高考数学一轮复习第十篇计数原理概率随机变量及其分布第3节二项式定理训练理新人教版.pdf

小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学第 3 节二项式定理【选题明细表】知识点、方法题号二项展开式的通项公式1,3,8,9 二项式系数的性质、系数和2,4,5,6,7,10,11,12 二项式定理的简单应用13,14,15 基础巩固(时间:30 分钟)1.在（x2-）n的展开式中,常数项为15,则 n 的值可以为(D)(A)3 (B)4 (C)5 (D)6 解析:因为=(x2)n-r（-）r=(-1)rx2n-3r,所以(-1)r=15 且 2n-3r=0,所以 n 可能是 6.故选 D.2.设（x-）6的展开式中x3的系数为A,二项式系数为B,则等于(A)(A)4 (B)-4 (C)26(D)-26解析:Tk+1=x6-k（-）k=(-2)k,令 6-=3,即 k=2,所以 T3=(-2)2x3=60 x3,所以 x3的系数为A=60,二项式系数为B=15,所以=4.故选 A.3.(2017 咸阳市二模)设 a=sin xdx,则（a+）6展开式的常数项为(D)(A)-20 (B)20 (C)-160 (D)240 解析:a=sin xdx=(-cos x)=-(cos-cos 0)=2,则(a+)6=（2+）6展开式的通项公式为Tr+1=(2)6-r（）r=26-r.令 3-r=0 得 r=2,所以展开式中的常数项为24=240.故选 D.4.已知（x2+）n的展开式的各项系数和为32,则展开式中x4的系数为(D)(A)5(B)40(C)20(D)10 小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学解析:令 x=1,得 2n=32,所以 n=5,则(x2)5-r（）r=x10-3r,令 10-3r=4,得 r=2,所以展开式中x4的系数为=10.故选 D.5.若（x-）n的展开式中第2 项与第 4 项的二项式系数相等,则直线 y=nx 与曲线 y=x2围成的封闭区域面积为(C)(A)(B)12 (C)(D)36 解析:由=,Tr+1=an-rbr知 n=1+3=4,直线 y=nx=4x 与抛物线y=x2的交点的横坐标分别是 0 与 4,因此结合图形(图略)可知,所求的封闭区域的面积等于(4x-x2)dx=（2x2-x3）|=.故选 C.6.(2017 南平市一模)(x+)(2x-)5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为(D)(A)-40(B)-20(C)20(D)40 解析:令 x=1 则有 1+a=2,得 a=1,故二项式为(x+)（2x-）5,其常数项为-22+23=40.故选 D.7.(2017 吉林延边模拟)若(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则=.解析:通项公式Tr+1=(-2x)r=(-2)rxr,令 r=3,则 a3=(-2)3=-80;令 r=2,则 a2=(-2)2=40,所以=-2.答案:-2 8.若（+）n的展开式的第7 项与倒数第7 项的比是16,则 n=.解析:由题知,T7=()n-6（）6,Tn+1-6=Tn-5=()6（）n-6.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学由=,化简得=6-1,所以-4=-1,所以 n=9.答案:9 能力提升(时间:15 分钟)9.“n=5”是“（2+）n(n N*)的展开式中含有常数项”的(A)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:因为（2+）n(n N*)展开式的通项Tr+1=2n-r,（2+）n的展开式中含有常数项时满足-=0,当 n=5 时,=0,解得r=3,此时含有常数项;反之,当 n=10时,r=6,也有常数项,但是不满足n=5.故“n=5”是“（2+）n(n N*)的展开式中含有常数项”的充分不必要条件.故选 A.10.(2017 福建龙岩市一模)(x-1)(x+2)6的展开式中x4的系数为(A)(A)100(B)15(C)-35(D)-220 解析:由于(x+2)6的展开式的通项公式为Tr+1=x6-r2r,令 6-r=3,r=3,(x+2)6的展开式中x3的系数为 8=160;令 6-r=4,r=2,可得(x+2)6的展开式中x4的系数为-4,所以(x-1)(x+2)6的展开式中x4的系数为8-4=160-60=100.故选 A.11.(2017 陕西渭南市一模)已知 f(x)=x+在区间 1,4上的最小值为n,则二项式（x-）n展开式中 x2的系数为.解析:f(x)=1-=,x 1,4.令 f(x)=0,解得 x=3.所以 x 1,3 时,函数 f(x)单调递减;x(3,4时,函数 f(x)单调递增.所以 x=3 时,函数 f(x)取得最小值6.所以（x-）6的通项公式Tr+1=x6-r（-）r=(-1)rx6-2r,令 6-2r=2,解得 r=2,所以二项式（x-）n展开式中x2的系数为=15.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学答案:15 12.如果(1+x+x2)(x-a)5(a 为实常数)的展开式中所有项的系数和为0,则展开式中含x4项的系数为.解析:因为(1+x+x2)(x-a)5的展开式所有项的系数和为(1+1+12)(1-a)5=0,所以 a=1,所以(1+x+x2)(x-a)5=(1+x+x2)(x-1)5=(x3-1)(x-1)4=x3(x-1)4-(x-1)4,其展开式中含x4项的系数为(-1)3-(-1)0=-5.答案:-5 13.已知（-）n(n N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10 1.(1)求展开式中各项系数的和;(2)求展开式中含的项.解:由题意知,第五项系数为(-2)4,第三项的系数为(-2)2,则有=,化简得 n2-5n-24=0,解得 n=8 或 n=-3(舍去).(1)令 x=1 得各项系数的和为(1-2)8=1.(2)通项公式Tr+1=()8-r（-）r=(-2)r.令-2r=,得 r=1,故展开式中含的项为 T2=-16.14.(2017 海南三亚模拟)已知 fn(x)=(1+x)n.(1)若 f2 017(x)=a0+a1x+a2 017x2 017,求 a1+a3+a2 015+a2 017的值;(2)若 g(x)=f6(x)+2f7(x)+3f8(x),求 g(x)中含 x6项的系数.解:(1)因为 fn(x)=(1+x)n,所以 f2 017(x)=(1+x)2 017,又 f2 017(x)=a0+a1x+a2 017x2 017,所以 f2 017(1)=a0+a1+a2 017=22 017,f2 017(-1)=a0-a1+a2 016-a2 017=0,-得 2(a1+a3+a2 015+a2 017)=22 017,所以 a1+a3+a2 015+a2 017=22 016.(2)因为 g(x)=f6(x)+2f7(x)+3f8(x),所以 g(x)=(1+x)6+2(1+x)7+3(1+x)8.g(x)中含 x6项的系数为+2+3=99.15.(2017 湖北武汉模拟)已知（+2x）n.(1)若展开式中第5 项、第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学大的项的系数;(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79,求展开式中系数最大的项.解:(1)因为+=2,所以 n2-21n+98=0.所以 n=7 或 n=14,当 n=7 时,展开式中二项式系数最大的项是T4和 T5.所以 T4的系数为（）423=,T5的系数为（）324=70,当 n=14 时,展开式中二项式系数最大的项是T8.所以 T8的系数为（）727=3 432.(2)因为+=79,所以 n2+n-156=0.所以 n=12 或 n=-13(舍去).设 Tk+1项的系数最大,因为（+2x）12=（）12(1+4x)12,所以所以 9.4 k10.4,所以 k=10.所以展开式中系数最大的项为T11,T11=（）2 210 x10=16 896x10.