椭圆大题练习解析.docx

1、已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)过点P，且左焦点为F1(－1,0)．

(1)求椭圆E的方程；
(2)若PA，PB，PC为椭圆E的三条弦，PA，PB所在的直线分别与x轴交于点M，N，且|PM|＝|PN|，PC∥AB，求直线PC的方程．
解　(1)依题意，得
又∵a>b>0，∴a＝2，b＝，
∴椭圆E的方程为＋＝1.
(2)由题意知直线PA的斜率存在，设PA：y＝k(x－1)＋，
A(xA，yA)，B(xB，yB)．
由得
(3＋4k2)x2＋4k(－2k＋3)x＋4k2－12k－3＝0，
当Δ>0时，∴xP·xA＝1×xA＝，
∴xA＝，
yA＝k(xA－1)＋＝＋，
又∵|PM|＝|PN|，∴直线PB的斜率为－k.
用－k代替k，得
xB＝，yB＝＋，
kAB＝＝＝.
又∵PC∥AB，
∴直线PC的方程为y－＝(x－1)，即x－2y＋2＝0.

2、已知椭圆C：＋＝1的左焦点为F，已知M(－4,0)，过M作斜率不为0的直线l，与椭圆C交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为B′.
(1)求证：直线AB′恒过定点F(椭圆的左焦点)；
(2)△MAB′的面积记为S，求S的取值范围．
(1)证明　设直线l的方程为x＝my－4，
代入＋＝1中，得(3m2＋4)y2－24my＋36＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则B′(x2，－y2)，
则Δ＝144m2－576>0，即|m|>2，
且y1＋y2＝，y1y2＝.
直线AB′：y－y1＝(x－x1)．
令y＝0，得x＝＝2m－4
＝2m×－4＝－1，
∴直线AB′过定点F(－1,0)．
(2)解　S＝|MF||y1＋y2|＝×
＝，其中|m|>2.
令f(t)＝3t＋，t>2，
则f′(t)＝3－>0(t>2)，
∴f(t)在(2，＋∞)上单调递增，f(t)∈(8，＋∞)，
∴S∈.
3、已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，以椭圆的2 个焦点与1个短轴端点为顶点的三角形的面积为2.

(1)求椭圆的方程；
(2)如图，斜率为k的直线l过椭圆的右焦点F，且与椭圆交于A，B两点，以线段AB为直径的圆截直线x＝1所得的弦的长度为，求直线l的方程．
解　(1)由椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，
得c＝a，b＝a，
由S＝·2c·b＝a2＝2，得a＝，b＝，
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)由(1)知，焦点F坐标为(2,0)，
设直线lAB：y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x0，y0)．
联立方程
得(1＋3k2)x2－12k2x＋12k2－6＝0，
x1＋x2＝，x1x2＝，
所以x0＝＝，
|AB|＝·|x1－x2|
＝·＝.
点M到直线x＝1的距离为d＝|x0－1|
＝＝.
由以线段AB为直径的圆截直线x＝1所得的弦的长度为得，2－d2＝2，
所以2－2＝2，
解得k＝±1，
所以直线l的方程为y＝x－2或y＝－x＋2.

4、如图，已知椭圆＋＝1(a>0，b>0)的长轴长为4，焦距为2，以A为圆心的圆(x－2)2＋y2＝r2(r>0)与椭圆相交于B，C两点．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)求·的取值范围；
(3)设P是椭圆C上异于B，C的任一点，直线PB，PC与x轴分别交于点M，N，求S△POM·S△PON的最大值．
解　(1)由题意知a＝2，c＝，
所以b2＝a2－c2＝1，
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)设B(x0，y0)，则C(x0，－y0)，
且＋y＝1，又A(2,0)，
所以·＝(x0－2)2－y＝(x0－2)2－
＝x－4x0＋3
＝2－，
因为－2<x0<2，
所以·的取值范围为.
(3)设P(x1，y1)(y1≠±y0)，则＋y＝1，
直线PB，PC的方程分别为
PB：y－y1＝(x－x1)，
PC：y－y1＝(x－x1)，
分别令y＝0得
xM＝，xN＝，
所以xMxN＝
＝
＝＝4，
于是S△POM·S△PON＝|OM||ON|·y
＝|xMxN|·y＝y，
因为－1≤y1≤1，
所以当y1＝±1时，S△POM·S△PON取得最大值1.
5、已知椭圆＋y2＝1(a>1)，过直线l：x＝2上一点P作椭圆的切线，切点为A，当点P在x轴上时，切线PA的斜率为±.

(1)求椭圆的方程；
(2)设O为坐标原点，求△POA面积的最小值．
解　(1)当点P在x轴上时，P(2,0)，
直线PA的方程为y＝±(x－2)．
联立消去y，得x2－2x＋1＝0，
由Δ＝0，得a2＝2，所以椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)由题意知，切线斜率必存在，设切线为y＝kx＋m，P(2，y0)，A(x1，y1)，则由
得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
由Δ＝0，得m2＝2k2＋1，
且x1＝，y1＝，y0＝2k＋m，
则|PO|＝，直线PO的方程为y＝x，
所以点A到直线PO距离d＝，
则S△POA＝|PO|·d＝|y0x1－2y1|
＝
＝＝|k＋m|.
当m＝时，S＝|k＋|.
由(S－k)2＝1＋2k2，得k2＋2Sk－S2＋1＝0，
由Δ＝8S2－4≥0，解得S≥，
当S＝时，k＝－.
同理当m＝－时，可得S≥，
当S＝时，k＝，
所以△POA面积的最小值为.