相似三角形的性质与应用.docx

教师
王淑杰
学生姓名

上课日期
2017.5
学科
数学
年级
九年级
教材版本
人教版
类型
知识讲解□： 考题讲解□:
本人课时统计
第（ ）课时
共（ ）课时
学案主题
相似三角形
课时数量
（全程或具体时间）
第（ ）课时
授课时段

教学目标
教学内容
相似三角形专题复习
个性化学习问题解决
查漏补缺，巩固提升
教学重点、难点
用相似三角形的判定与性质解决简单的几何问题和实际问题。
考点分析
理解相似三角形的概念，总结相似三角形的对应角相等、对应边成比例等性质，掌握它们的基本运用。
教学过程
学生活动
教师活动
知识要点
1．相似三角形的定义：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形。对应边的比叫做相似比。
三条平行线截两条直线所得的对应线段的比相等。
2．相似三角形的判定：①平行法②三组对应边的比相等(类似于三角形全等判定“SSS”)③两组对应边的比相等，且夹角相等(类似于三角形全等判定“SAS”)④两角对应相等(AA)
直角三角形中斜边、直角边对应比相等（类似于直角三角形全等判定“HL”）。
相似三角形的基本图形：

判断三角形相似，若已知一角对应相等，可先考虑另一角对应相等，注意公共角或对顶角或同角（等角）的余角（或补角）相等，若找不到第二对角相等，就考虑夹这个角的两对应边的比相等；若无法得到角相等，就考虑三组对应边的比相等。
a
b
c
A
B
C
D
E
F
m
n
3．相似三角形的性质：①对应角相等②对应边的比相等③对应的高、中线、角平分线、周长之比等于相似比④对应的面积之比等于相似比的平方。
4．相似三角形的应用：求物体的长或宽或高；求有关面积等。
（三）考点精讲
考点一：平行线分线段成比例
例1、（2011广东肇庆）如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n 与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC ＝ 4，CE ＝ 6，BD ＝ 3，则BF ＝（ ）
A． 7 B． 7.5 C． 8 D． 8.5
例2（2012•福州） 如图，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是 ，cosA的值是 ．（结果保留根号）

练习：
1．（2011湖南怀化，6，3）如图所示：△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3，则CE的值为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．4

2．（2011山东泰安，15 ，3分）如图，点F是□ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．

3．（2012•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC=2，则AD的长是（　　）
A． B． C． D．

考点二：相似三角形的判定
例3、（2011湖北荆州）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有（ ）
A．1对　　B．2对　　　C．3对　　　　D．4对　
例4、（2010江苏泰州）一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm、30cm、36cm，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm、45cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有（ ）
A.0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种
例5（2012•徐州）如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC= BC．图中相似三角形共有（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

例6（2012•资阳）（1）如图（1），正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）；
（2）将图（1）中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图（2），求HD：GC：EB；
（3）把图（2）中的正方形都换成矩形，如图（3），且已知DA：AB=HA：AE=m：n，此时HD：GC：EB的值与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）．

练习：
1．（2011江苏无锡，7，3分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA∶OC = OB∶OD，则下列结论中一定正确的是 ( )
A．①和②相似 B．①和③相似
C．①和④相似 D．②和④相似
A
B
C
D
O
①
②⊙o⊙
③⊙o⊙
④⊙o⊙
（第7题）

2．（2011新疆乌鲁木齐，10，4分）如图，等边三角形的边长为3，点为边上一点，且，点为边上一点若，则的长为
A． B． C． D．1
3. （2012•攀枝花）如图，△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，BC、DE交于点O．则下列四个结论中，①∠1=∠2；②BC=DE；③△ABD∽△ACE；④A、O、C、E四点在同一个圆上，一定成立的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4. （2012•义乌市）在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．
（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；
（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；
（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．

A
B
D
C
考点三：相似三角形的性质
例7、（2010山东烟台）如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AB2=BC·BD B．AB2=AC·BD C．AB·AD=BD·BC D．AB·AD=AD·CD
（例5）
例8、（2011浙江嘉兴）如图，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为（　　）
（A） （B）
（C） （D）

例9（2012•重庆）已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则ABC与△DEF的面积之比为 9：1
．

练习
1．（2011青海西宁，10，3分）如图6，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADB+∠EDC=120°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为
A．9 B．12 C．16 D．18
A
B
C
D
E
G
F
O

2．（2011四川雅安，9,3分）如图，D、E、F分别为△ABC三边的中点，则下列说法中不正确的为（ ）
A．△ADE∽△ABC B． C． D．DF=EF
3．（2011四川内江，加试2，6分）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，DF过EC的中点G并与BC的延长线交于点F，BE与DF交于点O．若△ADE的面积为S，则四边形BOGC的面积= ．
4．（2011辽宁丹东，16，3分）已知：如图，DE是△ABC的中位线，点P是DE的中点，CP的延长线交AB于点Q，那么______________．

考点四 位似
例10（2012•玉林）如图，正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知AC=3，若点A′的坐标为（1，2），则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是（　　）
A． B． C． D．

考点四：相似三角形的应用
例6、（2010安徽芜湖）如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=2m,CD=6m,点P到CD的距离是2.7m,则_______m．

例7、（2011青海）如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是　 　mm．

练习：
1．（2011湖北黄石，13，3分）有甲乙两张纸条，甲纸条的宽是乙纸条宽的2倍，如图（4）.将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形ABCD，则AB与BC的数量关系为 。

（五）真题演练
2、（ 2011重庆江津）已知如图(1)、(2)中各有两个三角形,其边长和角的度数已在图上标注,图(2)中AB、CD交于O点,对于各图中的两个的两个三角形而言,下列说法正确的是( )
35°
75°
75°
70°
(1)
A
B
C
D
O
4
3
6
8
(2)

A.都相似 B.都不相似 C.只有(1)相似 D.只有(2)相似

3、（2011黑龙江鸡西）如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=AC，AD交BC于点E，AE=3，ED=4，则AB的长为 （ ）
A .3 B .2 C. D .3
（第3题）

（第5题）
5、（2011山东滨州）如图，直线PM切⊙O于点M,直线PO交⊙O于A、B两点，弦AC∥PM, 连接OM、BC.
求证：（1）△ABC∽△POM; (2)2OA2=OP·BC.

【聚焦中考】

1．（2012•潍坊）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（　　）
A． B． C． D．2

2．（2012•东营）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的 ，那么点B′的坐标是（　　）
A．（-2，3） B．（2，-3） C．（3，-2）或（-2，3） D．（-2，3）或（2，-3）

3. （2012•日照）在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F，若EC=2BE，则 的值是（　　）
A． B． C． D．
4.（2012•德州）为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB； ②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（　　）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组F

5．（2012•威海）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4）．已知△A1B1C1的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5），若△ABC与△A1B1C1位似，则△A1B1C1的第三个顶点的坐标为 （3，4）或（0，4）
．

6．（2012•菏泽）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
（1）试证明三角形△ABC为直角三角形；
（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似（要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明）．

课堂练习

课后作业

学生成长记录
本节课教学计划完成情况：照常完成□ 提前完成□ 延后完成□ ____________________________
学生的接受程度： 5 4 3 2 1 ______________________________
学生的课堂表现：很积极□ 比较积极□ 一般积极□ 不积极□ ___________________________
学生上次作业完成情况： 优□ 良□ 中□ 差□ 存在问题 _____________________________
学管师（ 班主任）_______________________________________________________________
备 注

学生签名

班主任审批

教学主任审批