专题导数及其应用.docx

专题 导数及其应用
1．设函数f(x)＝－aln x，若f′(2)＝3，则实数a的值为(　　)
A．4 　B．－4 C．2 D．－2
2．曲线y＝ex在点A处的切线与直线x－y＋3＝0平行，则点A的坐标为(　　)
A．(－1，e－1) B．(0,1) C．(1，e) D．(0,2)
3．若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有极值点，则实数c的取值范围为 (　　)
A. B.
C.∪ D.∪
4．设函数是定义在上的奇函数，当时，，则的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5.已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是_________．
6.若不等式对于任意的都成立，则实数的取值范围是___________．
7.已知函数，在区间上，恒成立，求的取值范围___________．
8.函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
9.已知函数的图象关于轴对称，且当，成立，，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知f(x)＝(x＋1)3e－x＋1，g(x)＝(x＋1)2＋a，若∃x1，x2∈R，使得f(x2)≥g(x1)成立，则实数a的取值范围是__________．
11.已知函数在区间上取得最小值4，求的值．

12．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若在区间内有唯一的零点，证明： .

13．设函数，
（1）证明：在单调递减，在单调递增；
（2）若对于任意，，都有，求的取值范围．

14．已知函数 (其中e是自然对数的底数，k∈R)．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当函数有两个零点时，证明： ．

专题 导数及其应用
1．解析：选B.f′(x)＝－，故f′(2)＝－＝3，因此a＝－4.
2．解析：选B.设A(x0，ex0)，y′＝ex，∴y′|x＝x0＝ex0.由导数的几何意义可知切线的斜率
k＝ex0.
由切线与直线x－y＋3＝0平行可得切线的斜率k＝1.
∴ex0＝1，∴x0＝0，∴A(0,1)．故选B.
3．

4．【解析】因为函数是定义域为的奇函数，所以，即0是函数的一个零点，当时，令，则，分别画出函数和的图象，
如图所示，两函数图象有一个交点，所以函数有一个零点，

根据对称性知，当时函数也有一个零点．
综上所述，的零点个数为3．故选C．
5.【答案】
【解析】，其中，
只需要．
令，，，，
在单调递减，在单调递减，
，．
6.【答案】
【解析】本题选择数形结合，可先作出在的图像，

扮演的角色为对数的底数，决定函数的增减，根据不等关系可得，观察图像进一步可得只需

时，，
即，所以．
7.【答案】
【解析】恒成立即不等式恒成立，令，
只需即可，，
，令（分析的单调性）
当时 在单调递减，则
当时，分是否在中讨论（最小值点的选取）
若，单调性如表所示

，．
（1）可以比较，的大小找到最小的临界值，再求解，但比较麻烦．由于最小值只会在，处取得，所以让它们均大于0即可．
（2）由于，并不在中，所以求得的只是临界值，临界值等于零也符合条件）
若，则在上单调递增，，符合题意，
综上所述：．
8.【解析】构造函数，所以，由于对任意，，
所以恒成立，所以是上的增函数，
又由于，所以，
即的解集为．故选B．
9.【解析】因为函数关于轴对称，所以函数为奇函数．
因为，所以当时，，函数单调递减，当时，函数单调递减．
因为，，，所以，所以．
故选D．
10．【答案】
【解析】∃x1，x2∈R，使得f(x2)≥g(x1)成立，即为f(x)max≥g(x)min.又f′(x)＝(x＋1)2e－x＋1(－x＋2)，由f′(x)＝0得x＝－1或2，且当x＜2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x＞2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以f(x)max＝f(2)＝，又g(x)min＝a，则a≤，故实数a的取值范围是(－∞，]．
点睛：对于不等式任意或存在性问题，一般转化为对应函数最值大小关系，即； ，

11.【解析】思路一：函数的定义域为，．
当时，，
当时，，为增函数，所以，，矛盾舍去；
当时，若，，为减函数，若，，为增函数，
所以为极小值，也是最小值；
①当，即时，在上单调递增，所以，
所以（矛盾）；
②当，即时，在上单调递减，，
所以；
③当，即时，在上的最小值为，
此时（矛盾）．
综上．
12．

（2）依题可知，若在区间内有唯一的零点，由（1）可知，
且 Z&X&X&K]
于是： ①
②
由①②得，设，
则，因此在上单调递减，
又，
根据零点存在定理，故.
13．【解析】（1），注意到，于是再求导得，，由于，于是为单调递增函数，
时，，时，，
在单调递减，在单调递增．
（2）若不等式恒成立，
则，在连续，
在有最大最小值，
，
由（1）可知在单调递减，在单调递增，
，，
，
设，
，在单调递减，在单调递增
，，故当时，，
当时，，，则上式成立．
当时，由的单调性，，即，
当时，，即，
综上，的取值范围为．
14．

（2）证明：当时，由（1）知函数单调递增，不存在两个零点。
所以。
设函数的两个零点为，
则，
设，
解得，
所以，
要证，
只需证，
设
设单调递增，
所以，
所以在区间上单调递增，
所以，
故．