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*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,一、复习积分公式,(22个),幂2个,指2个,三角10个,有理式4个,无理式4个,1/34,1,幂函数，指数函数积分公式：,Kx+C,2/34,2,三角函数积分公式：,3/34,3,有理函数积分公式：,4/34,4,无理函数积分公式：,5/34,5,二、复习积分方法,1.直接积分法：,(恒等,变形后,用,公式),2.换元积分法：,第一类换元法,(也称,凑微分法,),:,第二类换元法:,(易积),(易积),问题：,？,？,d,x,令,d,6/34,6,第三节,由导数公式,积分得:,分部积分公式,或,分部积分法,第,四,章,化难为易,注：,1.左端被积表示式为两部分;右端为两部分.,2.公式作用：,7/34,7,例1.,求积分,解（一）,令,显然,选择不妥，,积分更难进行.,解（二）,令,注意：,应合理地选取,u,和d,v,，,使,d,u,比,d,v,易求.,8/34,8,例2.,求积分,解:,1),v,轻易求得;,轻易计算.,注：可连续使用分部积分法.,经验1:,可设幂函数=,9/34,9,？,分析:,例3.,解:,10/34,10,例4.,分析:,？,解:,11/34,11,经验2:,可设对数(反三角)=,例5.,解:,u,v,熟悉以后,能够去掉假设,u,d,v,过程,只要记在心中即可.,12/34,12,把被积函数视为两个函数之积,按,“反对幂指三”,次序,前者为,用分部积分法解题,技巧:,反,:反三角函数,对,:对数函数,幂,:幂函数,指,:指数函数,三,:三角函数,经验2:,可设对数(反三角)=,经验1:,可设幂函数=,13/34,13,解:,例6.,14/34,14,例7.,解:,15/34,15,例8.,把,类似,于,解方程求积分方法,(有区分),叫,回归法.,解:,说明:,也可设,为三角函数,但两次所设类型,必须一致.,16/34,16,例9.,求,解:,17/34,17,例10.,证实,所满足递推公式,证实:,18/34,18,揉合在一起使用；,实际解题中，往往是第一、第二换元法与分部积分法,例11.,解:,令,原式,先换元后分部,19/34,19,例12.,已知,解：,由已知,说明:,此题若先求出,再求积分反而复杂.,20/34,20,内容小结,分部积分公式：,1.使用,标准:,2.使用,经验:,“,反对幂指三,”,3.题目,类型:,分部化简;,循环解出;,递推公式.,21/34,21,1.不定积分定义：,或,若在,I,内，,2.不定积分性质：,3.微分与积分关系：,第四章小结,22/34,22,幂2个,指2个,三角10个,有理式4个,无理式4个,4.积分公式(22个),23/34,23,1)直接积分法：,(恒等变形后用公式),2)换元积分法：,第一类换元法,(也称,凑微分法,),:,第二类换元法:,3)分部积分法:,5.不定积分积分法,24/34,24,6.需要注意问题,(1)为使计算简便,(2)初等函数原函数不一定是初等函数,要注意综合使用各种基本积分法.,所以不一,定都能积出,.,初等函数,求导,初等函数,积分,比如,：,原函数就不是初等函数.,25/34,25,解：,原式,P222第27题,练习题,技巧：化分母为单项式.,26/34,26,解:,技巧：化分母为单项式,另解:,27/34,27,解:,28/34,28,29/34,29,大家所用方法很好,要相互学习.如P208第37题.,预习:,P223-235,作业:P212T,3,5,8,10,12,14,16,18,20,21,24.,P221总习题四,6,9,18,19,38.,30/34,30,解：,练习1.,练习2.,解：,31/34,31,屡次分部积分规律,快速计算表格:,尤其:,当,u,为,n,次多项式时,计算大为简便.,32/34,32,例.,求,解：,原式,原式,=,33/34,33,因为时间紧，级不讲有理函数积分,34/34,34,