的证明和应用。涉及求和与周期性的题目以后处理。

四． 教学重难点：学生对类比思想的理解，对等差数列和等比数列通项公式证明与应用。

五．教材地位与作用：本节内容在初中数学没有具体的章节进行讲解，而中考会考查，因此要做这个方面的专题复习，
例如2015年遵义中考的第17题，按一定规律排列的一列数依次为：，，，，…，按此规律，这列数中的第10个数与第16个数的积是 ．

其次，本节内容联系高中的等差等比数列，由于今年中考试题会有高中老师加入，有可能会强化高初中内容的衔接，因此在“想一想”中推导出两种数列的通项公式。

第三. 同时类比思想对于求和与周期性的学习思想有基础性的作用.
第四.考查规律的题型有四类：
1.对抽象思想的考查 2.对推理思想的考查
3.对模型思想的考查 4.通过新定义考查探究能力
本课只针对前两种思想进行考查。
六． 教材组织：本课采用类比的思想来推导等差数列和等比数列的通项公式，学生自主探究从而得到通项公式，为了和高中的数列部分相联系，要求学生用高中的通项公式来表示，让学生熟悉数列的表示方法。而后分成递增和递减数列，等比数列分为公比大于零和小于零两种情况。学生学习的难点在于数列的体型多样化，题型涉及数字规律推理，几何，函数等，关键在于学生审题和建模，做到少而精，使学生有收获，因此要给予学生充分的探究时间和练习的时间，做到教师是引导者，学生是自主学习者。
七． 情感目标：培养学生善于探索，积极向上的人生价值观。

引入：

（提出看问题要看本质，不要看表象。其次是增加课堂的活跃气氛。）然后提出2015年遵义17题，“这个题表面看起来没有规律，但真的是这样吗？ ”

（2015年遵义17）按一定规律排列的一列数依次为：，，，，…，按此规律，这列数中的第10个数与第16个数的积是 ．

提出中考题，引起学生兴趣，提出本课的教学目标。

一．想一想
分析下列数字规律，猜想第10项是多少？第n项呢？

第十项 第n项

（1）1 ，3，5，7，······ 19 1+2（n-1)=2n+1

（2）10，7，4，1，······ - 20 10- 3(n- 1) =13-3n

（3）

（4） 按一定规律排列的一列数依次为：，，，，…，按此规律，这列数中的第10个数与第16个数的积是
(降低中考题难度，做到由浅入深.如果学生掌握得好,直接用通项公式求,避免探讨时间过长,等比数列的通项公式计算也可以采取这种方式，对于不熟练的学生可采取强化练习，增加对通项公式的掌握，同时为求和公式及周期性问题处理打好基础。)
请同学们化简 ，，，，…，这组数据为，，，，…,回看引入题目.
变型题：一定规律排列的一列数依次为：…，按此规律，第n项为

（增加学生对于同类型题目的理解）

第十项 第n项

1 ，2，4，8，16，······ ,

2，-6，18，-27 ，····· ,

（2012年遵义16）猜数字游戏中，小明写出如下一组数：……，小亮猜想出第六个数字是根据此规律，第个数是
变型题：观察数字，它们是按一定规律排列的，……，则第n个数是
（增加学生对于同类型题目的理解）

二．练一练
1. （对推理思想的考查）观察分析下列数据，寻找规律：0，，，3，2，，3，…那么第10个数据应是．
解析:本题表面看起来没有规律，但将数据化为0，，，，，，，…，发现被开方数是一列等差数列，第n项为，第十项为
2.（对推理思想的考查）如图，已知△ABC的周长为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，…，依此类推，则第10个三角形的周长为（　　）
2. A． B． C． D．

解析：根据三角形中位线定理可得第二个三角形的各边长都等于最大三角形各边的一半，那么第二个三角形的周长=△ABC的周长×=1×=，第三个三角形的周长为=△ABC的周长××=（）2，第10个三角形的周长=（）9，故选C．
四．作业
1、（对抽象思想的考查）观察图给出的四个点阵，s表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第n个点阵中的点的个数s为（　　）
A.3n﹣2 B.3n﹣1C.4n+1 D.4n﹣3

解析：根据所给的数据，不难发现：第一个数是1，后边是依次加4，则第n个点阵中的点的个数是1+4（n﹣1）=4n﹣3．

2、下列是三种化合物的结构式及分子式，请按其规律，写出后一种化合物的分子式为　

3、如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A1B1C1D1；在等腰直角三角形OA1B1中，作内接正方形A2B2C2D2；在等腰直角三角形OA2B2中，作内接正方形A3B3C3D3；……；依次作下去，则第n个正方形AnBnCnDn的边长是【】

（A）（B）（C）（D）
解析：∵等腰直角三角形OAB中，∠A=∠B=450，
∴△AA1C1和△BB1D1都是等腰直角三角形。∴AC1=A1C1，BD1=B1D1。
又∵正方形A1B1C1D1中，A1C1=C1D1=B1D1=A1B1，∴AC1=C1D1=D1B。
又∵AB=1，∴C1D1=，即正方形A1B1C1D1的边长为。
同理，正方形A2B2C2D2的边长为，正方形A3B3C3D3的边长为，……正方形 AnBnCnDn的边长为。故选B。
4. 观察下列一组数：…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是 ．
解析;分子为1，3，9，27，…，是一列等比数列，第n项为

5.已知一列数：1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，…将这列数排成下列形式：中间用虚线围的一列数，从上至下依次为1，5，13，25…，按照上述规律排上去，那么虚线框中的第7个数是　　．

分析：分析可得，第n行第一个数的绝对值为，且奇数为正，偶数为负；中间用虚线围的一列数，从上至下依次为1，5，13，25…，为奇数，且每n个数比前一个大4（n﹣1）；故第7个数是85．
解答：解：∵中间用虚线围的一列数，从上至下依次为1，5，13，25…，为奇数，且每n个数比前一个大4（n﹣1），
∴第7个数是85．
点评：本题是一道找规律的题目，要求学生的通过观察，分析．归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题．本题的规律为第n行第一个数的绝对值为，且奇数为正，偶数为负；中间用虚线围的一列数，从上至下依次为1，5，13，25…，为奇数，且每n个数比前一个大4（n﹣1）．

6.如图，已知：∠MON=30o，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3…．．在射线OM上，△A1B1A2. △A2B2A3、△A3B3A4……均为等边三角形，若OA1=l，则△A6B6A7的边长为【】

A．6 B．12 C．32 D．64
【答案】C。
【考点】分类归纳（图形的变化类），等边三角形的性质，三角形内角和定理，平行的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质。
【分析】如图，∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°。∴∠2=120°。
∵∠MON=30°，∴∠1=180°－120°－30°=30°。
又∵∠3=60°，∴∠5=180°－60°－30°=90°。
∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1。∴A2B1=1。
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°。
∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3。
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°。∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3。
∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16。
以此类推：A6B6=32B1A2=32，即△A6B6A7的边长为32。故选C。

7.（对推理思想的考查）如图所示，直线y＝x＋1与y轴相交于点A1，以OA1为边作正方形OA1B1C1，记作第一个正方形；然后延长C1B1与直线y＝x＋1相交于点A2，再以C1A2为边作正方形C1A2B2C2，记作第二个正方形；同样延长C2B2与直线y＝x＋1相交于点A3，再以C2A3为边作正方形C2A3B3C3，记作第三个正方形；…，依此类推，则第n个正方形的边长为_________．

解析：根据题意不难得出第一个正方体的边长＝1，
那么：n＝1时，第1个正方形的边长为：1＝20
n＝2时，第2个正方形的边长为：2＝21
n＝3时，第3个正方形的边长为：4＝22…
第n个正方形的边长为：2n－1
8.（2011重庆江津区）如图，四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC丄BD，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn．下列结论正确的有（　　）
①四边形A2B2C2D2是矩形； ②四边形A4B4C4D4是菱形；
③四边形A5B5C5D5的周长是 ④四边形AnBnCnDn的面积是．

A、①② B、②③ C、②③④ D、①②③④
分析：首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：
①根据矩形的判定与性质作出判断；
②根据菱形的判定与性质作出判断；
③由四边形的周长公式：周长＝边长之和，来计算四边形A5B5C5D5 的周长；
④根据四边形AnBnCnDn 的面积与四边形ABCD的面积间的数量关系来求其面积．
解答：解：①连接A1C1，B1D1．
∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1 ，
∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC；
∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1，
∴四边形ABCD是平行四边形；
∴B1D1＝A1C1（平行四边形的两条对角线相等）；
∴A2D2＝C2D2＝C2B2＝B2A2（中位线定理），
∴四边形A2B2C2D2 是菱形；
故本选项错误；
②由①知，四边形A2B2C2D2是菱形；
∴根据中位线定理知，四边形A4B4C4D4是菱形；故本选项正确；
③根据中位线的性质易知，A5B5＝A3B3＝×A1B1＝××AB，B5C5＝B3C3＝×B1C1＝××BC，
∴四边形A5B5C5D5的周长是2×（a+b）＝；故本选项正确；
④∵四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC丄BD，
∴S四边形ABCD＝ab；
由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
四边形AnBnCnDn的面积是；
故本选项错误；
综上所述，②③④正确；
故选C．

点评：本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）．解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系．
9. 如图，已知Al（1，0），A2（1，1），A3（－1，1），A4（－1，－1），A5（2，－1），…．则点A2012的坐标为______．

分析：根据（A1除外）各个点分别位于四个象限的角平分线上，逐步探索出下标和个点坐标之间的关系，总结出规律，根据规律推理点A2007的坐标．
解答：由图形以及叙述可知各个点（除A1点外）分别位于四个象限的角平分线上，
第一象限角平分线的点对应的字母的下标是2，6，10，14，即4n－2（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；点的坐标为（n,n）.
同理第二象限内点的下标是4n－1（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；点的坐标为（－n,n）.
第三象限是4n（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；点的坐标为（－n, －n）.
第四象限是1＋4n（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；点的坐标为（n, －n）.
2012＝4n则n＝503，当2007等于4n＋1或4n或4n－2时，不存在这样的n的值．
故点A2007在第二象限的角平分线上，即坐标为（－502，502）．
故答案填（﹣503，﹣503）．
点评：本题是一个探究规律的问题，正确对图中的所按所在的象限进行分类，找出每类的规律是解答此题的关键点．
10. （2010•江汉区）如图，等腰Rt△ABC的直角边长为4，以A为圆心，直角边AB为半径作弧BC1，交斜边AC于点C1，C1B1⊥AB于点B1，设弧BC1，C1B1，B1B围成的阴影部分的面积为S1，然后以A为圆心，AB1为半径作弧B1C2，交斜边AC于点C2，C2B2⊥AB于点B2，设弧B1C2，C2B2，B2B1围成的阴影部分的面积为S2，按此规律继续作下去，得到的阴影部分的面积S3=．

分析：每一个阴影部分的面积都等于扇形的面积减去等腰直角三角形的面积．
此题的关键是求得AB2、AB3的长．根据等腰直角三角形的性质即可求解．
解答：解：根据题意，得
AC1=AB=4．
所以AC2=AB1=2．
所以AC3=AB2=2．
所以AB3=．
所以阴影部分的面积S3==．
点评：此题综合运用了等腰直角三角形的性质和扇形的面积公式
11. （2012浙江绍兴4分）如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交与点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；…；设Pn﹣1Dn﹣2的中点为Dn﹣1，第n次将纸片折叠，使点A与点Dn﹣1重合，折痕与AD交于点Pn（n＞2），则AP6的长为【】

　 A． B． C． D．
【答案】A。
【考点】分类归纳（图形的变化类），翻折变换（折叠问题）。
【分析】由题意得，AD=BC=，AD1=AD﹣DD1=，AD2=，AD3=，…∴ADn=。
故AP1=，AP2=，AP3=…APn=。
∴当n=14时，AP6=。故选A。
11. （2012湖北鄂州3分）在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1,………按这样的规律进行下去，第2012个正方形的面积为【】

A. B. C. D.
【答案】D。
【考点】分类归纳（图形的变化类），坐标与图形性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】∵正方形ABCD，∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA1=90°=∠DOA。
∴∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAA1=90°。∴∠ADO=∠BAA1。
∵∠DOA=∠ABA1，∴△DOA∽△ABA1。∴。
∵AB=AD=，∴BA1=。
∴第2个正方形A1B1C1C的边长A1C=A1B+BC=，面积是。
同理第3个正方形的边长是，面积是：。
第4个正方形的边长是，面积是
…
第2012个正方形的边长是，面积是。
故选D。
12. （2012湖南常德3分）若图1中的线段长为1，将此线段三等分，并以中间的一段为边作等边三角形，然后去掉这一段，得到图2，再将图2中的每一段作类似变形，得到图3，按上述方法继续下去得到图4，则图4中的折线的总长度为【】

A. 2 B. C. D.
【答案】D。
【考点】分类归纳（图形的变化类），等边三角形的性质。
【分析】寻找规律，从两方面考虑：
（1）每个图形中每一条短线段的长：图2中每一条短线段的长为，图3中每一条短线段的长为，图4中每一条短线段的长为。
（2）每个图形中短线段的根数：图2中有4根，图3中有16根，图4中有64根。
∴图4中的折线的总长度为。故选D。
推广到一般，图n中的折线的总长度为】