第二章2匀变速直线运动的速度与时间的关系.docx

2　匀变速直线运动的速度与时间的关系
[学习目标]　1.知道匀变速直线运动的特点及分类.2.理解匀变速直线运动的v－t图像特点.
3.掌握匀变速直线运动的速度公式，会用此公式解决简单的匀变速直线运动问题．

一、匀变速直线运动
1．定义：沿着一条直线，且加速度不变的运动．
2．v－t图像：匀变速直线运动的v－t图像是一条倾斜的直线．
3．分类：
(1)匀加速直线运动：a和v同向，速度随时间均匀增加．
(2)匀减速直线运动：a和v反向，速度随时间均匀减小．
二、速度与时间的关系
1．速度与时间的关系式：v＝v0＋at.
2．意义：做匀变速直线运动的物体，在t时刻的速度v等于物体在开始时刻的速度v0加上在整个过程中速度的变化量at.

1．判断下列说法的正误．
(1)匀变速直线运动的加速度不变．(　√　)
(2)速度逐渐增加的直线运动是匀加速直线运动．(　×　)
(3)公式v＝v0＋at适用于任何做直线运动的物体．(　×　)
(4)匀加速直线运动的v－t图像的斜率逐渐增大．(　×　)
2．一辆汽车原来的速度是8 m/s，在一段足够长的下坡路上以0.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动，则行驶了20 s 时的速度为________ m/s.
答案　18

一、匀变速直线运动的特点及v－t图像
导学探究　四个物体运动的v－t图像如图1所示．

图1
(1)物体分别做什么运动？
(2)在乙、丙、丁图中，加速度不变的物体是哪个？在乙和丁图中，物体的运动有什么不同？
答案　(1)甲做匀速直线运动；乙做匀加速直线运动；丙做匀减速直线运动；丁做变加速直线运动
(2)乙、丙；物体乙的v－t图线斜率不变，加速度不变，速度随时间均匀增加，物体丁的v－t图线斜率变大，加速度变大，速度增加得越来越快．
知识深化
1．匀变速直线运动
加速度保持不变的直线运动．
2．匀变速直线运动的特点
(1)加速度a恒定不变；
(2)v－t图像是一条倾斜直线．
3．v－t图像与物体的运动
(1)匀速直线运动的v－t图像是一条平行于时间轴的直线．
(2)匀变速直线运动的v－t图像是一条倾斜的直线，如图2所示，a表示匀加速直线运动，b表示匀减速直线运动．

图2
①v－t图线的斜率表示加速度：斜率的大小等于物体的加速度的大小，斜率的正、负表示加速度的方向．
②v－t图线与纵轴的交点的纵坐标表示物体的初速度．
(3)v－t图线是一条曲线，则物体做非匀变速直线运动，物体在某时刻的加速度等于该时刻图线切线的斜率．
图3甲中，斜率增大，物体的加速度增大，图乙中斜率减小，物体的加速度减小．

图3

命题角度1　匀变速直线运动的理解
(多选)关于匀变速直线运动，下列说法正确的是(　　)
A．匀变速直线运动的加速度恒定不变
B．相邻的相同时间间隔内的位移相等
C．在任何相等的时间Δt内的速度变化量Δv都相等
D．速度与运动时间成正比
答案　AC
解析　匀变速直线运动的加速度a不变，故选项A正确；由a＝知，由于a不变，在相邻的相同时间间隔内Δv相同，速度逐渐变大或变小，则位移不相等，选项B错误，C正确；只有当初速度为零时，速度v才与运动时间t成正比，选项D错误．
命题角度2　v－t图像的理解及应用
(2019·邯郸市高一检测)如图4所示为某新型电动汽车试车时的v－t图像，则下列说法中正确的是(　　)

图4
A．在0～6 s内，新型电动汽车做匀变速直线运动
B．在6～10 s内，新型电动汽车处于静止状态
C．在第4 s末，新型电动汽车向相反方向运动
D．在第12 s末，新型电动汽车的加速度为－1 m/s2
答案　D
解析　新型电动汽车在0～4 s内做加速度为1.5 m/s2的匀加速直线运动，在4～6 s内做加速度为－1 m/s2的匀减速直线运动，在6～10 s内以4 m/s的速度做匀速直线运动，在10～14 s内做加速度为－1 m/s2的匀减速直线运动，0～14 s内汽车始终向同一方向运动，综上所述，只有D正确．
二、匀变速直线运动速度与时间的关系
导学探究　设一个物体做匀变速直线运动，运动开始时刻(t＝0)的速度为v0(叫作初速度)，加速度为a，请根据加速度定义式求t时刻物体的瞬时速度．
答案　由加速度的定义式a＝＝＝，整理得t时刻物体的瞬时速度v＝v0＋at.
知识深化
1．公式v＝v0＋at中各量的含义：v0、v分别表示物体的初、末速度，a为物体的加速度，且a为恒量，at就是物体运动过程中速度的变化量．
2．公式的适用条件：公式v＝v0＋at只适用于匀变速直线运动．
3．公式的矢量性
公式v＝v0＋at中的v、v0、a均为矢量，应用公式解题时，应先选取正方向，一般以v0的方向为正方向．
(1)若加速度方向与正方向相同，则加速度取正值，若加速度方向与正方向相反，则加速度取负值．
(2)若计算出v为正值，则表示末速度方向与初速度的方向相同，若v为负值，则表示末速度方向与初速度的方向相反．
4．两种特殊情况
(1)当v0＝0时，v＝at.
由于匀变速直线运动的加速度恒定不变，表明由静止开始的匀加速直线运动的速度大小与其运动时间成正比．
(2)当a＝0时，v＝v0.
加速度为零的运动是匀速直线运动，也表明匀速直线运动是匀变速直线运动的特例．
一个质点以初速度v0＝10 m/s在水平面上运动，某时刻起，获得一个与初速度方向相反、大小为2.5 m/s2的加速度，从获得加速度的时刻开始计时，求第1 s末和第6 s末的速度．
答案　7.5 m/s，方向与v0的方向相同
5 m/s，方向与v0的方向相反
解析　质点从获得反向加速度起做匀减速直线运动，
以初速度方向为正方向，已知初速度v0＝10 m/s，加速度a＝－2.5 m/s2.由v＝v0＋at得第1 s末的速度
v1＝[10＋(－2.5)×1] m/s＝7.5 m/s，
方向与v0的方向相同
第6 s末的速度v6＝[10＋(－2.5)×6] m/s＝－5 m/s，
负号表示速度方向与v0的方向相反．
针对训练　(多选)一个物体做匀变速直线运动，当t＝0时，物体的速度大小为12 m/s，方向向东；当t＝2 s时，物体的速度大小为8 m/s，方向仍向东．当t为多少时，物体的速度大小变为2 m/s(　　)
A．3 s B．5 s C．7 s D．9 s
答案　BC
解析　取物体开始运动时的方向为正方向，物体的加速度a＝＝ m/s2＝－2 m/s2.物体的速度大小为2 m/s时，方向可能向东，也可能向西．由v＝v0＋at得，当速度方向向东时t1＝ s＝5 s；当速度方向向西时t2＝ s＝7 s，故B、C正确．
(2019·淇滨高中月考)火车正常行驶的速度是54 km/h，关闭发动机后，开始做匀减速直线运动，6 s末的速度是43.2 km/h，求：
(1)火车的加速度；
(2)15 s末的速度大小；
(3)45 s末的速度大小．
答案　(1)0.5 m/s2，方向与火车运动方向相反
(2)7.5 m/s　(3)0
解析　(1)以火车运动的方向为正方向，
v0＝54 km/h＝15 m/s，v1＝43.2 km/h＝12 m/s.
由加速度定义式可知：
a＝＝ m/s2＝－0.5 m/s2，
负号表示方向与火车运动方向相反；
(2)火车从开始减速到停止行驶所用的时间
t＝＝ s＝30 s，
火车在15 s末的速度大小为：
v1＝v0＋at1＝[15＋(－0.5)×15] m/s＝7.5 m/s；
(3)由(2)分析可知，火车从开始减速到停止行驶所用的时间为30 s，所以火车在45 s末的速度为零．

1．(速度公式的应用)(多选)物体做匀减速直线运动直到停止，已知第1 s末的速度是10 m/s，第3 s末的速度是4 m/s，则下列结论正确的是(　　)
A．物体的加速度大小是2 m/s2
B．物体的加速度大小是3 m/s2
C．物体零时刻的速度是13 m/s
D．物体第5 s末的速度是2 m/s
答案　BC
2.(v－t图像的理解)(多选)甲、乙两物体从同一位置出发沿同一直线运动，两物体运动的v－t图像如图5所示，下列判断正确的是(　　)

图5
A．甲做匀速直线运动，乙先做匀加速直线运动后做匀减速直线运动
B．两物体两次速度相同的时刻分别为第1 s末和第4 s末
C．乙在前2 s内做匀加速直线运动，2 s后做匀减速直线运动
D．2 s后，甲、乙两物体的速度方向相反
答案　ABC
解析　由v－t图像可知，甲以2 m/s的速度做匀速直线运动，乙在0～2 s内做匀加速直线运动，加速度a1＝2 m/s2，在2～6 s内做匀减速直线运动，加速度a2＝－1 m/s2，选项A、C正确；t1＝1 s和t2＝4 s时两物体速度相同，选项B正确；0～6 s内甲、乙的速度方向都沿正方向，选项D错误．
3．(速度公式的应用)(2019·渭滨中学高一期末)在某汽车4S店，一顾客正在测试汽车加速、减速性能．汽车以36 km/h的速度匀速行驶．
(1)现以0.6 m/s2的加速度加速，则10 s后速度能达到多少？
(2)若汽车以0.6 m/s2的加速度刹车，则10 s和20 s后速度各为多少？
答案　(1)16 m/s　(2)4 m/s　0
解析　初速度v0＝36 km/h＝10 m/s，
加速度a1＝0.6 m/s2，a2＝－0.6 m/s2.
由速度公式得
v1＝v0＋a1t1＝10 m/s＋0.6×10 m/s＝16 m/s，
开始刹车10 s后汽车的速度
v2＝v0＋a2t2＝10 m/s－0.6×10 m/s＝4 m/s，
开始刹车至汽车停下所需时间
t3＝＝ s≈16.7 s<20 s.
故刹车20 s后汽车早已停止运动，所以车速为0.

考点一　匀变速直线运动的理解
1．(2020·沙市中学高一月考)下列对匀变速直线运动的认识，正确的是(　　)
A．物体在一条直线上运动，若在相等的时间内通过的位移相等，则物体的运动就是匀变速直线运动
B．加速度大小不变的运动就是匀变速直线运动
C．加速度不变的运动就是匀变速直线运动
D．匀变速直线运动的加速度是一个恒量
答案　D
解析　做匀变速直线运动的物体的速度大小时刻在变化，在相等的时间内通过的位移一定不相等，选项A错误；匀变速直线运动的加速度大小和方向都不变，是一个恒量，选项B错误，D正确；加速度不变且轨迹是直线的运动才是匀变速直线运动，选项C错误．
2．对于做匀变速直线运动的物体，下列说法中正确的是(　　)
A．若加速度方向和速度方向相同，即使加速度很小，物体的速度还是要增大的
B．若加速度方向和速度方向相反，物体的速度可能一直增大
C．不管加速度方向和速度方向的关系怎样，物体的速度都是增大的
D．因为物体做匀变速直线运动，所以它的加速度是均匀变化的
答案　A
解析　若加速度方向和速度方向相同，则物体做加速运动，速度增大，选项A正确；若加速度方向和速度方向相反，则物体做减速运动，选项B、C错误；匀变速直线运动的加速度是不变的，选项D错误．
3．(多选)(2019·济南一中高一上期末)做匀加速直线运动的物体的加速度为3 m/s2，下列说法正确的是(　　)
A．某1 s末的速度比该1 s初的速度总是大3 m/s
B．某1 s末的速度比该1 s初的速度总是大3倍
C．某1 s末的速度比前1 s末的速度大3 m/s
D．某1 s末的速度比前1 s初的速度大6 m/s
答案　ACD
解析　加速度为3 m/s2，由Δv＝aΔt可知，任意1 s时间内，末速度一定比初速度大3 m/s，故A正确；加速度为3 m/s2，物体的末速度不一定比初速度大3倍，故B错误；某1 s末的速度比前1 s末的速度大3 m/s，故C正确；某1 s末与前1 s初的时间间隔是2 s，由Δv＝aΔt可知，Δv＝6 m/s，即某1 s末的速度比前1 s初的速度大6 m/s，故D正确．
考点二　速度公式v＝v0＋at的应用
4.如图1所示，纯电动汽车不排放污染空气的有害气体，具有较好的发展前景．某辆电动汽车在一次刹车测试中，初速度为18 m/s，经过3 s汽车停止运动．若将该过程视为匀减速直线运动，则这段时间内电动汽车加速度的大小为(　　)

图1
A．3 m/s2 B．6 m/s2
C．15 m/s2 D．18 m/s2
答案　B
解析　根据匀变速直线运动的速度公式有：v＝v0＋at，所以电动汽车的加速度a＝＝ m/s2＝－6 m/s2，大小为6 m/s2，选项B正确．
5．物体做匀加速直线运动，到达A点时的速度为5 m/s，经3 s到达B点时的速度为14 m/s，再经过4 s到达C点，则它到达C点时的速度为(　　)
A．23 m/s B．5 m/s C．26 m/s D．10 m/s
答案　C
解析　物体的加速度a＝ m/s2＝3 m/s2，到达C点时的速度vC＝vB＋at＝14 m/s＋3 m/s2×4 s＝26 m/s，选项C正确．
考点三　v－t图像的理解及应用
6．(2019·旬阳中学高一期中)如图所示的四个图像中，描述物体做匀加速直线运动的是(　　)

答案　B
解析　A图像表示物体加速度减小，故A错误；在v－t图像中，斜率表示加速度，由B图像可以看出加速度是一恒定的值，所以物体做匀加速直线运动，故B正确；C图像中物体的位置没有发生变化，所以代表物体处于静止状态，故C错误；在x－t图像中斜率表示速度的大小，所以D图像表示物体做匀速直线运动，故D错误．
7.一物体静止在光滑的固定水平桌面上，现对其施加一水平外力，使它沿水平桌面做直线运动，该物体的v－t图像如图2所示，根据图像，下列说法正确的是(　　)

图2
A．0～6 s时间内物体运动的加速度始终没有改变
B．2～3 s时间内物体做减速运动
C．第1 s末物体的速度方向改变
D．1.5 s末和2.5 s末两个时刻物体的加速度相同
答案　D
解析　在v－t图像中，图线的斜率表示物体运动的加速度，由题图图像可知，0～6 s时间内图线的斜率发生了变化，则物体加速度发生变化，选项A错误；2～3 s时间内，速度反方向逐渐增大，物体做加速运动，选项B错误；0～2 s内速度一直为正，第1 s末物体的速度方向没有发生改变，选项C错误；物体在1～3 s内做匀变速直线运动，加速度不变，所以1.5 s末和2.5 s末两个时刻物体的加速度相同，选项D正确．
8．(2019·郴州市检测)一物体运动的速度—时间图像如图3所示，根据图像可知(　　)

图3
A．0～4 s内，物体在做匀变速曲线运动
B．0～4 s内，物体的速度一直在减小
C．0～4 s内，物体速度的变化量为－8 m/s
D．0～4 s内，物体的加速度一直在减小
答案　C
解析　速度—时间图像只能表示直线运动的规律，不能表示曲线运动的规律，选项A错误；0～4 s内，物体的速度先减小后反向增大，选项B错误；0～4 s内，物体速度的变化量Δv＝(－3－5) m/s＝－8 m/s，选项C正确；v－t图像的斜率表示加速度，根据图像可知，0～4 s内，物体的加速度先减小后增大，选项D错误．

9．某人从竿上端由静止开始先匀加速下滑时间2t，后再匀减速下滑时间t恰好到达竿底且速度为0，则这两段匀变速运动过程中加速度大小之比为(　　)
A．1∶2 B．2∶1
C．1∶4 D．4∶1
答案　A
解析　设最大速度为v，则匀加速阶段a1＝，匀减速阶段a2＝，所以加速度大小之比为1∶2，A正确．

10．(2019·重庆南开中学高一上期中)一质点做匀变速直线运动的速度随时间变化的关系为v＝(40－10t) m/s.下列说法正确的是(　　)
A．质点在前4 s内做匀加速运动
B．质点的初速度是20 m/s
C．质点的加速度大小是5 m/s2
D．t＝4 s时，质点的加速度不为零
答案　D
解析　质点做匀变速直线运动的速度随时间变化的关系为v＝(40－10t) m/s，结合公式v＝v0＋at，可得质点的初速度v0＝40 m/s，质点的加速度a＝－10 m/s2，则质点的加速度大小是10 m/s2，故B、C错误；由题给出的表达式得，经过4 s后质点的速度减小为零，质点的加速度不变，则质点在前4 s内做匀减速运动，故A错误；质点在前4 s内做匀减速运动，4 s后做反方向的匀加速运动，t＝4 s时，质点的加速度仍为－10 m/s2，故D正确．
11.(多选)一物体做直线运动，其v－t图像如图4所示，以下说法正确的是(　　)

图4
A．只有0～2 s内加速度与速度方向相同
B．0～2 s内物体的加速度为1.5 m/s2
C．4～6 s内物体的速度一直在减小
D．0～2 s和5～6 s内加速度的方向与速度方向均相同
答案　BD
解析　根据题图可知，0～2 s内加速度与速度方向都为正方向，方向相同，5～6 s内，加速度与速度方向都为负方向，方向相同，故A错误，D正确；v－t图像的斜率表示物体运动的加速度，0～2 s内物体的加速度a＝ m/s2＝1.5 m/s2，故B正确；4～6 s内物体的速度先减小后反向增大，故C错误．
12．航空母舰上的飞机弹射系统可以缩短战斗机起跑的位移．假设某型号战斗机初速度为零，弹射系统对该型号战斗机作用了1 s时间后，可以使飞机达到一定的初速度，然后飞机在甲板上起跑，加速度为2 m/s2，经过10 s达到起飞速度50 m/s的要求，问：
(1)飞机离开弹射系统瞬间的速度是多少？
(2)弹射系统对飞机提供的加速度是多少？
答案　(1)30 m/s　(2)30 m/s2
解析　(1)设飞机离开弹射系统瞬间的速度为v1，由v2＝v1＋a2t2，得v1＝v2－a2t2＝50 m/s－2×10 m/s＝30 m/s.
(2)设弹射系统对飞机提供的加速度为a1，由v1＝0＋a1t1，得a1＝＝ m/s2＝30 m/s2.
13．一辆汽车从静止开始启动，做匀加速直线运动，用了10 s的时间达到72 km/h的速度，然后以这个速度在平直公路上匀速行驶，突然司机发现前方公路上有一只小鹿，于是立即刹车，如图5所示，刹车过程中做匀减速直线运动，加速度大小为4 m/s2，求：

图5
(1)汽车在启动加速时的加速度；
(2)开始刹车后2 s末的速度大小和6 s末的速度大小．
答案　(1)2 m/s2，方向与汽车的运动方向相同
(2)12 m/s　0
解析　(1)选汽车的运动方向为正方向，
v1＝72 km/h＝20 m/s
启动时的加速度为a1＝＝ m/s2＝2 m/s2.
即启动时的加速度大小为2 m/s2，方向与汽车的运动方向相同
(2)汽车刹车过程的加速度为a2＝－4 m/s2
设汽车刹车过程用时t0
由0＝v1＋a2t0，
得汽车刹车过程所需要的时间为t0＝5 s，
所以开始刹车后2 s末的速度为
v2＝v1＋a2t2＝[20＋(－4)×2] m/s＝12 m/s，
由于6 s＞5 s，所以开始刹车后6 s末的速度为0.
14．(2019·广雅中学期末)汽车原来以10 m/s的速度在平直公路上匀速行驶，因为路口出现红灯，司机从较远的地方开始刹车，使汽车匀减速前进，当车速减到2 m/s时，交通灯转为绿色，司机当即放开刹车，并且只用了减速过程一半的时间，汽车加速到原来的速度，从刹车开始到恢复原来速度的过程用了12 s．求：
(1)减速与加速过程中的加速度大小；
(2)开始刹车后2 s末及10 s末的瞬时速度大小．
答案　(1)1 m/s2　2 m/s2　(2)8 m/s　6 m/s
解析　(1)汽车先做匀减速运动，再做匀加速运动，其运动简图如图所示，设汽车从A点开始减速，其运动的初速度vA＝10 m/s，用t1表示从A点到达B点经过的时间，汽车从B点又开始加速，经过时间t2到达C点，则vB＝2 m/s，vC＝10 m/s.且t2＝t1，t1＋t2＝12 s，可得t1＝8 s，t2＝4 s

在AB段，vB＝vA－a1t1
在BC段，vC＝vB＋a2t2
代入数据得a1＝1 m/s2，a2＝2 m/s2.
(2)2 s末的速度v2＝vA－a1t1′＝10 m/s－1×2 m/s＝8 m/s
10 s末的速度v10＝vB＋a2t2′＝2 m/s＋2×(10－8) m/s＝6 m/s.