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构造角平分线借助其性质解题
在解决三角形的问题中，如果已知条件中涉及到角的平分线，我们则可以考虑利用角的平分线的性质解题.现举例如下.
一、证明线段相等
例1 如图1，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD平分底边BC.求证AB=AC.
分析：根据已知可知AD是∠BAC的平分线，可通过点D作∠BAC的垂线，根据角平分线的性质，结合三角形的面积进行证明.
证明：过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F.
因为DA为∠BAC的平分线，所以DE=DF.
又因为AD平分BC，所以BD=CD，
所以S△ABD=S△ACD，
又S△ABD=AB·DE，S△ACD=AC·DF，
所以AB·DE=AC·DF，
所以AB=AC.

图1 图2
二、证明两角的和等于180°.
例2 已知，如图2，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD.求证:∠B+∠D=180°.
分析:因为AC是∠BAD的平分线,所以可过点C作∠BAD的两边的垂线,构造直角三角形,通过证明三角形全等解决问题.
证明:作CE⊥AB于E,CF⊥AD于F.
因为AC平分∠BAD,
所以CE=CF.
在△CBE和△CDF中,
因为CE=CF,CB=CD,
所以Rt△CBE≌Rt△CDF,所以∠B=∠1,
因为∠1+∠ADC=180°,
所以∠B+∠ADC=180°,
即∠B+∠D=180°.
三、证明角相等
例3如图3，在△ABC中，PB、PC分别是∠ABC的外角的平分线，求证：∠1=∠2
分析：要证明AP是∠BAC的平分线，需要证明点P到∠BAC两边的距离相等，可作PE⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，易证PE=PH，PH=PG，从而PE=PG.
证明；过点P作PE⊥AB于点E，PG⊥AC于点G，PH⊥BC于点H.
因为P在∠EBC的平分线上，PE⊥AB，PH⊥BC，
所以PE=PH，
同理可证PH=PG，
所以PG=PE，
又PE⊥AB，PG⊥AC，所以PA是∠BAC的平分线.
所以∠1=∠2.

图3 图4
四、证明角的平分线
例4 如图4，DA⊥AB，CB⊥AB，P是AB的中点，PD平分∠ADC.
求证：CP平分∠DCB.
分析：因为DA⊥AB，PD平分∠ADC，所以可过点P作PE⊥AC，利用角平分线的性质得到PE=PA，进而可得到PE=PB.
证明：过点P作PE⊥DC，垂足于E，
因为PD平分∠ADC，PA⊥AD，所以PA=PE，
因为P为AB的中点，
所以PA=PB，所以PE=PB，
因为CB⊥BP，CE⊥PE，所以CP平分∠DCB
五、求角的度数
例5 如图5，在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB=20°，CE平分∠ACB，D是AC上一点，若∠CBD=20°，求∠ADE的度数.
分析：由于CE平分∠ACB，可过点E作∠ACB的两边的垂线，通过证明DE是∠ADB的平分线解决问题.
解：作EN⊥CA，EM⊥BD，EP⊥CB，垂足分别是N、M、P.
因为∠ABD=∠ABC-∠CBD=100°-20°=80°，∠PBA=180°-100°=80°，
所以∠PBA=∠ABD，
因为EM⊥BD于M，EP⊥CB于P，所以EP=EM，
又CE平分∠ACB，EN⊥CA，EP⊥CB，所以EN=EP，
所以EN=EM，
所以ED平分∠ADB，
所以∠ADE=∠ADB=×40°=20°.

图5

“截长补短法”在角的平分线问题中的运用
人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.
例1. 已知，如图1-1，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.
求证：∠BAD+∠BCD=180°.
分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.
证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点E，作DF⊥BC于点F，如图1-2
图1-1
∵BD平分∠ABC，
∴DE=DF，
在Rt△ADE与Rt△CDF中，
图1-2

∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),
∴∠DAE=∠DCF.
又∠BAD+∠DAE=180°，
∴∠BAD+∠DCF=180°，
即∠BAD+∠BCD=180°
例2. 如图2-1，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.
求证：CD=AD+BC.
分析：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.
图2-1
证明：在CD上截取CF=BC，如图2-2
在△FCE与△BCE中，

∴△FCE≌△BCE（SAS）,
∴∠2=∠1.
图2-2
又∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴∠DCE+∠CDE=90°，
∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，
∴∠3=∠4.
在△FDE与△ADE中，

∴△FDE≌△ADE（ASA），
∴DF=DA，
∵CD=DF+CF，
∴CD=AD+BC.
例3. 已知，如图3-1，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD.
求证：∠BAP+∠BCP=180°.
分析：与例1相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP=∠EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.
证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点E，如图3-2
图3-1
∵∠1=∠2，且PD⊥BC，
∴PE=PD，
在Rt△BPE与Rt△BPD中，

∴Rt△BPE≌Rt△BPD(HL),
图3-2
∴BE=BD.
∵AB+BC=2BD，
∴AB+BD+DC=BD+BE，
∴AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE.
在Rt△APE与Rt△CPD中,

∴Rt△APE≌Rt△CPD(SAS),
∴∠PAE=∠PCD
又∵∠BAP+∠PAE=180°.
∴∠BAP+∠BCP=180°
例4. 已知：如图4-1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.
图4-1
求证：AB=AC+CD.
分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.
证明：方法一（补短法）
延长AC到E，使DC=CE，则∠CDE＝∠CED，如图4-2
∴∠ACB＝2∠E，
图4-2
∵∠ACB＝2∠B，
∴∠B＝∠E，
在△ABD与△AED中,

∴△ABD≌△AED（AAS）,
∴AB=AE.
又AE=AC+CE=AC+DC，
∴AB=AC+DC.
方法二（截长法）
在AB上截取AF=AC，如图4-3
在△AFD与△ACD中,
图4-3

∴△AFD≌△ACD（SAS）,
∴DF=DC，∠AFD＝∠ACD.
又∵∠ACB＝2∠B，
∴∠FDB＝∠B，
∴FD=FB.
∵AB=AF+FB=AC+FD，
∴AB=AC+CD.
由角平分线引出的线段关系
一.过三角形一边的两个顶点分别作两个内角的平分线相交于一点，过这点作这边的平行线与其他两边相截，则截线长等于每个截点到同一边上每个顶点之间的线段长的和。
已知：如图1，、的平分线相交于点F，过F作DE//BC，交AB于D，交AC于E，求证：

图1
证明：BF平分，BE//BC

同理可证

即
二. 过三角形两个外角（或一个内角与一个外角）的平分线的交点作平行截线，三条截线段的关系又怎么样？请看以下例证。
例1. 已知：如图2，D是的外角，的平分线AD、CD的交点，过D作EF//AC，交BA的延长线于E，交BC的延长线于F。

图2
试指出AE、FC、EF的关系。
分析：AD平分，EF//AC

同理可证。而

例2. 已知，如图3，D是的内角与外角的平分线BD与CD的交点，过D作DE//BC，交AB于E，交AC于F。试确定EF、EB、FC的关系。

图3
分析：BD平分，DE//BC
易证

又，CD平分

而

因此，这道习题的命题可推广为：
过三角形一边的两个顶点分别作两个内角或两个外角（一个内角与一个外角）的平分线相交于一点，过这点作这边的平行线与其他两边或两边的延长线相截，则截线段的长等于每个截点到同一边上每个顶点之间的线段长的和（或差）。

　三角形角平分线的应用例析
三角形的角平分线是三角形的主要线段之一，它在几何的计算或证明中，起着“桥梁”的作用．那么如何利用三角形的角平分线解题呢？下面举例说明．
A
一、“以角平分线为轴翻折”构造全等三角形
A
此情形可构造两种基本图形如图1、2所示：
C
B
如图1，以AD为轴翻折，
E
D
使点C落在AB上（即在AB
E
D
C
B
上截取AE = AC），得△ACD
（图2）
（图1）
≌△AED．如图2，以AD为
轴翻折，使点B落在AC的延
长线上（即延长AC到E，使 AE = AB），得△ABD≌△AED．
例 1 如图3，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB + BD = AC，求∠B ∶∠C的值．（河南省中考题）
解法1：在AC上截取AE = AB ，连结AE．
∵∠BAD = ∠DAE，AD = AD，
A
∴△ABD≌△AED，
E
C
∴∠B = ∠AED，BD = DE．
B
又∵AB + BD = AC，
（图3）
D
∴CE = BD = DE，
∴∠C = ∠EDC，
∴∠B = ∠AED = 2∠C，
∴∠B ∶∠C = 2∶1．
解法2：延长AB到E，使AE = AC ，连结DE．请读者一试．
二、“角平分线 + 垂线”构造全等三角形或等腰三角形
1、根据角平分线的性质作垂线：自角的平分线上任一点向两边作垂线，得两个全等的直角三角形；
2、根据等腰三角形的“三线合一”性质作垂线：自角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与另一边相交，则截的一个等腰三角形．
例 2 如图4，在四边形ABCD中，
E
A
BC > BA，AD = DC，BD平分∠ABC．
D
求证：∠A + ∠C = 180°．
证明：过点D作DE⊥AB，交BA延
F
C
B
长线于点E，作DF⊥BC，交BC于点F ．
（图4）
∵BD平分∠ABC，
∴DE = DF ．又∵AD = DC，
∴Rt△EAD≌Rt△FCD，
∴∠C = ∠EAD．
∵∠EAD + ∠BAD = 180°，
∴∠C + ∠BAD = 180°．
F
例 3 如图5，已知等腰Rt△ABC中，∠A = 90°，∠B的平分线交AC于D，过C作BD的垂线交BD的延长线于E．求证：BD = 2CE .
A
证明：延长CE交BA的延长线于点F ．
E
∵BE是∠B的平分线，BE⊥CF，
D
∴∠BCF = ∠F，
C
B
∴△FBC是等腰三角形．
（图5）
∴CE = FE．
∴CF = 2CE．
∵AB = AC，∠ABD = ∠ACF，∠BAD = ∠CAF = 90°，
∴Rt△BAD≌Rt△CAF．
BD = CF = 2CE．
三、“角平分线 + 平行线”构造等腰三角形
A
1、自角的平分线上任一点作角的一边的平行线交另一边，得等腰三角形；
2、自角的一边上任一点作角平分线的平
E
F
D
行线交另一边的反向延长线，得等腰三角形．
C
B
例 4 如图6，在△ABC中，∠B和
（图6）
∠C的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，
交AB于D，交AC于E．若BD + EC =9，
则线段DE的长为（ ）
A.9；B.8；C.7；D.6. （河北省中考题）
解：∵DE∥BC，
∴∠DFB = ∠FBC ．
∵ ∠FBC = FBD，
∴∠DFB = FBD，
∴DF = BD．同理可证，FE = EC ．
∵DF + FE = DE，
∴BD + EC = DE，即DE = 9. 故应选A.
例 5 如图7，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E是BC中点，EF∥AD，交AB于M，交CA的延长线于F，求证：BM = CF．
N
F
证明：作CN∥EF交BA的延长线于N．
∵E是BC中点，
M
A
∴BM = MN．
∵∠BAD =∠CAD，EF∥AD，
B
∴∠F = ∠FMA，
E
D
C
∴AM = AF．又∵CN∥EF，
（图7）

∴∠N = ∠ACN，
∴AN = AC．
∴AC + AF = AN + AM = BM，
∴BM = CF．
总之，三角形的角平分线问题的辅助线的添加，一般不外乎以上三种情形，只要根据题目所给的条件，灵活选用上述三种构图方法，问题可获得解答．

与角有关的辅助线
一、截取构全等
几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。
如图1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并连接DE、DF，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
例1． 如图1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。
分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。
简证：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。自已试一试。
例2． 已知：如图1-3，AB=2AC，
∠BAD=∠CAD，DA=DB，
求证DC⊥AC
分析：此题还是利用角平分线来构造
全等三角形。构造的方法还是截取线
段相等。其它问题自已证明。
例3． 已知：如图1-4，在△ABC
中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，
求证：AB-AC=CD
分析：此题的条件中还有角的平分线，
在证明中还要用到构造全等三角形，此
题还是证明线段的和差倍分问题。用到的
是截取法来证明的，在长的线段上截取短
的线段，来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？
练习
1． 已知在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，
求证：AB+BD=AC
2． 已知：在△ABC中，∠CAB=2∠B，AE平分∠CAB交BC于E，AB=2AC，求证：AE=2CE
3． 已知：在△ABC中，AB>AC,AD为∠BAC的平分线，M为AD上任一点。求证：BM-CM>AB-AC
4． 已知：D是△ABC的∠BAC的外角的平分线AD上的任一点，连接DB、DC。求证：BD+CD>AB+AC。
二、角分线上点向角两边作垂线构全等
过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
例1． 如图2-1，已知
AB>AD, ∠BAC=∠FAC,
CD=BC。
求证：∠ADC+∠B=180 
分析：可由C向∠BAD的两边
作垂线。近而证∠ADC与
∠B之和为平角。

例2． 如图2-2，在△ABC中，
∠A=90 ，AB=AC，
∠ABD=∠CBD。
求证：BC=AB+AD
分析：过D作DE⊥BC于E，则
AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得证。此题
是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方
法。
例3． 已知如图2-3，△ABC
的角平分线BM、CN
相交于点P。
求证：∠BAC的平分线也经过点P。
分析：连接AP，证AP平分∠BAC即可，
也就是证P到AB、AC的距离相等。

练习：
1．如图2-4∠AOP=∠BOP=15 ，PC//OA，PD⊥OA，
如果PC=4，则PD=（ ）
A 4 B 3 C 2 D 1
2．已知在△ABC中，∠C=90 ，AD平分∠CAB，
CD=1.5,DB=2.5.求AC。
3．已知：如图2-5, ∠BAC=∠CAD,AB>AD，CE⊥AB，
AE=（AB+AD）.求证：∠D+∠B=180 。
4.已知：如图2-6,在正方形ABCD中，E为CD 的中点，F为BC
上的点，∠FAE=∠DAE。求证：AF=AD+CF。
5． 已知：如图2-7，在Rt△ABC中，∠ACB=90 ,CD⊥AB，垂足为D，AE平分∠CAB交CD于F，过F作FH//AB交BC于H。求证CF=BH。

三：作角平分线的垂线构造等腰三角形（构造全等三角形）
从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。
例1． 已知：如图3-1，∠BAD=∠DAC，AB>AC,
CD⊥AD于D，H是BC中点。求证：DH=（AB-AC）
分析：延长CD交AB于点E，则可得全等三角形。问题可证。

例2． 已知：如图3-2，AB=AC，∠BAC=90 ，AD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：BD=2CE。
分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。

例3．已知：如图3-3在
△ABC中，AD、AE分别
∠BAC的内、外角平分线，
过顶点B作BFAD，交AD
的延长线于F，连结FC并
延长交AE于M。
求证：AM=ME。
分析：由AD、AE是∠BAC内外角平分线，可得EA⊥AF，从而有BF//AE，所以想到利用比例线段证相等。
例4． 已知：如图3-4，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD交AD延长线于M。求证：AM=（AB+AC）
分析：题设中给出了角平分线AD，自然想到以AD为轴作对称变换，作△ABD关于AD的对称△AED，然后只需证DM=EC，另外由求证的结果AM=（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可尝试作△ACM关于CM的对称△FCM，然后只需证DF=CF即可。
练习：
1． 已知：在△ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中点，AE是∠BAC的平分线，且CE⊥AE于E，连接DE，求DE。
2． 已知BE、BF分别是△ABC的∠ABC的内角与外角的平分线，AF⊥BF于F，AE⊥BE于E，连接EF分别交AB、AC于M、N，求证MN=BC

四、以角分线上一点做角的另一边的平行线，构造等腰三角形
有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图4-1和图4-2所示。

《线段垂直平分线》中一道习题的变式

例1：如图1，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长.
解析：由线段垂直平分线定理得出AE=BE，由此△BCE的周长等于AC+BC，进而可以求得BC的长为23.
点评：此题是△ABC中一边AB的垂直平分线AC相交;那么当AB的垂直平分线与BC相交时，(如图2),对应的是△ACE的周长，它的周长也等于AC+BC.图形变化，但结论不变.
图1

图2

变式1：如图1，在△ABC中， AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若∠BEC=70°，则∠A=？
解析：由线段垂直平分线定理得出AE=BE，可得△ABE是等腰三角形，由 “三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”可得出∠BEC=2∠A，进而得出∠A=35°.
点评：此题变式求角的计算方法，应用了两个定理.按照同样的方法,图2中也能得出相应的结论：∠AEC=2∠B.
变式2：
如图3，在Rt△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E。若BE=2，∠B =15°
求：AC的长。
图3

解析：由线段垂直平分线定理得出AE=BE，应用变式1的结论，可求得∠AEC =30°，再应用“直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半”性质，可出求AC=1.
点评：此题为图形变式，由一般三角形变为直角三角形，上面我们总结的结论不变，然后再应用直角三角形的有关性质。
[变式练习1]
如图4，在Rt△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E.若BE=2，∠B =22.5°
求：AC的长.
图4

提示与答案：△AEC是等腰直角三角形,AE=2,再应用勾股定理得AC=
例2: 如图5，在△ABC中，AB=AC, BC=12,∠BAC =120°,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.
(1) 求△AEN的周长.
图5
(2) 求∠EAN的度数.
(3) 判断△AEN的形状.

解析：此题图形为一个顶角是钝角的等腰三角形，两腰的垂直平分线都与底边相交，（1）应用线段垂直平分线定理得出AE=BE，AN=NC，因此△AEN的周长等于BC的长.（2）应用变式1的结论∠AEN=2∠B=60°，∠ENA=2∠C=60°所以∠EAN=60°.（3）由（2）知△AEN是等边三角形.
[变式练习2]:如图6，在△ABC中，AB=AC, BC=12,∠BAC =130°,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.
(1) 求△AEN的周长.
图6
(2) 求∠EAN的度数.
(3) 判断△AEN的形状.

提示与答案：（1）△AEN的周长不变.（2）∠AEN=2∠B=50°，∠ENA=2∠C=50°所以∠EAN=80°（3）由（2）知△AEN是等腰三角形.
[变式练习3]:如图7，在△ABC中， BC=12,∠BAC =100°,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.
(1) 求△AEN的周长.
图7
(2) 求∠EAN的度数.

提示与答案：（1）△AEN的周长不变.（2）∠AEN=2∠B，∠ENA=2∠C，因为∠B+∠C=80°所以∠AEN+∠ENA=160°所以∠EAN=20°.
点评：例2和它的两道变式练习题中发现：三个图形由特殊到一般，从顶角是120°的等腰三角形到顶角是钝角的一般的等腰三角形到一般钝角三角形，△AEN的形状也不断的变化，∠EAN的度数也变化，但△AEN的周长不变，因此得出结论：1）△AEN的周长=BC长.2）△AEN的形状变化规律是由等边三角形到等腰三角形到一般三角形，与△ABC的形状有关.3）∠EAN的度数与∠BAC的度数有关.因为∠EAN=180°-2∠B-2∠C=180°-2（∠B+∠C）=180°-2（180°-∠BAC）=2∠BAC -180°.从等式中也得出∠BAC必须大于90°.

[变式练习4]
如图8，△ABC中, ∠BAC =70°, BC=12,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.
求:∠EAN的度数.

图8

答案: ∠EAN=40°
点评:由上题的方法得出∠AEC+∠BNA =2∠B+2∠C,由平角性质可得: ∠AEB+∠CNA=360°-(2∠B+2∠C),由三角形内角和定理得∠EAN=180°-2∠BAC

总评：从上述两道例题及变式题中得出无论是图形变化还是题条件变化，都和基本图形及由基本图形得出的结论有关.因此同学们在以后的学习或解题中，善于在复杂图形中找出基本图形，这样就会将图形简单化.应用由基本图形得出的相关结论，就会找出解题思路.