二次函数与几何综合（讲义及答案）.doc

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二次函数与几何综合（讲义）
Ø 课前预习
1. 如图，直线经过点A(1，m)，B(4，n)，点C的坐标为(2，5)，则△ABC的面积为__________．

提示：利用点坐标求面积，需要将点坐标转化为横平竖直的线段长，常考虑作横平竖直的线来对图形进行割补．
具体操作：
①过点C作CD∥y轴，交AB于点D；
②借助C，D坐标求解CD长；
③以CD为底，则A，B两点间的水平距离为高，即．

2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，点C的坐标为(0，-2)．若点D在直线AB上运动，点E在直线AC上运动，当以O，A，D，E为顶点的四边形是平行四边形时，点D的坐标为__________．

提示：
（1）分析定点（A，O），动点（D，E），属于两定两动的平行四边形存在性问题．
（2）连接两定点得定线段，考虑：①若定线段作为平行四边形的边，则通过平移确定点的坐标；②若定线段作为平行四边形的对角线，则绕定线段中点旋转，利用中点坐标公式确定点的坐标．
（3）利用函数特征和几何特征求解后，结合图形进行验证．

Ø 知识点睛
1. “函数与几何综合”问题的处理原则：_________________，
_____________________．
2. 研究背景图形：
①研究函数表达式．二次函数关注____________，一次函数关注__________．
②___________________________．找特殊图形、特殊位置关系，寻求边长和角度信息．
3. 二次函数之面积问题的常见模型
①割补法——铅垂法求面积：

②转化法——借助平行线转化：

若S△ABP=S△ABQ， 若S△ABP=S△ABQ，
当P，Q在AB同侧时， 当P，Q在AB异侧时，
PQ∥AB． AB平分PQ．

Ø 精讲精练
1. 如图，抛物线y=-x2+2x+3经过A，B，C三点．点M是直线BC上方抛物线上的点（不与B，C重合），过点M作MN∥y轴交线段BC于点N，连接MB，MC．
（1）若设点M的横坐标为m，四边形OBMC的面积为S，则S与m的函数关系式为________________．
（2）四边形OBMC的最大面积为________，此时点M的坐标为____________．

2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+3经过A，B，C三点，点D的坐标为(0，1)，直线AD与抛物线交于另一点E．
（1）若M是直线AD上方抛物线上的一个动点，则△AME面积的最大值为__________．
（2）在直线AD下方的抛物线上有一动点G，当S△AEG=6时，点G的坐标为_______________．

3. 如图，已知抛物线y=ax2-2ax-b（a＞0）与x轴交于A，B两点，点A在点B的右侧，且点B的坐标为(-1，0)，与y轴的负半轴交于点C，顶点为D．连接AC，CD，∠ACD=90°．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）若点M在抛物线上，且以点M，A，C以及另一点N为顶点的平行四边形ACNM的面积为12，设M的横坐标为m，求m的值．

4. 如图，已知二次函数y=x2-3x-4的图象与x轴交于点A，B，且经过点C(2，-6)，连接AC，二次函数图象的对称轴记为l．
（1）点D(m，n)（-1＜m＜2）是二次函数图象上一动点，当△ACD的面积为时，点D关于l的对称点为E，求点E的坐标．
（2）在（1）的条件下，能否在二次函数图象和直线l上分别找到点P，Q，使得以点D，E，P，Q为顶点的四边形为平行四边形．若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

5. 如图，抛物线y=ax2-5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点D在抛物线对称轴上，点E在抛物线上，且以A，B，D，E为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标；
（3）已知点F是抛物线上的动点，点G是直线y=-x上的动点，且以O，C，F，G为顶点的四边形是平行四边形，求点G的横坐标．

【参考答案】
Ø 课前预习
1.
2. ，
Ø 知识点睛
1. 利用横平竖直的线段长，函数特征与几何特征互转
2. ①四点一线；k，b
②坐标转线段长
Ø 精讲精练
1. （1）（0＜m＜3）；
（2）；
2. （1）；
（2）(3，0)或(-2，-5)
3. （1）y=x2-2x-3；
（2）m=4或m=-1．
4. （1）；
（2），，．
5. （1）；
（2），，；
（3）点G的横坐标为：11或-11或或．