山东省潍坊一中2021届高三上学期开学质量检测数学试题.doc

潍坊一中高三年级开学质量检测
数学试题

注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填涂自己的班级、姓名、考号、座号。
2．选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号(ABCD)涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其他答案。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合
A． B．(2，3]
C． D．
2．中兴、华为事件暴露了我国计算机行业中芯片、软件两大短板，为防止“卡脖子”事件的再发生，科技专业人才就成了决胜的关键．为了解我国在芯片、软件方面的潜力，某调查机构对我国若干大型科技公司进行调查统计，得到了这两个行业从业者的年龄分布的饼形图和“90后”从事这两个行业的岗位分布雷达图，则下列说法中不一定正确的是

A．芯片、软件行业从业者中，“90后”占总人数的比例超过50％
B．芯片、软件行业中从事技术设计岗位的“90后”人数超过总人数的25％
C．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多
D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”的总人数多
3．在直角梯形ABCD中，，E是BC的中点，则
A．8 B．12
C．16 D．20
4．已知函数，则有
A． B．
C． D．
5．下列不等式一定成立的是
A． B．
C． D．
6．已知函数 (其中e为自然对数的底数)，则图象大致为

7．已知分别为△ABC内角A，B，C的对边，，则△ABC的面积为
A． B．2 C． D．
8．已知函数，若且的最大值为
A． B．2 C． D．1
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．
9．已知曲线.
A．若，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若，则C是圆，其半径为
C．若，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若，则C是两条直线
10．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时问称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的 (细管长度忽略不计)．假设该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．以下结论正确的是
A．沙漏中的细沙体积为
B．沙漏的体积是
C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cm
D．该沙漏的一个沙时大约是1565秒
11．已知函数的最大值为，其图像相邻的两条对称轴之间的距离为的图像关于点对称，则下列结论正确的是．
A．函数的图像关于直线对称
B．当时，函数的最小值为
C．若的值为
D．要得到函数的图像，只需要将的图像向右平移个单位
12．函数，下列命题中正确的是
A．不等式的解集为
B．函数上单调递增，在上单调递减
C．若函数有两个极值点，则
D．若时，总有恒成立，则m>1
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知命题，命题，则的 条件．
14．欧拉公式把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”，若复数z满足，则=_______．
15．一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何?即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个整数为时，符合条件的a共有________个．
16．已知三棱锥P—ABC的四个顶点都在球O的表面上，平面ABC，PA=6，AB=，AC=2，BC=4，则球O的半径为_________；若D是BC的中点，过点D作球O的截面，则截面面积的最小值是_______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)
△ABC中，角A、B、C的对边分别为，且有．
(1)求sinB；
(2)求的取值范围．

18．(12分)
已知函数．
(1)当时，求；
(2)求解关于x的不等式；
(3)若4恒成立，求实数的取值范围．

19．(12分)
在正项等比数列中，已知．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前100项的和.

20．(12分)
已知三棱锥 (如图一)的平面展开图(如图二)中，四边形ABCD为边长等于的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P—ABC中：
(1)证明：平面平面ABC；
(2)若点M在棱上运动，当直线BM与平面PAC所成的角最大时，求二面角P—BC—M的余弦值

21．(12分)
设函数，曲线处的切线方程为，
(1)求的值；
(2)求的单调区间．

22．(12分)
某医药开发公司实验室有瓶溶液，其中瓶中有细菌R，现需要把含有细菌R的溶液检验出来，有如下两种方案：
方案一：逐瓶检验，则需检验n次；
方案二：混合检验，将n瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌R，则n瓶溶液全部不含有细菌R；若检验结果含有细菌R，就要对这n瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为n+1．
(1)假设n=5，m=2，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R的概率；
(2)现对n瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌R的概率均为P(0≤P≤1)．
若采用方案一．需检验的总次数为，若采用方案二．需检验的总次数为．
(i)若的期望相等．试求P关于n的函数解析式；
(ii)若，且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望．求n的最大值．
参考数据：
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数学试题参考答案
1.D 2.C 3.D 4.A
因为当为增函数，当时，为增函数，所以在R上为增函数.
又因为，
.
故.
故选：A
5.C
当，所以，故选项A不正确；
当的正负不能确定，故选项B不正确；
因为，所以选项C正确；
当时，有，故选项D不正确。
故选：C.
6.A
，该函数的定义域为R，且，
令，此时，函数单调递减；
令，此时，函数单调递增；
所以，函数的极小值为.
因此，函数的图象为A选项中的图象.
故选：A
7.C
由已知及正弦定理得，
，
，
.
故选：C
8.B
如下图所示：
设点A的横坐标为，过点A作y轴的垂线交函数于另一点B，设点B的横坐标为，并过点B作直线的平行线，设点A到直线的距离为，，
由图形可知，当直线与曲线相切时，d取最大值，
当时，，切点坐标为，
此时，，故选：B.
9.ACD
对于A，若，
因为，
即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若可化为，
此时曲线C表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；
对于C，若，则可化为，
此时曲线C表示双曲线，
由，故C正确；
对于D，若可化为，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确；
10.AC
A.根据圆锥的截面图可知：细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，所以细沙的底面半径，所以体积
B.沙漏的体积；
C.设细沙流入下部后的高度为，根据细沙体积不变可知：，
所以；
D.因为细沙的体积为,沙漏每秒钟漏下的沙，
所以一个沙时为：秒.
故选：AC.
11.BD
由题知：函数的最大值为，所以.
因为函数图象相邻的两条对称轴之间的距离为，
所以
又因为的图像关于点对称，
所以.
所以因为，所以.
即
对选项，故A错误.
对选项B，，
当取得最小值，故B正确.
对选项，
得到.
因为，
故C错误.
对选项D，的图像向右平移个单位得到
，
故D正确.
12.AD
因为，
令，可得在该区间上单调递增；
令在该区间上单调递减.
又当，
故的图象如下所示：
对A，数形结合可知，的解集为，故A正确；
对B，由上面分析可知，B错误；
对C，若函数有两个极值点，
即有两个极值点，又，
要满足题意，则需有两根，
也即有两根，也即直线的图象有两个交点.
数形结合则，解得.
故要满足题意，则，故C是错误的；
对D，若时，总有恒成立，
即恒成立，
构造函数对任意的恒成立，
故单调递增，则恒成立，
也即在区间恒成立，则，故D正确。
故选：AD.
13.充分不必要
解：由题意，得，所以的充分不必要。
14. 1
由欧拉公式，
由，
所以
所以.
15. 135
由题设，
则不存在；当不存在；
当，满足题意；当不存在；当不存在；
故，
则，共135个.
16.
如图所示：由题意知底面三角形为直角三角形，所以底面外接圆的半径，
过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线，则球心O在该直线上，可得，
连接OA，设外接球的半径为R，所以解得.
若D是BC的中点，重合，过点D作球的截面，
则截面面积最小时是与垂直的面，即是三角形ABC的外接圆，
而三角形ABC的外接圆半径是斜边的一半，即2，所以截面面积为.
故答案为：
17.（1）
（1）由正弦定理的边化角公式可得

（2）由（1）可知
为锐角三角形，则

18.（1）；（2）见解析；（3）
（1）当
（2）由

当时，解不等式可得：
当时，解不等式可得：
综上所述：当的解集为时，的解集为
（3）由得：

①当时，
，解得：
②当
或，解得：
综上所述：的取值范围为
19.（1）；（2）5050.
（1）设公比为q，则由题意可知
又，解得，所以.
（2）由（1）可得，
则数列的前100项的和
.
20.（1）见解析（2）
（I）设AC的中点为O，连接BO，PO.
由题意，得，
.
因为在的中点，
所以，
因为在，
.
因为平面ABC，所以平面ABC，
因为平面PAC，所以平面平面ABC.
（II）由（I）知，平面PAC，
所以是直线BM与平面PAC所成的角，
且，
所以当OM最短时，即M是PA的中点时，最大.
由平面ABC，，于是以OC,OB,OD所在直线分别为轴，y轴，z轴建立如图示空间直角坐标系，
则，
.
设平面MBC的法向量为，则
由，
即.
设平面PBC的法向量为，
.
.
由图可知，二面角的余弦值为.
21.（I）；（2）的单调递增区间为.
试题解析：（I）因为，所以.
依题设，.
（II）由（I）知.
由同号.
令.
所以，当在区间上单调递减；
当时，上单调递增.
故在区间上的最小值，
从而.
综上可知，的单调递增区间为.
22.（1） （2）（i） （ii）8
解：（1）记所求事件为A，“第三次含有R且前2次中有一次含有细菌R”为事件B，“前三次均不含有细菌R”为事件C，
则互斥，
所以
（2），
的取值为，
，
所以，
由，
所以；
（ii）所以，
所以，所以，
设，
，
当上单调递增；
当上单调递减
又，
所以的最大值为8