运动图象追及问题.docx

运动学图象、追及相遇问题
运动学图象的理解和应用

1．x－t图象
(1)物理意义：反映了物体做直线运动的位移随时间变化的规律．
(2)图线斜率的意义
①图线上某点切线的斜率的大小表示物体速度的大小．
②切线斜率的正负表示物体速度的方向．
(3)两种特殊的x－t图象
①匀速直线运动的x－t图象是一条倾斜的直线．
②若x－t图象是一条平行于时间轴的直线，则表示物体处于静止状态．
2．v－t图象
(1)物理意义：反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律．
(2)图线斜率的意义
①图线上某点切线的斜率的大小表示物体加速度的大小．
②图线上某点切线的斜率的正负表示物体加速度的方向．
(3)两种特殊的v－t图象
①匀速直线运动的v－t图象是与横轴平行的直线．
②匀变速直线运动的v－t图象是一条倾斜的直线．
(4)图线与时间轴围成的面积的意义
①图线与时间轴围成的面积表示相应时间内的位移大小．
②此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为正方向；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为负方向．
3．a－t图象
(1)物理意义：反映了做直线运动的物体的加速度随时间变化的规律．
(2)图象斜率的意义：图线上某点切线的斜率表示该点加速度的变化率．
(3)包围面积的意义：图象和时间轴所围的面积，表示物体的速度变化量．

1．[位移图象的理解](2015·广东理综·13)甲、乙两人同时同地出发骑自行车做直线运动，前1小时内的位移—时间图象如图1所示，下列表述正确的是(　　)
A．0.2～0.5小时内，甲的加速度比乙的大 B．0.2～0.5小时内，甲的速度比乙的大
C．0.6～0.8小时内，甲的位移比乙的小 D．0.8小时内，甲、乙骑行的路程相等

2．[速度图象的理解](2014·天津理综·1)质点做直线运动的速度—时间图象如图所示，该质点(　　)
A．在第1秒末速度方向发生了改变
B．在第2秒末加速度方向发生了改变
C．在第2秒内发生的位移为零
D．第3秒末和第5秒末的位置相同
3．[两类图象的比较]如图所示的位移－时间(x－t)图象和速度－时间(v－t)图象中给出四条图线，甲、乙、丙、丁代表四辆车由同一地点向同一方向运动的情况，则下列说法正确的是(　　)
A．甲车做直线运动，乙车做曲线运动
B．0～t1时间内，甲车通过的路程大于乙车通过的路程
C．0～t2时间内，丙、丁两车在t2时刻相距最远
D．0～t2时间内，丙、丁两车的平均速度相等
4．[速度图象的应用](2014·新课标Ⅱ·14)甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶．在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v－t图象如图所示．在这段时间内(　　)
A．汽车甲的平均速度比乙的大 B．汽车乙的平均速度等于
C．甲、乙两汽车的位移相同
D．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大
1．答案　B解析　位移－时间图象的斜率绝对值反映速度大小，在0.2～0.5小时内，甲、乙均做匀速直线运动，加速度为0，甲图象斜率大于乙图象，说明甲的速度大于乙的速度，故A错误，B正确；由位移－时间图象可以看出在0.6～0.8小时内甲的位移比乙的大，故C错误；由位移－时间图象看出在t＝0.5小时时，甲在s＝10 km处，而乙在s＝8 km处，进一步得出在0.8小时内甲的路程比乙的大，故D错误．
2．答案　D 解析　A．在第1秒末质点的加速度方向发生改变，速度方向未改变，A错误．
B．在第2秒末质点的速度方向发生改变，加速度方向未改变，B错误．
C．在第2秒内质点一直沿正方向运动，位移不为零，C错误．
D．从第3秒末到第5秒末质点的位移为零，故两时刻质点的位置相同，D正确．
3．答案　C 解析　在x－t图象中表示的是做直线运动的物体的位移随时间的变化情况，而不是物体运动的轨迹．由于甲、乙两车在0～t1时间内做单向的直线运动，故在这段时间内两车通过的位移和路程均相等，A、B选项均错．在v－t图象中，t2时刻丙、丁速度相等．故两者相距最远，C选项正确．由图线可知，0～t2时间内丙的位移小于丁的位移，故丙的平均速度小于丁的平均速度，D选项错误．
4．答案　A 解析　由v－t图象知，在0～t1时间内，甲的位移大于乙的位移，C错误．由＝知，甲的平均速度比乙的大，故A正确．如图所示，汽车乙的v－t图象中，实线与坐标轴所围的面积小于上方虚线与坐标轴所围的面积，故汽车乙的平均速度小于，B错误．v－t图象中的斜率表示加速度，甲、乙图线上各点切线斜率的绝对值均逐渐减小，故加速度的大小都逐渐减小，D错误．

图象问题的三个提醒
1．x－t图象、v－t图象都不是物体运动的轨迹，图象中各点的坐标值x、v与t一一对应．
2．x－t图象、v－t图象的形状由x与t、v与t的函数关系决定．
3．无论是x－t图象还是v－t图象，所描述的运动情况都是直线运动．

追及与相遇问题

1．分析技巧：可概括为“一个临界条件”、“两个等量关系”．
(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点；
(2)两个等量关系：时间关系和位移关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口．
2．能否追上的判断方法
物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0.若vA＝vB时，xA＋x0<xB，则能追上；若vA＝vB时，xA＋x0＝xB，则恰好不相撞；若vA＝vB时，xA＋x0>xB，则不能追上．
3．若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断追上前该物体是否已经停止运动．
[思维深化]
如果是做匀减速运动的物体A追匀速运动的物体B，当vA＝vB时，A、B相遇的情况有哪几种情形？
答案　(1)若已超越则相遇两次．(2)若恰好追上，则相遇一次．(3)若没追上，则无法相遇．

5．[对追及和相遇的理解](多选)如图5所示，A、B两物体从同一点开始运动，从A、B两物体的位移图象可知下述说法中正确的是(　　)
A．A、B两物体同时自同一位置向同一方向运动
B．A、B两物体自同一位置向同一方向运动，B比A晚出发2 s
C．A、B两物体速度大小均为10 m/s
D．A、B两物体在A出发后4 s时距原点20 m处相遇

6．[对追及和相遇的理解]如图所示，为三个运动物体的v－t图象，其中A、B两物体是从不同地点出发，A、C是从同一地点出发，则以下说法正确的是(　　)
A．A、C两物体的运动方向相反 B．t＝4 s时，A、B两物体相遇
C．t＝4 s时，A、C两物体相遇 D．t＝2 s时，A、B两物体相距最远
5．答案　BD 解析　由x－t图象可知，A、B两物体自同一位置向同一方向运动，且B比A晚出发2 s，图象中直线的斜率大小表示做匀速直线运动的速度大小，由x－t图象可知，B物体的运动速度大小比A物体的运动速度大小要大，A、B两直线的交点的物理意义表示相遇，交点的坐标表示相遇的时刻和相遇的位置，故A、B两物体在A物体出发后4 s时相遇．相遇位置距原点20 m，综上所述，B、D选项正确．
6．答案　C 解析　在t＝4 s之前，A、B、C物体开始阶段速度方向均为正，方向相同；当t＝4 s时，A、B两物体发生的位移相同，但由于两物体不是同地出发，因此此时两者并没有相遇，而A、C两物体是同时同地出发，此时两者的位移也相等，故此时两物体相遇；当t＝2 s时，A、B两物体的速度相同，此时应当为两者之间距离的一个极值，但由于初始状态不清，没有明确A、B谁在前，故有“相距最远”和“相距最近”两种可能，因此D错．

追及与相遇问题的类型及解题思路
1．相遇问题的两类情况
(1)同向运动的两物体追及即相遇，各自位移之差等于开始时两物体之间的距离．
(2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇．
2．追及问题涉及两个不同物体的运动关系，分析时要紧抓“一个图三个关系式”，即：过程示意图或v－t图象，速度关系式、时间关系式和位移关系式．同时要关注题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等．
7．[速度大者追速度小者]在一大雾天，一辆小汽车以30 m/s的速度行驶在高速公路上，突然发现正前方30 m处有一辆大卡车以10 m/s的速度同方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，刹车过程中刹车失灵．如图7a、b分别为小汽车和大卡车的v－t图线，以下说法正确的是(　　)
A．因刹车失灵前小汽车已减速，不会追尾 B．在t＝5 s时追尾
C．在t＝3 s时追尾 D．由于初始距离太近，即使刹车不失灵也会追尾
8．[速度大者追速度小者]甲、乙两车在同一直线轨道上同向行驶，甲车在前，速度为v1＝8 m/s，乙车在后，速度为v2＝16 m/s，当两车相距x0＝8 m时，甲车因故开始刹车，加速度大小为a1＝2 m/s2，为避免相撞，乙车立即开始刹车，则乙车的加速度至少为多大？

7．答案　C 解析　由v－t图象可知，小汽车刹车失灵前做匀减速运动，刹车失灵后加速度减小但仍做匀减速运动，大卡车一直做匀速运动，5 s时两车速度相等，此时两者位移差为x小汽车－x大卡车＝×(10＋20)×1 m＋×4×10 m＝35 m>30 m，所以在t＝5 s前已追尾，A、B错误；t＝3 s时，由图象知小汽车的位移为x1＝×1 m＋×2 m＝60 m，大卡车的位移为30 m，它们的位移差为30 m，所以t＝3 s时追尾，C正确；如果刹车过程中刹车不失灵，由图可知，刹车的加速度大小为a＝10 m/s2，速度相等时，时间t＝ s＝2 s，小汽车的位移为x2＝30×2 m－×10×22 m＝40 m，大卡车的位移为20 m，它们的位移差为20 m，所以不会发生追尾，D错误．
8．答案　见解析
解析　方法一：临界法 两车速度相同均为v时，设所用时间为t，乙车的加速度为a2，则v1－a1t＝v2－a2t＝v，t＝t－x0，解得t＝2 s，a2＝6 m/s2，即t＝2 s时，两车恰好未相撞，显然此后在停止运动前，甲的速度始终大于乙的速度，故可避免相撞．满足题意的条件为乙车的加速度至少为6 m/s2.
方法二：函数法 甲、乙运动的位移：x甲＝v1t－a1t2 x乙＝v2t－a2t2
避免相撞的条件为x乙－x甲<x0 即(a2－a1)t2＋(v1－v2)t＋x0>0
代入数据有(a2－2)t2－16t＋16>0
不等式成立的条件是：Δ＝162－4×16(a2－2)<0，且a2－2>0 解得a2>6 m/s2

速度大者减速追速度小者(匀速)的结论
1．两者速度相等时，追者位移仍小于被追者位移与初始间距之和，则永远追不上，此时二者间有最小距离．
2．若速度相等时，追者位移恰等于被追者位移与初始间距之和，则刚好追上，也是二者相遇时避免碰撞的临界条件．
3．若相遇时追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还能再一次追上追者．
9．[速度小者追速度大者]甲、乙两车在平直公路上比赛，某一时刻，乙车在甲车前方L1＝11 m处，乙车速度v乙＝60 m/s，甲车速度v甲＝50 m/s，此时乙车离终点尚有L2＝600 m，如图所示．若甲车加速运动，加速度a＝2 m/s2，乙车速度不变，不计车长．求：
(1)经过多长时间甲、乙两车间距离最大，最大距离是多少？
(2)到达终点时甲车能否超过乙车？

9．答案　(1)5 s　36 m　(2)不能
解析　(1)当甲、乙两车速度相等时，两车间距最大，即v甲＋at1＝v乙，得
t1＝＝ s＝5 s 甲车位移x甲＝v甲t1＋at＝275 m
乙车位移x乙＝v乙t1＝60×5 m＝300 m 此时两车间距离Δx＝x乙＋L1－x甲＝36 m
(2)甲车追上乙车时，位移关系x甲′＝x乙′＋L1
甲车位移x甲′＝v甲t2＋at 乙车位移x乙′＝v乙t2
将x甲′、x乙′代入位移关系，得 v甲t2＋at＝v乙t2＋L1
代入数值并整理得t－10t2－11＝0， 解得t2＝－1 s(舍去)或t2＝11 s
此时乙车位移x乙′＝v乙t2＝660 m
因x乙′>L2，故乙车已冲过终点线，即到达终点时甲车不能追上乙车．

速度小者加速追速度大者(匀速)的结论
1．当二者速度相等时二者间有最大距离．
2．当追者位移等于被追者位移与初始间距之和时，二者相遇．

1．一个质点沿x轴做匀加速直线运动．其位移－时间图象如图9所示，则下列说法正确的是(　　)
A．该质点的加速度大小为2 m/s2
B．该质点在t＝1 s时的速度大小为2 m/s
C．该质点在t＝0到t＝2 s时间内的位移大小为6 m
D．该质点在t＝0时速度为零
2．亚丁湾索马里海域六艘海盗快艇试图靠近中国海军护航编队保护的商船，中国特战队员发射爆震弹成功将其驱离．假如其中一艘海盗快艇在海面上运动的v－t图象如图所示，设运动过程中海盗快艇所受阻力不变．则下列说法正确的是(　　)
A．海盗快艇在0～66 s内从静止出发做加速度增大的加速直线运动
B．海盗快艇在96 s末开始调头逃离
C．海盗快艇在66 s末离商船最近
D．海盗快艇在96～116 s内做匀减速直线运动
3．如图所示，Ⅰ、Ⅱ分别是甲、乙两小球从同一地点沿同一直线运动的v－t图线，根据图线可以判断(　　)
A．甲、乙两小球做的是初速度方向相反的匀变速直线运动，加速度大小相同、方向相同 B．两球在t＝8 s时相距最远
C．两球在t＝2 s时刻速度相等 D．两球在t＝8 s相遇
4．酒后驾驶严重威胁公众交通安全，若将驾驶员从视觉感知前方危险到汽车开始制动的时间称为反应时间，将反应时间和制动时间内汽车行驶的总距离称为感知制动距离．科学研究发现，反应时间和感知制动距离在驾驶员饮酒前后会发生明显变化．一驾驶员正常驾车和酒后驾车时，感知前方危险后汽车运动v－t图线分别如图12甲、乙所示．求：
(1)正常驾驶时的感知制动距离x；
(2)酒后驾驶时的感知制动距离比正常驾驶时增加的距离Δx.

5．如图所示，直线MN表示一条平直公路，甲、乙两辆汽车原来停在A、B两处，A、B间的距离为85 m，现甲车先开始向右做匀加速直线运动，加速度a1＝2.5 m/s2，甲车运动6 s时，乙车立即开始向右做匀加速直线运动，加速度a2＝5 m/s2，求两辆汽车相遇处距A处的距离．

1．答案　D 解析　质点做匀加速直线运动，设t＝0时质点的速度为v0，加速度为a，由图象知t1＝1 s时，x1＝2 m；t2＝2 s时，x2＝8 m，利用公式x＝v0t＋at2得x1＝v0t1＋at，x2＝v0t2＋at，代入数据解得a＝4 m/s2，v0＝0，t＝1 s时的速度大小为4 m/s，故只有D正确．
2．答案　B 解析　在0～66 s内图象的斜率越来越小，加速度越来越小，故海盗快艇做加速度减小的加速运动，A错误；海盗快艇在96 s末，速度由正变负，即改变运动的方向，开始掉头逃跑，此时海盗快艇离商船最近，B正确，C错误；海盗快艇在96～116 s内，沿反方向做匀加速运动，D错误．
3．答案　D
4．答案　(1)75 m　(2)30 m
解析 (1)设驾驶员饮酒前、后的反应时间分别为t1、t2，由图线可得：t1＝0.5 s，t2＝1.5 s
汽车减速时间为t3＝4.0 s，初速度v0＝30 m/s
由图线可得x＝v0t1＋t3 解得x＝75 m.
(2)Δx＝v0(t2－t1)＝30×(1.5－0.5) m＝30 m.
5．答案　125 m或245 m
解析　甲车运动6 s的位移为x0＝a1t＝45 m，尚未追上乙车，设此后经过时间t与乙车相遇，则有：a1(t＋t0)2＝a2t2＋85
将上式代入数据并展开整理得t2－12t＋32＝0. 解得t1＝4 s，t2＝8 s.
t1、t2都有意义，t1＝4 s时，甲车追上乙车； t2＝8 s时，乙车追上甲车再次相遇．
第一次相遇地点距A的距离 x1＝a1(t1＋t0)2＝125 m.
第二次相遇地点距A的距离 x2＝a1(t2＋t0)2＝245 m.
的距离为xmin＝x0＋x乙－x甲＝4 m.