2013丰台区高三期末数学(文科)考试题及答案.doc

丰台区2012～2013学年度第一学期期末练习
高三数学（文科）
一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，}， {5，7}，则实数a的值为
(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7
2．如图，某三棱锥的三视图都是直角边为2的等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是
(A) (B) (C) 4 (D) 8
3．“”是“”的
(A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件
(C) 充分且必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
4．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是 x k b 1 . c o m
(A) (B) (C) (D) w W w .x K b 1.c o M
5．函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是
(A) x k b 1 . c o m
(B)
(C)

开 始
结 束
S=0, n=0
输出S
n=n+1
n>3?
否
是
(D)
6．执行如图所示的程序框图，则输出的S值为.
(A)3 (B)6 (C) 7 (D) 10
7．在平面直角坐标系xOy中，已知A(),B(0,1)，点C在第一象限内，，且|OC|=2，若，则,的值是
(A) ，1 (B) 1，
(C) ，1 (D) 1，新| 课 | 标|第 |一 | 网
8．已知函数f(x)=,且，则
(A) 都有f(x)>0 (B) 都有f(x)<0
(C) 使得f(x0)=0 (D) 使得f(x0)>0
二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．
9．某高中共有学生900人，其中高一年级240人，高二年级260人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为45的样本，则在高三年级抽取的人数是 ______．
10．不等式组表示的平面区域的面积是___________.
11．设 . 新-课- 标-第- 一-网

，
，，
…
12．圆与直线y=x相切于第三象限，则a的值是 ．
13．已知中，AB=，BC=1，tanC=，则AC等于______.
14．右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第行第列的数为（），则等于 ，．
三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
15．（本题共13分 ）函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B．
（Ⅰ）求集合A，B；
（Ⅱ）若集合A，B满足,求实数a的取值范围．
16．（本题共13分 ）如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于，两点．
（Ⅰ）若点的横坐标是，点的纵坐标是，求的值；
（Ⅱ） 若∣AB∣=, 求的值.
17．（本题共13分 ）
如图，三棱柱中，平面ABC，ABBC , 点M , N分别为A1C1与A1B的中点. 新 课 第 一 网
(Ⅰ)求证：MN平面 BCC1B1;
(Ⅱ)求证：平面A1BC平面A1ABB1．
18．（本题共14分 ）
已知函数的导函数的两个零点为-3和0.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若的极小值为-1，求的极大值.
19．（本题共13分 ）
曲线都是以原点O为对称中心、离心率相等的椭圆. 点M的坐标是（0,1），线段MN是的短轴，是的长轴．直线与交于A,D两点（A在D的左侧），与交于B,C两点（B在C的左侧）．
（Ⅰ）当m= ， 时，求椭圆的方程；
（Ⅱ）若，求m的值．
20．（本题共14分 ）
已知曲线，是曲线C上的点，且满足，一列点在x轴上，且是坐标原点）是以为直角顶点的等腰直角三角形.
（Ⅰ）求、的坐标；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）令，是否存在正整数N，当n≥N时，都有，若存在，求出N的最小值；若不存在，说明理由. X|k |B| 1 . c|O |m

丰台区2012～2013学年度第一学期期末练习
高三数学（文科）参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
C
C
B
D
A
B
二、填空题：
9．20； 10.； 11. 3； 12．- （写给3分）；
13．2； 14． (第一个空2分,第二个空3分)
三．解答题
15．（本题共13分）设关于x的函数的定义域为集合A，函数，的值域为集合B.
（Ⅰ）求集合A，B；
（Ⅱ）若集合A，B满足,求实数a的取值范围. w W w .X k b 1.c O m
解：（Ⅰ）A=,
==， ….…………………..……4分
B. ..……………………………………………….…...7分
（Ⅱ）∵，∴．..….…………………………………………… 9分
∴或，
∴实数a的取值范围是{a|或}．….………………..…………………..13分
16．（本题共13分）如图，在平面直角坐标系中，角和角的终边分别与单位圆交于，两点．
（Ⅰ）若点的横坐标是，点的纵坐标是，求的值；
（Ⅱ） 若∣AB∣=, 求的值.新-课 -标 -第-一-网
解：（Ⅰ）根据三角函数的定义得，
， ，……………………………………………………2分

∵的终边在第一象限，∴． ……………………………………3分
∵的终边在第二象限，∴ ． ………………………………4分
∴==+=．………7分
（Ⅱ）方法（1）∵∣AB∣=||=||，……………………………9分
又∵， …………11分
∴．X|k |B| 1 . c|O |m
∴． ……………………………………………………………13分
方法（2）∵，………………10分
∴=．…………………………………13分
17．（本题共13分）如图三棱柱中，平面ABC，ABBC , 点M , N分别为A1C1与A1B的中点.
(Ⅰ)求证：MN平面 BCC1B1;
(Ⅱ)求证：平面A1BC平面A1ABB1.
解：(Ⅰ)连结BC1
∵点M , N分别为A1C1与A1B的中点，
∴∥BC1．........................................................4分
∵，
∴MN∥平面BCC1B1．.................................... ....6分
(Ⅱ)∵，
平面，x k b 1 . c o m
∴．...................................................................................................... 9分
又∵ABBC，
，
∴．....................................................................................... 12分
∵，
∴平面A1BC平面A1ABB1．............................................................................... 13分
18．（本题共14分）已知函数的导函数的两个零点为-3和0.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若的极小值为-1，求的极大值. 新 课 标 第 一 网
解：（Ⅰ）．…2分
令，
∵，
∴的零点就是的零点，且与符号相同．
又∵，
∴当时，>0,即，
当时，<0,即， ………………………………………6分
∴的单调增区间是（-∞，-3），（0，+∞），单调减区间是（-3，0）．……7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=0是的极小值点，所以有

解得． ………………………………………………………11分
所以函数的解析式为．
又由（Ⅰ）知，的单调增区间是（-∞，-3）,（0，+∞），单调减区间是（-3，0）.
所以，函数的极大值为． ……………….…14分
19．（本题共13分）曲线都是以原点O为对称中心、离心率相等的椭圆 . 点M的坐标是（0,1）,线段MN是的短轴，是的长轴 . 直线与交于A,D两点（A在D的左侧），与交于B,C两点（B在C的左侧）．x k b 1 . c o m
（Ⅰ）当m= ， 时，求椭圆的方程；w W w .x K b 1.c o M
（Ⅱ）若，求m的值．[来源:学|科|网Z|X|X|K]
解：设C1的方程为,C2的方程为（）． …..2分
∵C1 ,C2的离心率相同，
∴,∴，………………………………..……………………3分
∴C2的方程为．
当m=时，A,C．………………………………….……5分
又∵,
∴，解得a=2或a=(舍)， ……………………………...………..6分
∴C1 ,C2的方程分别为，． …………………………..7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A(-,m),C(,m) ．……………….……………9分
∵OC⊥AN，
（）． ……………………………............................................…10分
∵=（,m），=（,-1-m)，
代入（）并整理得2m2+m-1=0， ………………………………………………12分
∴m=或m=-1(舍负) ，
∴m= ． ……………………………………………………………………13分
20．（本题共14分）已知曲线，是曲线C上的点，且满足，一列点在x轴上，且是坐标原点）是以为直角顶点的等腰直角三角形. w W w .x K b 1.c o M
（Ⅰ）求、的坐标；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）令，是否存在正整数N，当n≥N时，都有，若存在，求出N的最小值;若不存在，说明理由.
解：（Ⅰ）∵∆B0A1B1是以A1为直角顶点的等腰直角三角形，
∴直线B0A1的方程为y=x．
由 得，，得A1（2，2），． ….…….…….…......3分
（Ⅱ）根据和分别是以和为直角顶点的等腰直角三角形可 得， ，即 ．（*）…….………………………..5分
∵和均在曲线上，
∴，
∴，代入（*）式得，
∴()．………………… …………………………..…..….…..7分
∴数列是以为首项，2为公差的等差数列，
故其通项公式为() ． …………....…………………………...……..8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，， ….……………………………………………9分
∴，……………………..……………………………….…10分
∴，，
∴
= =，…………….……..11分
． …………………….……12分
欲使，只需<，
只需， ………………………………………………….…………13分
，
∴不存在正整数N，使n≥N时， 成立．…………………….14分