高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题二次函数教案新人教A版.pdf

小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学二次函数的图象和性质1.二次函数的定义与解析式(1)二次函数的定义形如：f(x)ax2bxc(a0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)_ ax2bxc(a0)_ _.顶点式：f(x)_ a(xm)2n(a0)_ _.零点式：f(x)_ a(xx1)(xx2)(a0)_ _.点评：.求二次函数解析式的方法：待定系数法.根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式中的一种来求.已知三个点的坐标时，宜用一般式.已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式.已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便.2.二次函数的图象和性质图象函数性质a0 定义域x R(个别题目有限制的，由解析式确定)值域a0 a0 y4acb24a，)y(，4acb24a a0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0)、M2(x2,0)，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学|M1M2|x1x2|a|.知识点 2 二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系当0()f x2axbxc的图像与x 轴无交点20axbxc无实根20(0)axbxc的解集为或者是 R;当0()f x2axbxc的图像与x 轴相切20axbxc有两个相等的实根20(0)axbxc的解集为或者是 R;当0()f x2axbxc的图像与x 轴有两个不同的交点20axbxc有两个不等的实根20(0)axbxc的解集为(,)()或者是(,)(,)。知识点 3 一元二次方程20axbxc实根分布的充要条件一般地对于含有字母的一元二次方程20axbxc的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令()f x2axbxc（0a）（同理讨论0a的结论）(1)x1,x2,x2,则0/(2)()0baf(3)x1,x2,则)2/(0)(0)(0abff (4)x1 (),则()0()0ff(5）若 f(x)=0在区间(,)内只有一个实根，则有0)(ff点评：（1）讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：判别式；区间端点的函数值的符号；对称轴与区间的相对位置在讨论过程中，注意应用数形结合的思想.知识点 4 二次函数02acbxaxy在闭区间qp,上的最值二次函数02acbxaxy在闭区间qp,上的最值一般分为三种情况讨论：（1）若对称轴2bxa在区 间左边，则函数在此区间上具有单调性，只需比较(),()fpf q的大小即可决定函数的最大（小）值；（或利用函数的单调性直接决定函数的最大（小）值）（2）若对称轴2bxa在区间右边，则函数在此区间上具有单调性，只需比较(),()fpf q的大小即可决定函数的最大（小）值；小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学（3）若对称轴2bxa在区间内，则()2bfa是函数的最小值（0a）或最大值（0a），再比较(),()fpf q的大小决定函数的最大（小）值。点评：（1）两个重要的结论：连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小值；单调连续函数在闭区间的两个端点处取得最值。（2）二次函数02acbxaxy在闭区间qp,上的最值的讨论的基点是对称轴abx2与区间qp,的相对位置的讨论，尤其当顶点横坐标是字母时，则应抓住讨论的基点进行讨论。特别要注意二次项系数a的符号对抛物线开口及结论的影响。题型一求二次函数的解析式例 1 已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数.解方法一设f(x)ax2bxc(a0)，依题意有4a2bc 1，abc 1，4acb24a8，解之，得a 4，b4，c7，所求二次函数为y 4x24x7.方法二设f(x)a(xm)2n，a0.f(2)f(1)，抛物线对称轴为x2212.m12.又根据题意函数有最大值为n8，yf(x)a x1228.f(2)1，a21228 1，解之，得a 4.f(x)4x1228 4x24x 7.方法三依题意知：f(x)10 的两根为x12，x2 1，故可设f(x)1a(x2)(x1)，a0.即f(x)ax2ax 2a1.又函数有最大值ymax8，即4a2aa24a 8，解之，得a 4 或a 0(舍去)函数解析式为f(x)4x24x 7.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学探究提高二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)；(2)顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)；(3)两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0).变式训练1：已知二次函数f(x)满足：在x=1 时有极值；图象过点(0，-3)，且在该点处的切线与直线2x+y=0平行。（1）求 f(x)的解析式；（2）求函数g(x)=f(x2)的单调递增区间。解：（1）设 f(x)=ax2+bx+c，则 f(x)=2ax+b,3)0(,2)0(,0)1(fff即.3,2,02cbba解得.3,2,1cbaf(x)=x2-2x-3（2）g(x)=f(x2)=x4-2x2-3，g(x)=4x3-4x=4x(x-1)(x+1)列表：x(-，-1)(-1，0)(0，1)(1，+)f(x)-+-+f(x)由表可得：函数g(x)的单调递增区间为(-1，0)，(1，+)题型二二次函数中的单调性例 2 已知函数f(x)x22ax3，x 4,6.(1)当a 2 时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间 4,6 上是单调函数；(3)当a1 时，求f(|x|)的单调区间.解(1)当a 2 时，f(x)x24x3(x2)2 1，由于x 4,6，f(x)在 4,2 上单调递减，在2,6上单调递增，f(x)的最小值是f(2)1，又f(4)35，f(6)15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是xa，所以要使f(x)在 4,6 上是单调函数，应有a 4 或a6，即a 6 或a4.(3)当a1 时，f(x)x22x 3，f(|x|)x22|x|3，此时定义域为x 6,6，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学且f(x)x22x 3，x，6x22x 3，x 6，0，f(|x|)的单调递增区间是(0,6，单调递减区间是 6,0 变式训练2：（1）.已知函数f(x)x2 2(a1)x2 在区间(，3 上是减函数，则实数a的取值范围为 _(，2_ _（2）已知函数f(x)x2mxn的图象过点(1,3)，且f(1x)f(1x)对任意实数都成立，函数yg(x)与yf(x)的图象关于原点对称.(1)求f(x)与g(x)的解析式；(2)若F(x)g(x)f(x)在(1,1 上是增函数，求实数 的取值范围.解(1)f(x)x2mxn，f(1x)(1x)2m(1x)nx22x1mxnmx2(m2)xnm1，f(1x)(1x)2m(1x)nx22x1mxmnx2(2 m)xnm1.又f(1x)f(1x)，m 22m，即m2.又f(x)的图象过点(1,3)，3 12mn，即mn2，n 0，f(x)x22x，又yg(x)与yf(x)的图象关于原点对称，g(x)(x)22(x)，g(x)x22x.(2)F(x)g(x)f(x)(1 )x2(2 2)x，当 10 时，F(x)的对称轴为x221 1，又F(x)在(1,1 上是增函数10111.1 或 10.当 10，即 1 时，F(x)4x显然在(1,1 上是增函数综上所述，的取值范围为(，0 题型三二次函数在闭区间上的最值小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学例 3（1）设函数 f(x)=x2-2x+2，xt，t+1 的最小值为g(t)，求 g(t)的解析式。解：（1）f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1，顶点坐标为(1，1)当 t+11，即 t0 时，2()=(+1)=+1g tf tt当1+1tt即 0t1 时，g(t)=f(1)=1；当 t 1，函数在 t，t+1 上为增函数，g(t)=f(t)=t2-2t+2，g(t)=1).(t221),t(010),(t122ttt（2）已知函数21sinsin42ayxax的最大值为2，求a的值。（2）令sintx，1,1t，221()(2)24aytaa，对称轴为2at，当12a，即2a时，函数221()(2)24aytaa在 1,1单调递减，由max111242yaa，得2a（舍去）当112a，即22a时，2max1(2)24yaa，得2a或3a（舍去）当12a，即2a时，函数221()(2)24aytaa在 1,1单调递增，由max111242yaa，得103a综上可得：a的值为2a或103a（3）已知31a1，若f(x)=ax2-2x+1 在区间 1，3 上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)=M(a)-N(a)，求 g(a)的函数表达式；判断函数g(a)的单调性，并求出g(a)的最小值。（3）f(x)=ax2-2x+1=a(x-a1)2+1-a1，由已知条件可知：1a13；当 1a12 时，21a1。M(a)=f(3)=9a-5,N(a)=f(x)min=1-a1，g(a)=9a-5-(1-a1)=9a+a1-6.当 2a13 时，31a21.M(a)=f(1)=a-1,N(a)=f(x)min=1-a1,g(a)=(a-1)-(1-a1)=a+a1-2。g(a)=.121,619,2131,21时当时当aaaaaa小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学 当31a1a221，g(a2)-g(a1)=(a2-a1)(1-211aa)0，g(a)在 21，1 上是增函数，最小值是g(21)=21.g(a)在 31，1 上是增函数，最小值是g(21)=21.探究提高(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解.变式训练3：（1）已知函数f(x)4x24ax 4aa2在区间 0,1内有一个最大值 5，求a的值.解f(x)4xa224a，对称轴为xa2，顶点为a2，4a.当a20，即a0 时，f(x)在区间 0,1 上递减，此时f(x)maxf(0)4aa2.令 4aa2 5，即a24a50，a 5 或a1(舍去)当 0a21，即 0a2时，ymaxfa2 4a，令 4a 5，a54(0,2)当a21，即a2 时，f(x)在区间 0,1 上递增ymaxf(1)4a2.令 4a2 5，a12xm恒成立，求实数m的取值范围.解(1)由f(0)1 得，c1.f(x)ax2bx1.又f(x1)f(x)2x，a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x，即 2axab2x，2a2，ab0，a1b 1.因此，f(x)x2x1.(2)f(x)2xm等价于x2x12xm，即x23x1m0，要使此不等式在1,1 上恒成立，只需使函数g(x)x23x 1m在1,1 上的最小值大于0 即可g(x)x23x 1m在1,1 上单调递减，g(x)ming(1)m1，由m10 得，mbc,且 f(1)=0,证明 f(x)的图象与x 轴有 2 个交点;（2）在(1)的条件下,是否存在 m R,使池 f(m)=-a成立时,f(m+3)为正数,若存在,证明你的结论,若不存在,说明理由.（3）若对121212,fa b ca b c且200ac且(x)f的图象与 x 轴有两个交点.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学（2）0)(1,0)1(xff为的一个根,由韦达定理知另一根为ac，00,0 1,caca b ca且又+0,-2ca a ca10)1)(macamacma则13233acm，)(xf在(1,+)单调递增,0)1()3(fmf,即存在这样的m使0)3(mf；（3）令)()(21)()(21xfxfxfxg,则)(xg是二次函数.12121212()+()()+()().()=()()22f xf xf xf xg xg xf xf x2121=()()04f xf x0)(0)()(),()(2121xgxgxgxfxf又的根必有一个属于),(21xx.例 6 二次函数21yaxx(0)a的零点分别为12,.x x（1）证明12(1)(1)1;xx（2）证明121,1;xx（3）若12,x x满足不等式|lg21xx|1，试求a的取值范围.解：（1）由题意知x1、x2是一元二次方程ax012x的两个实根，所以x1+x2=-.1,121axxax1+x2=-x1x2.所以(1+x1)(1+x2)=1.（2）由方程ax12x(a 0)的判别式=1-4a0,解得 0a.41所以y=ax12x(a 0)的图象的对称轴-a210，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学即a)=2-(-)()xx ax axx axa222223()+=33(+)2aaxx ax aaxa（）（）()当a0时，若xa，2(x)f(a)=2af,若xa，(x)ff(a)2a2，由知f(x)2a2，此时g(a)2a2.()当aa，(x)fa()3f23a2，若xa，f(x)(a)=f2a223a2.此时g(a)23a2，综上，得g(a)22-202a03aaa.分类讨论的思想是高考重点考查的数学思想方法之一.本题充分体现了分类讨论的思想方法.在解答本题时有两点容易造成失分：一是求实数a的值时，讨论的过程中没注意a自身的取值范围，易出错；二是求函数最值时，分类讨论的结果不能写在一起，不能得出最后的结论.除此外，解决函数问题时，以下几点容易造成失分：1.含绝对值问题，去绝对值符号，易出现计算错误；2.分段函数求最值时要分段求，最后写在一起时，没有比较大小或不会比较出大小关系；3.解一元二次不等式时，不能与一元二次函数、一元二次方程联系在一起，思路受阻.方法与技巧1.数形结合是讨论二次函数问题的基本方法.特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常结合图形寻找思路.2.含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论.比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，又例如涉及二次不等式需讨论根的大小等.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学3.关于二次函数yf(x)对称轴的判断方法(1)对于二次函数yf(x)对定义域内所有x，都有f(x1)f(x2)，那么函数yf(x)图象的对称轴方程为xx1x22.(2)对于二次函数yf(x)对定义域内所有x，都有f(ax)f(ax)成立，那么函数yf(x)图象的对称轴方程为xa(a为常数).(3)对于二次函数yf(x)对定义域内所有x，都有f(x 2a)f(x)，那么函数yf(x)图象的对称轴方程为xa(a为常数).注意：(2)(3)中，f(ax)f(ax)与f(x2a)f(x)是等价的.(4)利用配方法求二次函数yax2bxc(a0)对称轴方程为xb2a；(5)利用方程根法求对称轴方程.若二次函数yf(x)对应方程f(x)0 的两根为x1、x2，那么函数yf(x)图象的对称轴方程为xx1x22.失误与防范1.求二次函数的单调区间时要经过配方法，要熟练准确利用配方法.2.对于函数yax2bxc要认为它是二次函数，就必须认定a0，当题目条件中未说明a0时，就要讨论a0 和a0 两种情况.3.对于二次函数yax2bxc(a0)给定了定义域为一个区间k1，k2 时，利用配方法求函数的最值4acb24a是极其危险的，一般要讨论函数图象的对称轴在区间外、内的情况，有时要讨论下列四种情况：b2ak1；k1b2ak1k22；k1k22b2a0，二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是 (D)小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学2.函数f(x)x2mx1 的图象关于直线x1 对称的充要条件是 ()A.m 2 B.m2 C.m 1 D.m1 3.已知函数f(x)ax2(bc)x1(a0)是偶函数，其定义域为ac，b，则点(a，b)的轨迹是()A.线段B.直线的一部分C.点D.圆锥曲线4.设二次函数f(x)ax22axc在区间 0,1上单调递减，且f(m)f(0)，则实数m的取值范围是()A.(，0 B.2，)C.(，0 2，)D.0,2 5.已知函数f(x)2mx22(4 m)x1，g(x)mx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是()A.(0,2)B.(0,8)C.(2,8)D.(，0)6.函数f(x)x2(2a1)|x|1 的定义域被分成了四个不同的单调区间，则实数a的取值范围是()A.a23B.12a12D.a0，1 2，则 实 数m的 取 值 范 围 是_522（，）_.13.若方程x211x30a0 的两根均大于5，则实数a的取值范围是 _104a_.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学14.已 知f(x)ax2bx 3ab是 偶 函 数，且 其 定 义 域 为 a 1,2a，则yf(x)的 值 域 为_311,27_.三、解答题15.是否存在实数a，使函数f(x)x2 2axa的定义域为 1,1 时，值域为 2,2？若存在，求a的值；若不存在，说明理由.解f(x)(xa)2aa2.当a 1 时，f(x)在 1,1 上为增函数，f13a 2，f1a 2?a 1(舍去)；当1a0时，faaa2 2，f1a2?a 1；当 01 时，f(x)在 1,1 上为减函数，f13a2，f1a 2?a不存在综上可得a 1.16.已知二次函数f(x)ax2bx(a，b为常数，且a0)，满足条件f(1 x)f(1 x)，且方程f(x)x有等根.(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在实数m、n(mn)，使f(x)的定义域和值域分别为m，n 和3m,3n，如果存在，求出m、n的值，如果不存在，说明理由.解(1)f(x)满足f(1x)f(1 x)，f(x)的图象关于直线x1 对称而二次函数f(x)的对称轴为xb2a，b2a1.又f(x)x有等根，即ax2(b1)x0 有等根，(b1)20.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学由得b1，a12.f(x)12x2x.(2)f(x)12x2x12(x 1)21212.如果存在满足要求的m，n，则必需3n12，n16.从而mn160 时，方程f(x)0 只有一个实根；f(x)的图象关于(0，c)对称；方程f(x)0 至多有两个实根其中正确的命题是 _ _解析：c0 时，f(x)x|x|b(x)x|x|bxf(x)，故f(x)是奇函数；b 0，c0 时，f(x)x|x|c0，x0时，x2c 0 无解，x0 时，f(x)x2c 0，xc，有一个实数根7对于区间 a，b 上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对于区间a，b中的任意数x均有|f(x)g(x)|1，则称函数f(x)与g(x)在区间 a，b 上是密切函数，a，b 称为密切区间若m(x)x23x4 与n(x)2x 3在某个区间上是“密切函数”，则它的一个密切区间可能是_3,4 2,4 2,3 1,4 解析：|m(x)n(x)|1?|x2 5x7|1，解此绝对值不等式得2x3，故在区间2,3 上|m(x)n(x)|的值域为 0,1，|m(x)n(x)|1 在2,3上恒成立8.已知函数f(x)的自变量的取值区间为A，若其值域也为A，则称区间A为f(x)的保值区间.函数f(x)x2形如 n，)(n(0，)的保值区间是_1,+)_.9.已知关于x的二次函数f(x)x2(2t1)x12t.(1)求证：对于任意t R，方程f(x)1 必有实数根；(2)若12t34，求证：方程f(x)0 在区间(1,0)及 0，12上各有一个实根.证明(1)由于f(x)x2(2t1)x 12t.f(x)1?(x2t)(x1)0，(*)x 1 是方程(*)的根，即f(1)1.因此x1 是f(x)1 的实根，即f(x)必有实根(2)当12t0.f(0)12t21()2t0.又函数f(x)的图象连续不间断因此f(x)0 在区间(1,0)及 0，12上各有一个实根10.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)满足条件：f(0)=1；对任 xR，均有f(x-4)=f(2-x);函数 f(x)的图象与函数g(x)=x1 的图像相切.()求函数 f(x)的解析式；小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学()当且仅当x4,m(m4)时，f(x-t)g(x)恒成立，试求t，m的值.解：()由得 c=1，由知，12ba，即 b=2a，所以 f(x)=ax2+2ax-1 由知:方程 ax2+2ax-1=x-1，即 ax2+(2a-1)x=0有两个相等的实根，12a，故21()12f xxx。()当且仅当x4,m(m4)时，f(x-t)g(x)恒成立,不等式21()112xtxtx，即 x2-2tx+t2-2t0 的解集为 4,m，24242mtmtt,解得 t=8,m=12 或 t=2,m=0 m4,t=8,m=12符合题意。11 设函数f(x)x22bxc(cb1)，f(1)0，方程f(x)10 有实根(1)证明：3c 1 且b0；(2)若m是方程f(x)10 的一个实根，判断f(m4)的正负并加以证明解：(1)证明：f(1)0?12bc0?bc12.又cb1，故cc121?3c13.方程f(x)10 有实根，即x22bxc1 0 有实根，故 4b24(c1)0，即(c1)24(c1)0?c3 或c 1.又cb1，得 3c 1，由bc12知b0.(2)f(x)x22bxcx2(c1)xc(xc)(x1)，f(m)10，cm1，c4m430，f(m 4)的符号为正