第4节幂函数与二次函数.doc

第4节　幂函数与二次函数
【考试要求】
1.通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
【教学重点】幂函数的概念，三个二次的关系
【教学难点】幂函数性质，三个二次的转换
【教学方法】知识梳理、典例启发讲练
【教学手段】多媒体辅助教学
【教学过程】

【知 识 梳 理】

1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，
其中x是自变量，α为常数.

(2)常见的五种幂函数的图象

(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
(抛物线)

定义域
R
值域

对称轴
x＝－
顶点
坐标

奇偶性
当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在上是减函数；
在上是增函数
在上是增函数；
在上是减函数
[常用结论与微点提醒]
1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0.
3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；
(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.
【诊 断 自 测】
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝2x是幂函数.(　　)
(2)当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上是增函数.(　　)
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的两个零点可以确定函数的解析式.(　　)
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是.(　　)
2.(多填题)(老教材必修1P79T1改编)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＝________，α＝________.
3.(新教材必修第一册P86T7改编)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是________.
4.(2016·全国Ⅲ卷)已知a＝2，b＝3，c＝25，则(　　)
A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b
5.(2020·河南省实验中学质检)已知函数f(x)＝3x2－2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋∞)，则实数m的取值范围为(　　)
A.{0，－3} B.[－3，0] C.{0，3} D.(－∞，－3]∪[0，＋∞)
6.(2018·上海卷)已知α∈，.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______.

【考点解读】
考点一　幂函数的图象和性质
【例1】 (1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的大致图象是(　　)

(2)当x∈(0,+∞)时,幂函数y=(m2+m-1)x-5m-3为减函数,则实数m的值为 (　　)
A.-2　     B.1 C.1或-2　     D.m≠ 
(3)若a= ,b= ,c= ,则a,b,c的大小关系是 (　　)
A.a<b<c　     B.c<a<b C.b<c<a　     D.b<a<c
(4)(2020·衡水中学调研)已知点(m，8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝f，b＝f(ln π)，c＝f(2－)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.b<a<c

规律方法　1.对于幂函数图象的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.
2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.
【训练1】 (1)(多选题)已知点在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图象上，则函数f(x)是(　　)
A.奇函数 B.偶函数 C.(0，＋∞)上的增函数 D.(0，＋∞)上的减函数

(2)若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　)

A.－1<m<0<n<1 B.－1<n<0<m
C.－1<m<0<n D.－1<n<0<m<1

考点二　二次函数的解析式
【例2】 (一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.

规律方法　求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：

【训练2】(1)　已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R,若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则f(x)=　　　    .
(2)若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],
则f(x)=　　　    .

（3） 已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________.

考点三　二次函数的图象及应用
【例3】 (1)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是(　　)

(2)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，已知f(m)<0，则(　　)
A.f(m＋1)≥0 B.f(m＋1)≤0 C.f(m＋1)>0 D.f(m＋1)<0

规律方法　1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.
2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.
【训练3】 一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是(　　)

考点四　二次函数的性质　多维探究
角度1　二次函数的单调性与最值
【例4－1】 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R且a≠0)，x∈R.
(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；
(2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的取值范围.

角度2　二次函数中的恒成立问题
【例4－2】 (2020·沈阳模拟)已知函数f(x)＝－x2＋ax－6，g(x)＝x＋4.若对任意x1∈(0，＋∞)，存在x2∈(－∞，－1]，使f(x1)≤g(x2)，则实数a的最大值为(　　)
A.6 B.4 C.3 D.2

规律方法　1.二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.
2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否易分离.这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.

【训练4】 (1)(角度1)若函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴的交点为(1，0)和(3，0)，则函数f(x)(　　)
A.在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增 B.在(－∞，3)上递增
C.在[1，3]上递增 D.单调性不能确定

(2)(2)已知函数f(x)=x2-x+1,在区间[-1,1]上不等式f(x)>2x+m恒成立,求
实数m的取值范围.

(3)　已知函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-1,2]上有最大值4,求实数a的值.

(4)若函数f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋a＋1对于x∈[－1，1]时恒有f(x)≥0，则实数a的取值范围是________.

【课堂小结】
1、 幂函数性质应用
2、 二次不等式、方程函数间关系及应用
3、 恒成立问题的转换

【作业】
《创新设计》第二章函数第4节

【教学反思】