宁远县第二中学肖勇函数的奇偶性教案.doc

1.3.1奇偶性

宁远二中 肖勇

一、教学目标设计
理解函数奇偶性的含义，会判断简单函数的奇偶性；了解奇（偶）函数图像的对称性；探究某些简单的复合函数及分段函数的奇偶性。
二、教学重点及难点
会判断函数的奇偶性和对称性。
三、教学过程设计
一、温故知新
1．在初中学习的轴对称图形和中心对称图形的定义是什么？
轴对称图形是关于一条直线对称的图形；
如果一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形。 而这个中心点，叫做中心对称点。
2．请分别填好表格并画出和的图像

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观察到两个函数都是关于y轴对称的。
二、学习新课
1．偶函数定义
偶函数：设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，则这个函数叫做偶函数。
偶函数的图像特征：关于y轴对称。你还能画出什么其他偶函数的图像吗？
请分别填好表格，并画出和的图像

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观察到两个函数都是关于原点对称的。
2．奇函数定义
奇函数：设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有f(－x)＝-f(x)，则这个函数叫做奇函数。
奇函数的图像特征：关于原点对称。你还能画出什么其他奇函数的图像吗？
3．问题：
问题1：奇函数、偶函数的定义中有“任意”二字，说明函数的奇偶性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？
强调定义中“任意”二字，说明函数的奇偶性在定义域上的一个整体性质，它不同于函数的单调性 .
问题2：－x与x在几何上有何关系？具有奇偶性的函数的定义域有何特征？
奇函数与偶函数的定义域的特征是关于原点对称.
问题3：结合函数f(x)＝x的图象回答以下问题：
(1)对于任意一个奇函数f(x)，图象上的点P (x，f(x))关于原点对称点P'的坐标是什么？点P'是否也在函数f(x)的图象上？由此可得到怎样的结论.
(2)如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，能否判断它的奇偶性？
4．奇函数与偶函数图象的对称性
如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象以坐标原点为对称中心的中心对称图形. 反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
如果一个函数是偶函数，则它的图形是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.
思考：书上思考题
例1．判断下列函数的奇偶性；
(1) f(x)＝x4；(2) f(x)＝x5；(3) f(x)＝x＋(1/x)；(4) f(x)＝x＋1；
(5) f(x)＝x2，x∈[－1, 3]；(6) f(x)＝0.
根据定义判断函数奇偶性的步骤：
（1）求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数为非奇非偶函数；若定义域关于原点对称时，判断f(-x)与f(x)或-f(x)是否相等。
（2）当f(-x)=f(x)时，此函数为偶函数；
当f(-x)=-f(x)时，此函数为奇函数；
当f(-x)≠f(x)且 f(-x)≠-f(x)时，为非奇非偶函数
既是奇函数又是偶函数的函数是函数值为0的常值函数. 前提是定义域关于原点对称.
例2 判断下列函数的奇偶性；
(1) f(x)＝3x3；(2) f(x)＝2x5；(3) f(x)＝3x3+2x5；(4) f(x)＝1/(x2)；
(5) f(x)＝3x6；(6) f(x)＝1/(x2)-3x6
你能从这6个式子中获得什么结论吗？
复合函数奇偶性的判断法则（一）：
（1）偶函数的和、差仍为偶函数；
（2）奇函数的和、差仍为奇函数；
思考：偶函数的积和奇函数的积分别是什么函数呢？
偶函数和奇函数的和、差、积呢？
复合函数奇偶性的判断法则（二）：
偶函数的积仍为偶函数；
奇数个奇函数的积仍为奇函数，偶数个奇函数的积为偶函数；
偶函数和奇函数的和、差为非奇非偶函数；积为奇函数。
思考：复合函数f[g(x)]的奇偶性与函数y=f(x)和y=g(x)的奇偶性又有什么关系呢？
复合函数奇偶性的判断法则（三）：
如果函数y=f(x)和y=g(x)同奇，那么复合函数y=f[g(x)]是奇函数；
如果函数y=f(x)和y=g(x)的奇偶性相反或同偶，那么复合函数y=f[g(x)]是偶函数；
练习1：判断下列函数的奇偶性，并说出依据
（1）；（2）；（3）；（4）
（5）；（6）
例3：试判断函数的奇偶性；
解：函数f(x)的定义域为x≠0，是关于原点对称的。
当x>0时，则-x<0，有f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x) (x>0);
当x<0时，则-x>0，有f(-x)=(-x)[1+(-x)]=-x(1-x)=-f(x) (x<0)
故f(x)是奇函数
点评：分段函数奇偶性的判断一定要根据x的取值范围分别进行讨论，因为此时的-x通常因取值范围的不同而有不同的函数表达式。
练习2：判断下列论断是否正确
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数关于原点对称且这个函数为奇函数；
(2)如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称.
(3)如果一个函数定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数；
x
y
O
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2
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x
y
O
4
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(4)如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为偶函数.
练习3：如果f (0)＝a≠0，函数f (x)可以是奇函数吗？可以是偶函数吗？为什么？
练习4. 如图⑴，给出了奇函数y＝f(x)的局部图象，求f (－4).
练习5．如图⑵，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3) 的大小.
三、课堂小结
1. 奇函数、偶函数的定义；
2. 奇函数、偶函数图象的对称性；
3. 判断函数奇偶性的步骤和方法.
4. 复合函数奇偶性的判断.
5. 分段函数奇偶性的判断.
四、作业布置
1.作业本
2.选做题
（１）设f (x)是偶函数，g (x)是奇函数，且求函数f (x)，g(x)的解析式；
（２）设函数f (x)是定义在(－∞, 0)∪(0,＋∞)上的奇函数，又f (x)在(0, ＋∞)上是减函数，且f (x)＜0，试判断函数在(－∞，0)上的单调性，并给出证明.