圆锥曲线综合1.docx

圆锥曲线综合1
一、单选题
1．已知斜率存在的直线交椭圆：于，两点，点是弦的中点，点，且，，则直线的斜率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设，，，代入椭圆的方程两式相减，整理得，再由，得到，进而根据，求得，过点作轴于点，求得，即可求得.
【详解】
设，，，直线的斜率为，不妨令，
则两式相减，得，
所以，所以，即．
由，即,可得，
又由，所以，解得，
过点作轴于点，则，
所以，即，
根据椭圆的对称性，可得直线的斜率为．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了椭圆的标准方程及其几何性质，以及直线的倾斜角和斜率公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
2．已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是
A．(–1,3) B．(–1,) C．(0,3) D．(0,)
【答案】A
【解析】
由题意知：双曲线的焦点在轴上，所以，解得，因为方程表示双曲线，所以，解得，所以的取值范围是，故选A．
【考点】双曲线的性质
【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题出现,主要考查双曲线的几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c而不是c,这一点易出错.

3．已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
分析：设，则根据平面几何知识可求，再结合椭圆定义可求离心率.
详解：在中，
设，则，
又由椭圆定义可知
则离心率，
故选D.
点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.
4．设F1、F2是椭圆的两焦点，P为椭圆上的点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为（ ）
A．8 B．4 C．4 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义和勾股定理，建立关于的方程，求得，结合直角三角形的面积公式，即可求得的面积.
【详解】
由椭圆，可得，则，
设，
由椭圆的定义可知：，
因为，得，
由勾股定理可得：，即，
可得，解得，即，
所以的面积为.
故选C.
【点睛】
本题主要考查了椭圆的标准方程，以及椭圆的定义和焦点三角形的应用，其中解答中熟练应用椭圆的定义和勾股定理，求得是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
5．已知椭圆：，过点的直线交椭圆所得的弦的中点坐标为，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由直线上两点得斜率，设出交点，由中点坐标公式可得，再利用点差法可得，从而可得离心率.
【详解】
过点和的直线的斜率为，设该直线与椭圆的交点为，则
则，两式作差得：，
整理得：，即，所以，
得离心率为：.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了椭圆中利用点差法处理中点弦及离心率的求解，属于基础题.
6．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于A，B两点，交y轴于点M，若、M是线段AB的三等分点，则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，求得的坐标，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，即可求得结果.
【详解】
由已知可知，点为中点，为中点，
故可得，故可得；
代入椭圆方程可得，解得，不妨取，
故可得点的坐标为，
则，易知点坐标，
将点坐标代入椭圆方程得，所以离心率为，
故选：D.
【点睛】
本题考查椭圆离心率的求解，难点在于根据题意求得点的坐标，属中档题.
7．设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任一点，的坐标为（6，4），则的最大值为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】C
【解析】
【分析】
由椭圆的标准方程得到a、b、c，然后借助定义转化为求的最大值即可．
【详解】
如图所示，

由椭圆可得：，，，
，，
由椭圆的定义可得：，
，
则的最大值为15，
故选：C
【点睛】
本题主要考查了椭圆的标准方程及其性质，三角形三边大小关系，两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．已知椭圆：的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，，分别是的左、右焦点，且的面积为，点为上的任意一点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知和面积得到，，对进行化简，配方求最值.
【详解】
由已知的，故.∵的面积为，
∴，∴.又∵，
∴，，∴，
又，∴，
∴.∴的取值范围为.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查椭圆的定义、椭圆的几何性质，以及配方求最值的问题.
9．已知双曲线：的左、右顶点分别为，，点为双曲线的左焦点，过点作垂直于轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线于，两点，连接交轴于点，连接交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
先由，将代入双曲线的方程，解得，的值，再由可得，由可得，从而得出答案.
【详解】
根据题意，作出如图所示的双曲线的草图，
由题意得，将代入双曲线的方程，可得，，
则.由，得，
则有，则，
而，则有，即，
所以，则，故双曲线的离心率为5.
故选：C

【点睛】
本题考查求双曲线的离心率，考查双曲线的几何性质，属于中档题.
10．椭圆上的点到直线距离最近的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设和椭圆相切的且与直线平行的直线和椭圆方程联立，求出后再与椭圆方程联立，可求得答案.
【详解】
设和椭圆相切且与直线平行的直线方程为，
所以得，
因为直线和圆相切，所以，所以，
时，与的距离为，
时，与的距离为
此时直线虽然与椭圆相切，但是在椭圆的上方，舍去，
所以，
所以，得，解得切点坐标为，
故选：B.
【点睛】
本题考查直线与椭圆的位置关系，求切点坐标的问题.
11．已知椭圆：离心率为，点在上，则椭圆的短轴长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由椭圆性质得，利用离心率可得，再由的关系求得．
【详解】
因为，，所以，所以，
故选：C.
【点睛】
本题考查椭圆的性质，掌握离心率及的关系是解题基础．
12．已知抛物线的焦点为，为原点，点是抛物线的准线上的一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求出点坐标，作关于准线的对称点，利用连点之间相对最短得出为的最小值．
【详解】
解：抛物线的准线方程为，
∵，∴到准线的距离为4，故点纵坐标为2，
把代入抛物线方程可得．
不妨设在第一象限，则，
点关于准线的对称点为，连接，
则，于是
故的最小值为．

故选：B．
【点睛】
本题考查了抛物线的简单性质，属于基础题．

13．若椭圆的弦被点（4，2）平分，则此弦所在的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：设弦所在直线为，与椭圆联立方程整理得
，直线为
考点：直线与椭圆的相交弦
点评：除此方法外还可采用点差法求中点弦问题：设出两交点坐标代入椭圆方程，将两式相减可得弦所在直线的斜率，进而得到直线方程
14．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，且与的一个交点坐标是，则椭圆的长轴长为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出抛物线方程，据焦点重合得一关于方程，在上得又一关于方程，解方程组即可.
【详解】
解：在上，故，
抛物线的焦点，故，所以（1），
在上，故（2），
解由（1）（2）组成的方程组得，，
故选：A.
【点睛】
考查求抛物线、椭圆的焦点以及通过解方程组确定椭圆的实轴长，基础题.
15．已知椭圆的左，右焦点分别为，，过作垂直轴的直线交椭圆于两点，点在轴上方.若，的内切圆的面积为，则直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据内切圆面积，求得半径，然后得到圆心坐标，利用坐标表示出直线，由圆与直线相切，得圆心到直线的距离等于半径，算出，从而确定直线方程.
【详解】
设内切圆半径为，则，，
，内切圆圆心为，
由知，
又，所以方程为，
由内切圆圆心到直线距离为，
即
得，所以方程为.
故选D项
【点睛】
本题考查内切圆的性质，直线的表示，点到直线的距离，属于中档题.
16．已知椭圆 的左、右顶点分别为，点为椭圆上不同于两点的动点，若直线斜率的取值范围是，则直线斜率的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设，则，再由直线斜率的取值范围得出直线斜率的取值范围．
【详解】
由题意得，设，则，其中，所以 ，
又因为直线斜率的取值范围是，所以直线斜率的取值范围是．
【点睛】
本题考查椭圆中直线斜率的取值范围，解题的关键是设，表示出，属于一般题．

第II卷（非选择题）
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二、解答题
17．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点作直线交于，两点，若的面积是的面积的2倍，求．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）设，求得的坐标，结合，化简、整理，即可求得抛物线的方程；
（2）设，不妨设，由，求得，设直线的方程为，联立方程组，结合根与系数的关系，求得，，进而求得，利用弦长公式，即可求解.
【详解】
（1）设，因为，，
则，，．
由，可得，化简得，
即动点的轨迹的方程为．
（2）设，，
由题意知，，
易知，不妨设，
因为，所以，所以． ①
设直线的方程为，
联立消去，得，则，
可得， ②
由①②联立，解得，
所以．
【点睛】
本题主要考查了向量的坐标运算，抛物线的标准方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．
18．椭圆：经过点，.
（1）求椭圆的方程；
（2）经过点的直线与椭圆交于不同两点，（均异于点），则直线与的斜率之和是否为定值？如果是请求出该定值，如果不是请说明理由.
【答案】（1）；（2）是定值，2.
【解析】
【分析】
（1）代入已知两点坐标可求得，得椭圆方程；
（2）设直线方程为，代入椭圆方程并整理，设，，由韦达定理得，计算并代入可得定值．
【详解】
（1）由题意知，，解得，
所以，椭圆的方程为.
（2）由题设知，直线、的方程为，代入，
得，由已知，
设，，，则，，
从而直线与的斜率之和

.
【点睛】
本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题，解题方法是设而不求的思想方法，即设直线方程，代入椭圆方程，设交点坐标为，由韦达定理得，然后计算需要证明定值的量并代入化简可得．

三、填空题
19．椭圆的左、右焦点分别是，，点是椭圆上一点，，直线交椭圆于另一点，且，则椭圆的离心率是_________.
【答案】
【解析】
【分析】
设，由，得，利用勾股定理结合椭圆的定义，可得离心率．
【详解】
设，由，得，由，得，所以，又，即，化简得，即，根据，得，又，所以，所以椭圆的离心率.
故答案为：
【点睛】
本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆定义的应用，属于中档题．
20．已知为椭圆上一定点，点为椭圆上异于的一动点，则的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
设点，则，由可得，然后利用两点间的距离公式结合二次函数的基本性质可求得的最大值.
【详解】
椭圆的标准方程为，设点，则，
由得，，
当时，取最大值.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用椭圆的有界性求椭圆上的点到定点距离的最值，考查二次函数基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.