八年级好题赏析---王鹏程.docx

八年级数学《好题赏析》---轴对称中的最值问题
导墅中学 王鹏程
【原题呈现】：已知，如图，在△ABC中，P、R是AB和AC边上的动点，点Q是BC边上的定点，请利用作图找出使△PQR周长最小的P和R点 。

【思路分析】：本题是“将军饮马”问题的变式之一，几何图形中的最值问题常用方法之一是通过“对称”转化为“两点之间，线段最短”与“垂线段最短”问题来解决．本题通过模型思想把复杂问题简单形象化，感受图形变换、转化数形结合等思想，体验数学思考的严谨性。
【解题过程】：可以通过Q点分别做关于AB和AC对称得到Q’和Q”，连接Q’ Q”分别与AB、AC相交，所得到的交点，即为P和R点.此时有轴对称可得PQ’=P Q”,QR=RQ”,最终△PQR的周长转化为Q’ Q”的长度即可，作图过程如下图示

【变式拓展】：已知，如图，△ABC，P、Q、R是△ABC边上的动点，请找出使△PQR周长最小的P、Q、R的点的位置.

【思路分析】:由第一题不难证明：AQ’=AQ”= AQ，同时∠Q’AQ”=2∠BAC（定值），得到△AQ’ Q”是一个顶角固定的等腰三角形.因此要想求Q’ Q”（底边）的长的最小值，只需腰长（AQ’=AQ”= AQ）最短即可，即AQ的长最短，根据“垂线段最短”得到，当AQ⊥BC时，符合条件.如下图示：（对应的P和R点也同时确定）