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质心的概念与物理规律的简化

[摘要]：本文以两个质点构成的系统为例，讨论了质心概念的由来以及质心的性质。并说明了质心在物理规律简化过程中所起到的作用，以及用质心处理问题时应该注意的问题。
[关键词]：质心，物理规律，简化，科尼希定理，牛顿定律
[正文]：
1．牛顿运动定律
牛顿第一定律：一切物体在没有受到外力作用的时候，总保持匀速直线运动或静止状态。
牛顿第二定律：物体的加速度跟物体所受的合外力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同。
公式表示为：或或
牛顿第三定律：两个物体之间的作用力和反作用力，在同一直线上，大小相等，方向相反。
公式表示为：
2．牛顿运动定律应用于质点系
如图1所示，质点1、2构成系统。用表示系统外对质点1作用的综合效果，表示系统外对质点2作用的综合效果。表示质点1对质点2的作用力，表示质点2对质点1的作用力。
1
2
F1
F2
图1

对质点1应用牛顿第二定律有：

对质点2应用牛顿第二定律有：

上面的两个方程式相加有：

由于，所以上面的方程可以化简为：

这是应用于系统的牛顿第二定律。它说明用整体法分析系统时可不考虑系统内物体间的相互作用，外力的矢量和等于系统内各物体的质量与相应的加速度的乘积的和。
3．质心的概念
由上面得到的应用于系统的牛顿第二定律可知：

上面的表达式中，出现的量具有长度的量纲，若定义它为质点系的质心，并用表示。即：

则应用于系统的牛顿第二定律可简化为：

若用表示系统受到的合外力，m表示质点系的总质量，则可写为：

它与单个质点的牛顿第二定律有着同样简洁的形式。这要归功于质心概念的引入。
4．质心的性质
性质1：二质点的质心在二者连线上，且质心到二质点的距离与两者的质量成反比。
m1
r1
r2
O
y
x
m2
图2

要证明质心在二质点的连线上，只需要证且。证明如下：

这说明平行于，且。
这就证明了上面论断的第一点，即质心在二者的连线上。下面证明论断的第二点：

质心到质点2与质点1的距离比为：

至此，我们证明了性质1。
性质2：将二质点以轻杆相连，在质心处建立支点，则此杠杆平衡。
如图2所示，设重力沿着y轴的负方向。二质点连线与水平方向所成的角为，要证明杠杆平衡，只需要证明：

将、代入上式可得：

显然等上式的两边是相等的，命题得证。
5．质心与重心
与质心类似的，可以定义重心为

当时，重心的表达式可化为：

它与质心的表达式完全相同，其实我们正是明确了上面质心的性质2才这样定义重心的。这说明在均匀的重力场中，重心位置和质心位置是重合的。因此必然的有类似于质心性质的关于重心的性质1和性质2。
在不均匀的重力场中，物体的质心和重心往往是不重合的。
6．动量定理
由知：
可称其为质点的动量定理，将此规律应用于质点系有：

两式相加有：

即：

上式表明质点系动量的微分等于外力的矢量合的冲量，与系统内物体间的相互作用力的冲量无关。若用F表示外力的矢量合，用m表示质点系的总质量，表示质心的速度，则质点系的动量定理可简单表示为：

它与质点的动量定理有着相同的简单形式。
7．动能与功的定义
由牛顿第二定律知：

两边消去有：

定义为元功，定义为质点的动能，则：元功等于质点动以的微分，在物理学中这个规律叫做动能定理。
若将动能定理应用于质点系，由于系统内力的功，即相互作用力的功的代数和有各种可能性，它不一定为零，因此与质点系的动量定理不同，它必须考虑内力的功。
8．柯尼希定理
质点系的动能定义为各质点的动能的和。那么，质心的动能和物体的动能间存在怎样的关系呢？

可见，质点系的动能毛病地质心的动能再加上各质点相对于质心的动以。只有，为常矢，即质点系中各质点相对质心的位置不动（质点系平动）时，质点系的动以才等于质心的动能。
9．质点系的重力势能
质点系的重力势能定义为各质点重力势能的和。

这说明质点系的重力势能等于重心的重力势能。这是和质点系动能不一样的，应该引起重视。

二○一一年六月中旬
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