资源描述
2022-2023 学年广东省广州五中七年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共 10 个小题，每小题 3 分，满分 30 分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1. 如果气温升高3℃时气温变化记作+3℃，那么气温下降3℃时气温变化记作（ ）
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A. -6℃ B.
-3℃ C. 0℃ D.
+3℃
【答案】B
【解析】
【分析】根据负数的意义，可得气温上升记为“ + ”，则气温下降记为“ - ”，据此解答即可．
【详解】解：如果气温升高3℃时气温变化记作+3℃，那么气温下降3℃时气温变化记作-3℃； 故答案为：B
【点睛】此题主要考查了负数的意义及其应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：气温上升记为
“ + ”，则气温下降记为“ - ”．
2. -2 的绝对值是（ ）
2
A. 2 B. 1
C. - 1 2
D. -2
【答案】A
【解析】
【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可．
【详解】解：在数轴上，点-2 到原点的距离是 2，所以-2 的绝对值是 2， 故选：A．
3. 单项式 2a2b 的系数和次数分别是（ ）
A. 2，3 B. 2，2 C. 3，2 D. 4，2
【答案】A
【解析】
【分析】根据单项式的系数，次数的意义判断即可．
【详解】2a2b＝2·a2b，
所以单项式的系数为 2，次数为 2＋1＝3， 故选 A．
【点睛】本题考查了单项式系数、次数的概念，熟知单项式的系数是单项式的数字因数、次数为所有字母指数的和是解决此题的关键．
4. 计算 2a2b-3a2b 的正确结果是（
）
ab2
-ab2
a2b
-a2b
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项的法则进行计算即可得.
【详解】原式=(2-3)a2b=-a2b， 故选 D．
【点睛】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的法则是解题的关键．
法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变即可得．
5. 已知 x＝2 是方程 3x﹣5＝2x+m 的解，则 m 的值是（ ）
A. 1 B. ﹣1 C. 3 D. ﹣3
【答案】D
【解析】
【分析】把 x＝2 代入方程 3x﹣5＝2x+m 可得到关于 m 的方程，解方程可求得 m 的值．
【详解】解：∵x＝2 是方程 3x﹣5＝2x+m 的解，
∴把 x＝2 代入方程可得 6﹣5＝4+m， 解得 m＝﹣3，
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的解的定义，掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
6. 下列平面图形中，经过折叠不能围成正方体的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正方体展开图的常见形式作答即可．
【详解】解：由展开图可知： A 、 B 、 D 能围成正方体，故不符合题意；
C 、围成几何体时，有两个面重合，不能围成正方体，故符合题意． 故选： C ．
【点睛】本题主要考查展开图折叠成几何体的知识点，注意只要有“田、凹”字格的展开图都不是正方体的
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表面展开图．
7. 有理数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则数 a，b，- a，- b 的大小关系为（）
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A. -a < -b < b < a
C. -a < b < -b < a
B. -a < b < a < -b
D. -a < -b < a < b
【答案】C
【解析】
【分析】先根据相反数的意义把-a ， -b 在数轴上表示出来，然后根据数轴上右边的数比左边的数大即得答案．
【详解】解：由题意可得 a，b，- a，- b 在数轴上的位置如图所示：
则 a，b，- a，- b 的大小关系为-a < b < -b < a ，故选：C
【点睛】本题考查了相反数的意义、数轴以及有理数的大小比较，属于基础题型，掌握解答的方法是关键．
8. 一件商品提价25% 后，想恢复原价，则需降价（ ）
A. 25% B. 20%
C. 30% D. 不能恢复到原价
【答案】B
【解析】
【分析】设需降价 x ，然后根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：设需降价 x ，
根据题意得， (1+ 25%) ´(1- x) = 1， 解得 x = 0.2 ，
\需降价20% ． 故选：B．
【点睛】本题考查了列代数式，是基础题，读懂题目信息，列出方程是解题的关键．
9. 如图，小明从A 处沿北偏东40°方向行走至点 B 处，又从点 B 处沿东偏南20°方向行走至点C 处，则
ÐABC 等于（ ）
A. 130° B. 120° C. 110° D. 100°
【答案】C
【解析】
【分析】根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，即可求解．
【详解】如图：
∵小明从A 处沿北偏东40°方向行走至点 B 处，又从点 B 处沿东偏南20°方向行走至点C 处，
∴ ÐDAB = 40° ， ÐCBF = 20°，
∵向北方向线是平行的，即 AD P BE ，
∴ ÐABE = ÐDAB = 40° ，
∵ ÐEBF = 90° ，
∴ ÐEBC = 90° - 20° = 70° ，
∴ ÐABC = ÐABE + ÐEBC = 40° + 70° = 110° ， 故选 C．
【点睛】本题考查方位角，解题的关键是画图正确表示出方位角.
10. 已知关于 x 方程 x - 4 - ax = x + a -1的解是非正整数，则符合条件的所有整数a 的和是（ ）
6 3
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A. -4
B. -3
C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】将 a 看作一个常数，先求关于 x 的一元一次方程的解，再根据方程的解是正整数求出符合条件的
所有整数 a 的值，最后做乘积运算即可．
【详解】解： x - 4 - ax = x + a -1
6 3
两边同乘以 6，得6x - (4 - ax) = 2(x + a) - 6
去括号，得6x - 4 + ax = 2x + 2a - 6
移项合并同类项，得(4 + a)x = 2a-2
因为方程有解，所以4 + a ¹ 0 ，
所以 x = 2a-2 = 2a+8-10 = 2 - 10
4 + a
4 + a
4 + a
10
要使方程的解是非正整数，则整数 a 满足：
4 + a
³ 2 且 10
4 + a
为整数
10
所以
4 + a
的值为：10 或 5 或 2
解得：a=-3 或-2 或 1
则符合条件的所有整数a 的和是：-3+（-2）+1=-4 故选：A
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法、以及解的应用，正确求解方程是解题关键．
二、填空题（共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）
11. 用科学记数法表示数字 4840000，应该写成 ．
【答案】 4.84 ´106
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为 a ´ 10 n 的形式，其中1 £
a < 10 ，n 为整数．确定 n 的值时，要看把
原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解： 4840000 = 4.84 ´106 ． 故答案为： 4.84 ´106 ．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a ´ 10 n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．
12. 计算：
①（﹣3）＋（﹣5）＝ ；
②（﹣12）﹣（﹣15）＝ ；
③（ - 1 ）×（﹣3）＝ ．
3
【答案】
①. -8
②. 3
③. 1
【解析】
【分析】①原式利用加法法则计算即可求出值；
②原式利用减法法则变形，计算即可求出值；
③原式利用乘法法则计算即可求出值．
【详解】解：①（﹣3）＋（﹣5）
＝﹣（3＋5）
＝﹣8；
②（﹣12）﹣（﹣15）
＝﹣12＋15
＝3；
③（ - 1 ）×（﹣3）
3
1
＝ ×3
3
＝1
故答案为：①﹣8；②3；③1
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13. 如图，O 是直线 AB 上一点，已知Ð1 = 40° ， OD 平分ÐBOC ，则ÐAOD = ．
【答案】110°
【解析】
【分析】首先根据邻补角的定义得到ÐBOC ，然后由角平分线的定义求得ÐCOD 即可．
【详解】解：∵Ð1 = 40° ，
∴ÐCOB = 180° -Ð1 = 140° ，
∵ OD 平分ÐCOB ，
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∴Ð2 = 1 ÐCOB = 1 ´140° = 70°，
2
2
∴ÐAOD = 180° - 70° = 110° ．
故答案为：110°
【点睛】本题主要考查角平分线及邻补角，角的和差，熟练掌握邻补角及角平分线的定义是解题的关键．
14. 如果 x + y = 3 ，则( x + y )2 + 2x + 2 y +1 = ．
【答案】16
【解析】
【分析】首先由原代数式得( x + y )2 + 2 ( x + y ) +1，再把 x + y = 3 代入，即可求得结果．
【详解】解：Q x + y = 3 ，
\( x + y )2 + 2x + 2 y +1
= ( x + y )2 + 2 ( x + y ) +1
= 32 + 2 ´ 3 +1
= 16 ．
故答案为：16．
【点睛】本题考查了代数式求值问题，熟练掌握和运用代数式求值的方法是解决本题的关键．
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1
15. 若规定一种新运算 a⊗b=（a+b）（a2-ab+b2），则（-
2
7
1
）⊗ = ．
4
【答案】-
64
【解析】
【分析】根据 a⊗b=（a+b）（a2-ab+b2），可以求得题目中所求式子的值．
【详解】解：a⊗b=（a+b）（a2-ab+b2），
∴ æ - 1 ö Ä 1 ,
ç 2 ¸ 4
è ø
æ 1 1 ö éæ
1 ö2 æ 1 ö 1
æ 1 ö2 ù
= ç - + ¸´ êç -
¸ - ç -
¸´ + ç ¸ ú ,
è 2 4 ø
êëè
2 ø è
2 ø 4
è 4 ø úû
= æ - 1 ö´æ 1 + 1 + 1 ö ,
ç 4 ¸ ç 4 8 16 ¸
è ø è ø
= æ - 1 ö´ 7 ,
ç 4 ¸ 16
è ø
7
= - . 64
7
故答案为- . 64
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
16. 如图，已知点 A、点 B 是直线上的两点， AB = 12 厘米，点 C 在线段 AB 上，且 AC = 8 厘米．点 P、点 Q 是直线上的两个动点，点 P 的速度为 1 厘米/秒，点 Q 的速度为 2 厘米/秒．点 P、Q 分别从点 C、点B 同时出发，在直线上运动，则经过 秒时线段 PQ 的长为 6 厘米．
【答案】2、10、 2 或10
3 3
【解析】
【分析】此题考查了两点间的距离有理数混合运算的应用，以及分类讨论思想的应用，要熟练掌握．首先根据 AB = 12 厘米， AC = 8 厘米，求出CB 的长度是多少；然后分四种情况：（1）点 P、Q 都向右运动；
（2）点 P、Q 都向左运动；（3）点 P 向左运动，点 Q 向右运动；（4）点 P 向右运动，点 Q 向左运动；求出经过多少秒时线段 PQ 的长为 6 厘米即可．
【详解】解：∵ AB = 12 厘米， AC = 8 厘米，
∴ CB = 12 - 8 = 4 （厘米）；
（1） 点 P、Q 都向右运动时，
(6 - 4) ¸(2 -1)
= 2 ¸1
= 2 （秒）
（2） 点 P、Q 都向左运动时，
(6 + 4) ¸(2 -1)
= 10 ¸1
= 10 （秒）
（3） 点 P 向左运动，点 Q 向右运动时，
(6 - 4) ¸(2 +1)
= 2 ¸ 3
= 2 （秒）
3
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（4）点 P 向右运动，点 Q 向左运动时，
(6 + 4) ¸(2 +1)
= 10 ¸ 3
= 10 （秒）
3
∴经过 2、10、 2 或10 秒时线段 PQ 的长为 6 厘米．
3 3
2 10
故答案为：2、10、 3 或 3 ．
三、解答题（共有 9 小题，共 72 分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）
17. 计算：
（1） -15 - (-8) + (-11) -12 ；
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（2） - 22 ´ 5 - (- 20) ¸
【答案】（1） - 30
（2） - 25
【解析】
(- 4) ．
【分析】（1）先去括号，再根据有理数的加减运算法则计算即可．
（2）先算乘方，再根据有理数四则混合运算法则计算即可．
【小问 1 详解】
-15 - (-8) + (-11) -12
= - 15 +8 - 11- 12
= - 30 ；
【小问 2 详解】
- 22 ´ 5 - (- 20) ¸
= - 4´ 5 - (- 20) ¸
= - 20 - 5
= - 25 ．
(- 4)
(- 4)
【点睛】此题考查了有理数的运算，解题的关键是熟悉有理数的四则混合运算．
18. 先化简，再求值： 3y2 - 2 (4x - y2 ) + 5x -1，其中 x = 1 ， y=-2 ．
【答案】5 y2 - 3x -1 ，16
【解析】
【分析】先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，再将 x、y 的值代入即可求解．
【详解】解： 3y2 - 2 (4x - y2 ) + 5x -1
= 3y2 - 8x + 2 y2 + 5x -1
= 5 y2 - 3x -1，
当 x = 1 ， y=-2 时， 原式= 5´(-2)2 - 3´1-1
= 20 - 3 -1
= 16 ．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键．
19. 解方程： x - 4 - 3x +1 = 1．
3 6
【答案】 x = -15
【解析】
【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 的步骤解一元一次方程即可得．
【详解】解： x - 4 - 3x +1 = 1，
3 6
方程两边同乘以 6 去分母，得2 ( x - 4) - (3x +1) = 6 ， 去括号，得2x - 8 - 3x -1 = 6 ，
移项，得2x - 3x = 6 +1+ 8 ，
合并同类项，得-x = 15 ， 系数化为 1，得 x = -15 ．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键．
20. 某人原计划用 26 天生产一批零件，工作两天后因改变了操作方法，每天比原来多生产 5 个零件，结果提前 4 天完成任务，问原来每天生产多少个零件？这批零件有多少个？
【答案】原来每天生产 25 个零件，这批零件有 650 个
【解析】
【分析】设原来每天生产 x 个零件，表示出所有零件的个数，进而得出等式求出即可．
【详解】解：设原来每天生产 x 个零件，根据题意可得：
26x=2x+（x+5）×20，
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解得：x=25，
所以 26×25=650（个）．
答：原来每天生产 25 个零件，这批零件有 650 个．
如图，点 C 为线段 AB 上一点， AB = 14 ， AC : CB = 3 : 4 ，D 为线段 AC 的中点，求线段 BD 的
21.
长．
【答案】 BD = 11
【解析】
【分析】先根据题意得到 AC = 6 ， BC = 8 ，再根据线段中点得到CD = 3 ，最后计算即可．
【详解】解：因为 AB = 14 ， AC : CB = 3 : 4 ， 所以 AC = 6 ， BC = 8 ．
因为 D 为线段 AC 的中点，
所以 AD = CD = 1 AC = 3 ，
2
所以 BD = BC + CD = 8 + 3 = 11．
【点睛】本题考查了线段中点问题和线段和差问题，正确求出各线段的关系是解题的关键．
22. 如图所示是一个长方形．
（1） 根据图中尺寸大小，用含 x的代数式表示阴影部分的面积 S；
（2） 若 x＝2，求 S 的值．
【答案】（1）18+3x
（2）24
【解析】
【分析】（1）由于阴影部分不规则，所以可考虑用长方形的面积减去两个三角形的面积；
（2）代入计算即可．
【小问 1 详解】
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解：S 阴影部分＝S 长方形﹣S 三角形 ABC﹣S 三角形 DEF
＝12×6﹣ 1 ×12×6﹣ 1 ×6×（6﹣x）
2 2
＝72﹣36﹣18+3x
＝18+3x；
【小问 2 详解】
解：当 x＝2 时，S＝18+3×2
＝24．
【点睛】本题考查了列代数式和代数式的求值，根据图形列出代数式是解决本题的关键．
打折前一次性购物总金额
优惠措施
少于等于450 元
不优惠
超过450 元，但不超过600 元
按售价打九折
超过600 元
其中600 元部分八点二折优惠，超过600 元的部分打三折优惠
23. 平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60 元，利润率为50% ；乙种商品每件进价50 元，售价80 元
（1） 甲种商品每件进价为 元，每件乙种商品利润率为 ．
（2） 若该商场同时购进甲、乙两种商品共50 件，恰好总进价为2100 元，求购进甲种商品多少件？
（3） 在 “元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如下的优惠促销活动：
按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504 元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？
【答案】（1） 40 ； 60%
（2） 购进甲商品40 件；
（3） 小华在该商场购买乙种商品件 7 件或 8 件
【解析】
【分析】（1）根据售价= 进价´（1 + 利润率）即可得到答案；
（2） 设购进甲种商品 x 件，则购进乙种商品(50 - x) 件，根据费用列方程求解即可得到答案；
（3） 设小华打折前应付款为 y 元，分超过600 元与不超过600 元两类，利用费用列方程求解即可得到答案．
【小问 1 详解】
解：设甲的进价为 a 元/件，
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则(60 - a)=50%a ，
解得： a = 40 ，
故甲的进价为40 元/件；
乙商品的利润率为(80 - 50) ¸ 50 = 60% ；
【小问 2 详解】
解：设购进甲种商品 x 件，则购进乙种商品(50 - x) 件， 由题意得， 40x + 50(50 - x) = 2100 ，
解得： x = 40 ．
即购进甲商品40 件，乙商品10 件；
【小问 3 详解】
解：设小华打折前应付款为 y 元，
①打折前购物金额超过450 元，但不超过600 元， 由题意得0.9 y = 504 ，
解得： y = 560 ，
560 ¸ 80 = 7 （件），
②打折前购物金额超过600 元，
600 ´ 0.82 + ( y - 600) ´ 0.3 = 504 ，
解得： y = 640 ，
640 ¸ 80 = 8 （件），
综上可得小华在该商场购买乙种商品件 7 件或 8 件．
【点睛】本题考查一元一次方程解决实际应用问题中活动分段计价问题，解题的关键是找到相应的等量关系式及分类讨论思想．
第一列
第二列
第一排
1
2
第二排
4
3
24. 现将偶数个互不相等的有理数分成个数相同的两排，需满足第一排中的数越来越大，第二排中的数越来越小．例如，轩轩将“1，2，3，4”进行如下分组：
然后把每列两个数的差的绝对值进行相加，定义为该分组方式的“M 值”．
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例如，以上分组方式的“M 值”为 M = 1 - 4 + 2 - 3 = 4 ．
（1） 另写出“1，2，3，4”的一种分组方式，并计算相应的“M 值”：
（2） 将 4 个自然数“a，6，7，8”按照题目要求分为两排，使其“M 值”为 6，求 a 的值．
【答案】（1）分组方式见解析，相应的“M 值”为 4
（2） a = 3 或 11
【解析】
【分析】（1）根据题意进行分组求解即可；
（2）根据题意分两种情况分析：①当0 < a < 6 时，②当 a > 8 时，然后根据题中的分组方法计算求解即可．
【小问 1 详解】
将“1，2，3，4”进行如下分组：
第一列
第二列
第一排
1
3
第二排
4
2
∴以上分组方式的“M 值”为： M = 1- 4 + 3 - 2 = 4 ；
【小问 2 详解】
①当0 < a < 6 时，
将 4 个自然数“a，6，7，8”按照题目要求进行如下分组：
第一列
第二列
第一排
a
6
第二排
8
7
∵以上分组方式的“M 值”为 6，
∴ a - 8 + 7 - 6 = 6 ．
∴ a = 3 ；
②当 a > 8 时，
将 4 个自然数“a，6，7，8”按照题目要求进行如下分组：
第一列
第二列
第一排
6
7
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第二排
a
8
∵以上分组方式的“M 值”为 6，
∴ a - 6 + 7 - 8 = 6 ．
∴ a = 11 ；
综上， a = 3 或 11．
【点睛】题目主要考查有理数比较大小及绝对值的化简，解一元一次方程，理解题目中新定义的运算是解题关键．
25. 定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，
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那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若∠COD 1
AOB，则∠COD 是∠AOB
＝ 2 ∠
的内半角．
（1） 如图①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD 是∠AOB 的内半角，则∠BOD＝ ．
（2） 如图②，已知∠AOB＝63°，将∠AOB 绕点 O 按顺时针方向旋转一个角度 α（0＜α＜63°）至
∠COD，当旋转的角度 α 为何值时，∠COB 是∠AOD 的内半角？
（3） 已知∠AOB＝30°，把一块含有 30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点 O 以 3°/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线 OD 始终在∠AOB 的外部，射线 OA，OB， OC，OD 能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由．
【答案】（1）20° （2）旋转的角度 α 为 21°时，∠COB 是∠AOD 的内半角
（3）在旋转一周的过程中，且射线 OD 始终在∠AOB 的外部，射线 OA，OB，OC，OD 能构成内半角，旋
10
转的时间为
【解析】
秒或 30 秒或 90 秒，理由见解析
3
【分析】（1）根据内半角的定义，即可求解；
（2） 根据旋转的性质可得： ÐAOC = ÐBOD =a， ÐAOB = ÐCOD = 63° ，再根据内半角的定义，即可求解；
（3） 分三种情况讨论，利用一元一次方程，即可求解．
【小问 1 详解】
解：∵∠COD 是∠AOB 的内半角，∠AOB＝70°，
∴∠COD 1 AOB=35°，
＝ 2 ∠
∵∠AOC＝15°，
∴∠BOD=∠AOB-∠AOC-∠COD=20°；
【小问 2 详解】
解：根据题意得： ÐAOC = ÐBOD =a， ÐAOB = ÐCOD = 63° ，
∴ ÐAOD = ÐAOB + ÐBOD = 63° +a， ÐBOC = ÐAOB - ÐAOC = 63° -a，
∵∠COB 是∠AOD 的内半角，
∴ ÐCOB = 1 ÐAOD ，
2
∴ 63° -a= 1 (63° +a) ， 2
解得：a= 21°，
即旋转的角度 α 为 21°时，∠COB 是∠AOD 的内半角；
【小问 3 详解】
解：在旋转一周的过程中，且射线 OD 始终在∠AOB 的外部，射线 OA，OB，OC，OD 能构成内半角，理由如下：
设三角板绕顶点 O 旋转时间为t 秒，则ÐAOC = ÐBOD = 3°´ t ，
如图 1，∠BOC 是∠AOD 的内半角时，则ÐCOB = 1 ÐAOD ，
2
∴ 30° - 3°´ t = 1 (30° + 3°´ t ) ， 2
解得： t = 10 ；
3
如图 2，∠BOC 是∠AOD 的内半角时，则ÐCOB = 1 ÐAOD ，
2
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∴ ÐBOC = ÐAOC - ÐAOB = 3°´ t - 30° ， ÐAOD = ÐAOC - ÐCOD = 3°´ t + 30° ，
∴ 3°´ t - 30° = 1 (3°´ t + 30°) ，
2
解得： t = 30 ；
如图 3，∠AOD 是∠BOC 的内半角时，则ÐAOD = 1 ÐCOB ，
2
根据题意得： ÐBOC = 360° - 3°´ t + 30° = 390° - 3°´ t ， ÐAOD = 360° - 3°´ t - 30° = 330° - 3°´ t ，
∴ 330° - 3°´ t = 1 (390° - 3°´ t ) ， 2
解得： t = 90 ；
综上所述，在旋转一周的过程中，且射线 OD 始终在∠AOB 的外部，射线 OA，OB，OC，OD 构成内半角
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时，旋转的时间为
秒或 30 秒或 90 秒．
3
【点睛】本题主要考查了角的和与差，图形旋转的性质，一元一次方程的应用，明确题意，理解新定义， 并利用方程思想和分类讨论思想解答是解题的关键．
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