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高等数学基础作业1
第1章 函数
第2章 极限与连续
（一） 单项选择题
⒈下列各函数对中, ( C ) 中的两个函数相等．
A. , B. ,
C. , D. ,
分析: 判断函数相等的两个条件( 1) 对应法则相同( 2) 定义域相同
A、 , 定义域; , 定义域为R
定义域不同, 因此函数不相等;
B、 , 对应法则不同, 因此函数不相等;
C、 , 定义域为, , 定义域为
因此两个函数相等
D、 , 定义域为R; , 定义域为
定义域不同, 因此两函数不等。
故选C
⒉设函数的定义域为, 则函数的图形关于( C) 对称．
A. 坐标原点 B. 轴
C. 轴 D.
分析: 奇函数, , 关于原点对称
偶函数, , 关于y轴对称
与它的反函数关于对称,
奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称
设, 则
因此为偶函数, 即图形关于y轴对称
故选C
⒊下列函数中为奇函数是( B) ．
A. B.
C. D.
分析: A、 , 为偶函数
B、 , 为奇函数
或者x为奇函数, cosx为偶函数, 奇偶函数乘积仍为奇函数
C、 , 因此为偶函数
D、 , 非奇非偶函数
故选B
⒋下列函数中为基本初等函数是( C) ．
A. B.
C. D.
分析: 六种基本初等函数
（1） ( 常值) ———常值函数
（2） 为常数——幂函数
（3） ———指数函数
（4） ———对数函数
（5） ——三角函数
（6） ——反三角函数
分段函数不是基本初等函数, 故D选项不对
对照比较选C
⒌下列极限存计算不正确的是( D) ．
A. B.
C. D.
分析: A、 已知
B、
初等函数在期定义域内是连续的
C、
时, 是无穷小量, 是有界函数,
无穷小量×有界函数仍是无穷小量
D、 , 令, 则原式
故选D
⒍当时, 变量( C) 是无穷小量．
A. B.
C. D.
分析; , 则称为时的无穷小量
A、 , 重要极限
B、 , 无穷大量
C、 , 无穷小量×有界函数仍为无穷小量
D、
故选C
⒎若函数在点满足( A) , 则在点连续。
A. B. 在点的某个邻域内有定义
C. D.
分析: 连续的定义: 极限存在且等于此点的函数值, 则在此点连续即
连续的充分必要条件
故选A
( 二) 填空题
⒈函数的定义域是 ．
分析: 求定义域一般遵循的原则
（1） 偶次根号下的量
（2） 分母的值不等于0
（3） 对数符号下量( 真值) 为正
（4） 反三角中反正弦、 反余弦符号内的量, 绝对值小于等于1
（5） 正切符号内的量不能取
然后求满足上述条件的集合的交集, 即为定义域
要求
得求交集
定义域为
⒉已知函数, 则 x2-x ．
分析: 法一, 令得
则则
法二, 因此
⒊ ．
分析: 重要极限, 等价式
推广则
则
⒋若函数, 在处连续, 则 e ．
分析: 分段函数在分段点处连续
因此
⒌函数的间断点是 ．
分析: 间断点即定义域不存在的点或不连续的点
初等函数在其定义域范围内都是连续的
分段函数主要考虑分段点的连续性( 利用连续的充分必要条件)
不等, 因此为其间断点
⒍若, 则当时, 称为 时的无穷小量 ．
分析:
因此为时的无穷小量
（二） 计算题
⒈设函数
求: ．
解: , ,
⒉求函数的定义域．
解: 有意义, 要求解得
则定义域为
⒊在半径为的半圆内内接一梯形, 梯形的一个底边与半圆的直径重合, 另一底边的两个端点在半圆上, 试将梯形的面积表示成其高的函数．
解:
A
R
O h E
B
C
设梯形ABCD即为题中要求的梯形, 设高为h, 即OE=h, 下底CD＝2R
直角三角形AOE中, 利用勾股定理得
则上底＝
故
⒋求．
解: ＝
⒌求．
解:
⒍求．
解:
⒎求．
解:
⒏求．
解:
⒐求．
解:
⒑设函数
讨论的连续性, 并写出其连续区间．
解: 分别对分段点处讨论连续性
( 1)
因此, 即在处不连续
( 2)
因此即在处连续
由( 1) ( 2) 得在除点外均连续
故的连续区间为
《高等数学基础》第二次作业
第3章 导数与微分
( 一) 单项选择题
⒈设且极限存在, 则( C ) ．
A. B.
C. D. cvx
⒉设在可导, 则( D ) ．
A. B.
C. D.
⒊设, 则( A ) ．
A. B.
C. D.
⒋设, 则( D ) ．
A. B.
C. D.
⒌下列结论中正确的是( C ) ．
A. 若在点有极限, 则在点可导．
B. 若在点连续, 则在点可导．
C. 若在点可导, 则在点有极限．
D. 若在点有极限, 则在点连续．
( 二) 填空题
⒈设函数, 则 0 ．
⒉设, 则．
⒊曲线在处的切线斜率是
⒋曲线在处的切线方程是
⒌设, 则
⒍设, 则
( 三) 计算题
⒈求下列函数的导数:
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
⑺
⑻
⒉求下列函数的导数:
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
⑺
⑻
⑼
⑽
⑾
⒊在下列方程中, 是由方程确定的函数, 求:
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
⑺
⑻
⒋求下列函数的微分:
⑴
⑵
⑶
⑷
两边对数得:
⑸
⑹
⒌求下列函数的二阶导数:
⑴
⑵
⑶
⑷
( 四) 证明题
设是可导的奇函数, 试证是偶函数．
证: 因为f(x)是奇函数 因此
两边导数得:
因此是偶函数。
《高等数学基础》第三次作业
第4章 导数的应用
( 一) 单项选择题
⒈若函数满足条件( D) , 则存在, 使得．
A. 在内连续 B. 在内可导
C. 在内连续且可导 D. 在内连续, 在内可导
⒉函数的单调增加区间是( D ) ．
A. B.
C. D.
⒊函数在区间内满足( A ) ．
A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降
C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升
⒋函数满足的点, 一定是的( C ) ．
A. 间断点 B. 极值点
C. 驻点 D. 拐点
⒌设在内有连续的二阶导数, , 若满足( C ) , 则在取到极小值．
A. B.
C. D.
⒍设在内有连续的二阶导数, 且, 则在此区间内是( A ) ．
A. 单调减少且是凸的 B. 单调减少且是凹的
C. 单调增加且是凸的 D. 单调增加且是凹的
( 二) 填空题
⒈设在内可导, , 且当时, 当时, 则是的 极小值 点．
⒉若函数在点可导, 且是的极值点, 则 0 ．
⒊函数的单调减少区间是．
⒋函数的单调增加区间是
⒌若函数在内恒有, 则在上的最大值是．
⒍函数的拐点是 x=0 ．
( 三) 计算题
⒈求函数的单调区间和极值．
令
X
2
(2,5)
5
+
极大
-
极小
+
y
上升
27
下降
0
上升
列表:
极大值:
极小值:
⒉求函数在区间内的极值点, 并求最大值和最小值．
令:
⒊试确定函数中的, 使函数图形过点和点, 且是驻点, 是拐点．
解:
⒋求曲线上的点, 使其到点的距离最短．
解: , d为p到A点的距离, 则:
⒌圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为, 问当底半径与高分别为多少时, 圆柱体的体积最大?
设园柱体半径为R, 高为h, 则体积
⒍一体积为V的圆柱体, 问底半径与高各为多少时表面积最小?
设园柱体半径为R, 高为h, 则体积
答: 当 时表面积最大。
⒎欲做一个底为正方形, 容积为62.5立方米的长方体开口容器, 怎样做法用料最省?
解: 设底连长为x, 高为h。则:
侧面积为:
令
答: 当底连长为5米, 高为2.5米时用料最省。
( 四) 证明题
⒈当时, 证明不等式．
证: 由中值定理得:
⒉当时, 证明不等式．
《高等数学基础》第四次作业
第5章 不定积分
第6章 定积分及其应用
( 一) 单项选择题
⒈若的一个原函数是, 则( D ) ．
A. B. C. D.
⒉下列等式成立的是( D ) ．
A B. C. D.
⒊若, 则( B ) ．
A. B. C. D.
⒋( B) ．
A. B. C. D.
⒌若, 则( B ) ．
A. B. C. D.
⒍由区间上的两条光滑曲线和以及两条直线和所围成的平面区域的面积是( C ) ．
A. B.
C. D.
( 二) 填空题
⒈函数的不定积分是．
⒉若函数与是同一函数的原函数, 则与之间有关系式．
⒊
⒋
⒌若, 则
⒍3
⒎若无穷积分收敛, 则
( 三) 计算题
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
( 四) 证明题
⒈证明: 若在上可积并为奇函数, 则．
证:
证毕
⒉证明: 若在上可积并为偶函数, 则．
证:
⒊证明:
证:
=
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