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考点13 三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系
与诱导公式
本考点是高考考查的重点，三角函数模块是高中知识的重要模块之一，而本考点是三角函数知识的基础，要想熟练掌握三角函数的考查点，必须先打好基础，具体要求我们掌握以下几点：
1．任意角的概念、弧度制
（1）了解任意角的概念.
（2）了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.
2．三角函数
（1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.
（2）能利用单位圆中的三角函数线推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出的图象，了解三角函数的周期性.
（3）理解同角三角函数的基本关系式：，.
一、角的有关概念
1．定义
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
2．分类
（1）按旋转方向不同分为正角、负角、零角．
（2）按终边位置不同分为象限角和轴线角．
（3）终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合．
3．象限角与轴线角
第一象限角的集合为；
第二象限角的集合为；
第三象限角的集合为；
第四象限角的集合为
终边与轴非负半轴重合的角的集合为；
终边与轴非正半轴重合的角的集合为；
终边与轴重合的角的集合为；
终边与轴非负半轴重合的角的集合为；
终边与轴非正半轴重合的角的集合为；
终边与轴重合的角的集合为；
终边与坐标轴重合的角的集合为．
二、弧度制
1．1弧度的角
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
规定：是以角作为圆心角时所对圆弧的长，为半径．正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零．
2．弧度制
用“弧度”做单位来度量角的单位制叫做弧度制．比值与所取的的大小无关，仅与角的大小有关．
3．弧度与角度的换算
．
4．弧长公式
，其中的单位是弧度，与的单位要统一.
角度制下的弧长公式为：（其中为扇形圆心角的角度数）.
5．扇形的面积公式
.
角度制下的扇形面积公式为：（其中为扇形圆心角的角度数）.
三、任意角的三角函数
1．定义
设是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，点是角的终边上任意一点，到原点的距离，那么角的正弦、余弦、正切分别是．
注意：正切函数的定义域是，正弦函数和余弦函数的定义域都是.
2．三角函数值在各象限内的符号
三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
3．三角函数线
设角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，过作垂直于轴于．由三角函数的定义知，点的坐标为，即，其中单位圆与轴的正半轴交于点，单位圆在点的切线与的终边或其反向延长线相交于点，则．我们把有向线段分别叫做的余弦线、正弦线、正切线．
各象限内的三角函数线如下：
角所在的象限
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
图形
4．特殊角的三角函数值
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
不存在
0
不存在
0
补充：
四、同角三角函数的基本关系式
1．平方关系
．
2．商的关系
．
3．同角三角函数基本关系式的变形
（1）平方关系的变形：；
（2）商的关系的变形：；
（3）．
五、三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+α
（k∈Z）
π+α
−α
π−α
−α
+α
正弦
sin α
−sinα
−sinα
sinα
cosα
cosα
余弦
cos α
−cosα
cosα
−cosα
sinα
−sinα
正切
tan α
tanα
−tanα
−tanα
口诀
函数名不变，
符号看象限
函数名改变，
符号看象限
考向一 三角函数的定义
1．利用三角函数的定义求角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x、纵坐标y、该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．
2．利用三角函数线解三角不等式的步骤：①确定区域的边界；②确定区域；③写出解集．
3．已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．
4．三角函数值的符号及角的位置的判断．已知一角的三角函数值(，，)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况.
典例1 已知角的终边上有一点P（，m），且m，求与的值.
【解析】由已知有，得m=0，或.
当m=0时，；
当时，；
当时，.
【名师点睛】任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关．若角α已经给出，则无论点P选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的．
1．已知角终边上一点的坐标为，则（ ）
A． B．
C． D．
考向二 象限角和终边相同的角的判断及表示方法
1．已知θ所在的象限，求或nθ（nN*）所在的象限的方法是：将θ的范围用不等式（含有k）表示，然后两边同除以n或乘以n，再对k进行讨论，得到或nθ（nN*）所在的象限．
2．象限角的判定有两种方法：
一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想；
二是先将此角化为k·360°＋α（0°≤α<360°，kZ）的形式，即找出与此角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限来判断此角是第几象限角．
3．由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号得负”求解.
典例2 已知, ,试确定角α是第几象限的角.
【解析】因为>0,<0，所以是第二象限的角，
所以.
由知,所以,
故角α是第四象限的角.
【名师点睛】角与所在象限的对应关系：
若角是第一象限角，则是第一象限角或第三象限角；
若角是第二象限角，则是第一象限角或第三象限角；
若角是第三象限角，则是第二象限角或第四象限角；
若角是第四象限角，则是第二象限角或第四象限角．
2．已知是第三象限角，且，则是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
考向三 同角三角函数基本关系式的应用
1．利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化．
2．的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于的齐次式，或含有及的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“”代换后转化为“切”后求解.
典例3 已知0<α<π，sin(π-α)+cos(π+α)=m.
（1）当m=1时，求α的值；
（2）当m=55时，求tanα的值.
【解析】（1）由已知得sinα-cosα=1，∴1-2sinαcosα=1，∴sinαcosα=0，
又0<α<π，∴cosα=0，∴α=π2.
（2）当m=55时，sinα-cosα=55.①
方法1：1-2sinαcosα=15，∴sinαcosα=25>0，∴0<α<π2，
∵(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=95，∴sinα+cosα=355.②
由①②可得sinα=255，cosα=55，∴tanα=2.
方法2：sin2α-2sinαcosα+cos2α=15=15(sin2α+cos2α)，
∴2sin2α-5sinαcosα+2cos2α=0，∴2tan2α-5tanα+2=0，
∴tanα=2或tanα=12，
又1>sinα-cosα=55>0，∴π4<α<π2，∴tanα>1，
∴tanα=2.
3．若tan α＝3，则________.
考向四 诱导公式的应用
1．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值．
2．使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似的形式时，需要对k的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负．
3．利用诱导公式化简三角函数式的思路：
（1）分析结构特点，选择恰当公式；
（2）利用公式化成单角三角函数；
（3）整理得最简形式．
利用诱导公式化简三角函数式的要求：
（1）化简过程是恒等变形；
（2）结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．
4．巧用相关角的关系能简化解题的过程．
常见的互余关系有与，与，与等；
常见的互补关系有与，与等.
典例4 已知,且，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵，∴.
∵，∴，则.
∵，∴.故选A．
典例5 （1）化简：；
（2）化简：.
【解析】（1）=
.
（2）原式.
4．已知.
（1）化简；
（2）若是第二象限角,且,求的值.
考向五 同角三角函数的基本关系式、诱导公式在三角形中的应用
与三角形相结合时，诱导公式在三角形中经常使用，常用的角的变形有：,，等，于是可得，等．
典例6 已知.
（1）化简；
（2）若角是的内角，且，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）.
（2）因为，又角是的内角，则角为锐角，
所以，，，
因此，.
【名师点睛】本题考查利用诱导公式化简，同时也考查了利用同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题.
（1）利用诱导公式化简可得的表达式；
（2）由同角三角函数的基本关系求得、的值，进而可求得的值.
典例7 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a=23，，tanA=34，则sinA=______，b=________.
【答案】，4+3
【解析】由,得，
,
由正弦定理.
5．在中，，则（ ）
A．7 B．
C． D．
1．sin的值是（ ）
A．－ B．
C．－ D．
2．若θ＝－5，则角θ的终边在（ ）
A．第四象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第一象限
3．若角的终边经过点，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，则的值等于（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，则“”是“是直角三角形”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知是第二象限角，为其终边上一点且，则的值（ ）
A． B．
C． D．
7．若，，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，则的值构成的集合是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知a=tan(-π5)，b=tan(7π5)，c=sin(-π5)，则有（ ）
A．a>b>c B．c>b>a
C．c>a>b D．b>c>a
10．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图是折扇的示意图，为的一个靠近点的三等分点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是（ ）
A． B．
C． D．
11．一个面积为1的扇形，所对弧长也为1，则该扇形的圆心角是________弧度.
12．若角α的终边上有一点P（－4，a），且sinα·cosα＝，则a的值为 .
13．已知，则=______．
14．在△ABC中，若，则的值为_______．
15．化简下列各式：
（1）；
（2）.
16．已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在射线上．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
17．已知.
（1）化简，并求的值；
（2）若，求的值；
（3）若，，求的值.
1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°=
A．−2− B．−2+
C．2− D．2+
2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知a∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=
A． B．
C． D．
3．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则
A． B．
C． D．
4．【2018年高考北京卷文数】在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O𝑥为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是
A． B．
C． D．
5．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知，tan α=2，则= .
6．【2017年高考北京卷文数】在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin=，则sin=_________．
7．【2018年高考浙江卷】已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．
（1）求sin（α+π）的值；
（2）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．
变式拓展
1．【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义求，结合角的范围写出角即可.
【详解】
由诱导公式知，，
，
所以角终边上一点的坐标为，
故角的终边在第三象限，
所以，
由知，.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，特殊角的三角函数，属于容易题.
2．【答案】B
【解析】
【分析】
由是第三象限角，知在第二象限或在第四象限，再由，知，由此能判断出所在象限．
【详解】
是第三象限角，
，，
当是偶数时，设，则，此时在第二象限；
当是奇数时，设，则，此时在第四象限；
∴在第二象限或在第四象限，
，，
∴在第二象限．
故选B．
【点睛】
本题考查角所在象限的判断，属于基础题，关键在于由所在的象限，得出关于的不等式，再求出的范围．
3．【答案】
【解析】
由题意知，则
.
【点睛】本题考查同角三角函数基本关系式，已知值，求关于的齐次式或分式的一般原则是“分子分母同除以”、“整式变分式（分母为）”、“常数变式子，即利用”.
4．【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：
（1）根据诱导公式对进行化简即可．（2）先由求得，再根据（1）的结论及同角三角函数关系式求解．
试题解析：
（1）．
（2），
，
∵ 是第二象限角，
∴，
．
5．【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知条件求得，由此求得，进而求得.
【详解】
由①两边平方并化简得，由于，所以.
所以②.
由①②得，所以.
所以.
故选：A.
【点睛】
本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正切公式，属于中档题.
考点冲关
1．【答案】B
【解析】
【分析】
由诱导公式和特殊角的三角函数值可得答案.
【详解】
sin＝sin＝sin＝.
故选：B.
【点睛】
本题考查诱导公式和特殊角三角函数值的应用，属于简单题.
2．【答案】D
【解析】
【分析】
根据2π－5与－5的终边相同，简单判断即可.
【详解】
2π－5与－5的终边相同，
∵2π－5∈，
∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角.
故选：D.
【点睛】
本题考查角度终边所在的象限，关键在于终边相同角的表示，属基础题.
3．【答案】A
【解析】由题知，则由诱导公式可得
原式，故本题答案选．
4．【答案】C
【解析】
【分析】
根据，将所求式子中的角变换后，利用诱导公式变形后，将已知的等式代入即可求出值．
【详解】
解：因为，所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式，灵活变换角度是解本题的关键，属于基础题．
5．【答案】D
【解析】
【分析】
若，则或；若，则；由充分条件和必要条件的概念即可得解.
【详解】
若，则或，不能推出是直角三角形；
若，则，所以是直角三角形不能推出;
所以“”是“是直角三角形”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
【点睛】
本题考查了三角函数的性质和充分条件、必要条件的概念，属于基础题.
6．【答案】A
【解析】
由题意得，解得．
又是第二象限角，
∴．
∴．
∴．选A．
7．【答案】C
【解析】
【分析】
由诱导公式得，两边取平方，可得，结合 及象限角的符号，即可求得答案.
【详解】
由诱导公式得，
平方得，则，
所以，
又因为，所以，
所以，
故选C.
【点睛】
本题考查利用三角函数的诱导公式、同角三角函数的平方关系化简求值，考查、和知一求二的灵活运用.
8．【答案】C
【解析】
【分析】
对分奇数、偶数进行讨论，利用诱导公式化简可得.
【详解】
为偶数时，；为奇数时，，则的值构成的集合为.
【点睛】
本题考查三角式的化简，诱导公式，分类讨论，属于基本题.
9．【答案】D
【解析】
【分析】
首先通过诱导公式，化简三个数，然后判断它们的正负性，最后利用商比法判断
a,c的大小，最后选出正确答案.
【详解】
a=tan(-π5)=-tanπ5<0,b=tan(7π5)=tan(π+25π)=tan25π>0,c=sin(-π5)=-sinπ5<0，
而ac=-tanπ5-sinπ5=1cosπ5>1,c=sin(-π5)=-sinπ5<0⇒a<c，故本题选D.
【点睛】
本题考查了诱导公式、以及同角三角函数关系，以及商比法判断两数大小.在利用商比法时，要注意分母的正负性.
10．【答案】D
【解析】
【分析】
设，扇形的圆心角为，求出整个扇形的面积和扇环的面积，利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】
设，扇形的圆心角为，则整个扇形的面积为，
扇环的面积为，由几何概型的概率公式得.
故选：D.
【点睛】
本题考查几何概型概率的计算，解答的关键在于计算出相应平面区域的面积，考查计算能力，属于基础题.
11．【答案】
【解析】
【分析】
设扇形的所在圆的半径为，圆心角为，应用扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组，即可求解.
【详解】
设扇形的所在圆的半径为，圆心角为，
因为扇形的面积为1，弧长也为1，
可得，即，解得.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了扇形的弧长公式和面积公式的应用，其中解答中熟练应用扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.
12．【答案】或
【解析】根据三角函数的定义，，，所以根据已知条件，，所以解得：或.
13．【答案】-4
【解析】
【分析】
把已知等式两边平方可得的值，再利用同角三角函数的基本关系化简求得结果
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
则.
故答案为：-4.
【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题
14．【答案】
【解析】
由题意得 ，解得，又，
故答案为.
15．【答案】（1）－tanα；（2）－1.
【解析】
【分析】
（1）利用诱导公式，结合同角三角函数关系即可实现化简；
（2）利用诱导公式将角度化简为锐角，再结合同角三角函数关系即可.
【详解】
（1）原式＝
.
（2）原式＝
＝＝
＝
＝－1.
【点睛】
本题考查利用诱导公式进行化简求值，属基础题.
16．【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据三角函数的定义求得，由此求得的值.
（2）先求得的值，利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式化简所求表达式，由此求得所求表达式的值.
【详解】
（1）因为角的终边在射线上，所以可设终边上一点，
则根据三角函数的定义有，，
，所以．
（2）由及，
解得：；
所以
.
【点睛】
本小题主要考查三角函数的定义，考查两角和的正切公式，考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，属于中档题.
17．【答案】（1），；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）利用诱导公式化简表达式，并求得的值.
（2）利用齐次方程的方法，将的表达式化为只含的形式，由此求得的值.
（3）利用同角三角函数的基本关系式，先求得的值，根据的符号，求得的值.
【详解】
（1）由，
所以；
（2）；
（3）由得，，
又，所以，所以，
又，
所以.
【点睛】
本小题主要考查利用诱导公式进行化简，考查同角三角函数的基本关系式，考查齐次方程的运用，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
直通高考
1．【答案】D
【解析】=
故选D.
【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
2．【答案】B
【解析】，，，又，，又，，故选B．
【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．
3．【答案】B
【解析】根据条件，可知三点共线，从而得到，
因为，解得，即，
所以，故选B.
【名师点睛】本题主要考查任意角的三角函数和三角恒等变換，考查考生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.
4．【答案】C
【解析】由下图可得：有向线段为余弦线，有向线段为正弦线，有向线段为正切线.
对于A选项：当点在上时，，，故A选项错误；
对于B选项：当点在上时，，，，故B选项错误；
对于C选项：当点在上时，，，，故C选项正确；
对于D选项：当点在上且在第三象限时，，故D选项错误.
综上，故选C.
【名师点睛】此题主要考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到所对应的三角函数线进行比较.逐个分析A、B、C、D四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论.
5．【答案】
【解析】由得，
又，所以，
因为，所以，
因为，所以.
【名师点睛】三角函数求值的三种类型：
（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．
（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．
（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．
6．【答案】
【解析】因为角与角的终边关于轴对称，所以，所以.
【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：
若与的终边关于轴对称，则；
若与的终边关于轴对称，则；
若与的终边关于原点对称，则.
7．【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）由角的终边过点得，
所以.
（2）由角的终边过点得，
由得.
由得，
所以或.
【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义、诱导公式、两角差的余弦公式，考查考生分析问题、解决问题的能力，运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.
求解三角函数的求值问题时，需综合应用三角函数的定义、诱导公式及三角恒等变换.
（1）首先利用三角函数的定义求得，然后利用诱导公式，计算sin（α+π）的值;
（2）根据sin（α+β）的值，结合同角三角函数的基本关系，计算的值，要注意该值的正负，然后根据，利用两角差的余弦公式，通过分类讨论，求得cosβ的值.
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