初中数学竞赛标准教程及练习30：概念的分类.doc

初 中数学竞赛精品标准教程及练习(30)
概念的分类
一、内容提要
1. 概念的分类是揭示概念的外延的重要方法。当一个概念的外延有许多事物时，按照某一个标准把它分成几个小类，能更明确这一概念所反映的一切对象的范围，且能明确各类概念之间的区别与联系。
2. 概念分类必须用同一个本质属性为标准，把一种概念分为最邻近的类概念。例如三角形可按边的大小分类，也可用角的大小分类；又如整数可按符号性质分为正、负、零，也可以按除以模m的余数分类。
分别表示如下：
整数整数　整数　整数
3. 一种概念所分成的各类概念应既不违漏，又不重复。即每一个被分的对象必须落到一个类，并且只能落到一个类。所分的各类概念的外延总和应当与被分的概念的外延总和相等。
例如　正整数按下列分类是正确的
正整数　　正整数
如果只分为质数和合数，则外延总和比正整数的外延小；如果分为奇数和偶数则外延总和比正整数外延大，因此都不对。
又如等腰三角形的定义是：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
所以三角形按边的大小分类　
应是分成两类：不等边三角形和等腰三角形，　而不能是三类：（不等边，等腰，等边）如果这样，三边相等的三角形将落入两类（等腰，等边），所以概念的分类与概念的定义有直接联系。
4. 二分法是常用的分类法。即把一种概念分为具有和不具有某种属性。
例如三角形平面内两条直线位置

实数可分为：非负实数和负实数；四边形可分为：平行四边形和非平行四边形等等。
5. 从属关系的概念（上下位概念）是指一个概念的外延包含着另一个概念的外延。种概念与它所分的各类概念之间的关系就是从属关系。
例如：等边三角形从属于等腰三角形，而等腰三角形又从属于三角形
又如：代数式包含有理式和无理式，有理式包含整式和分式，整式包含单项式和多项式。其关系可图示如下：
代数式

三角形　

等腰三角形
有理式

等边三角形

整式

单项式

6.并列关系的概念是两个概念的外延互相排斥，互不相容。由同一种概念分成的各类概念之间的关系是并列关系的概念（同位概念）。
例如：偶数和奇数；有理式和无理式；直角三角形、钝角三角形和锐角三角形，它们之间的关系都是并列关系的概念。可图示如下:

7.交叉关系的概念是指两个概念的外延有一部分重叠。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一种概念用不同的标准分类，所得的各类概念之间的关系　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
可能就有交叉关系的概念。
例如：正数和整数是交叉关系的概念，既是正数又是整数的数叫做正整数；
　等腰三角形和直角三角形也是交叉关系的概念，外延重叠的部分，叫做等腰直角三角形。图示如下:

二、例题30
例1.把一元一次不等式ax>b　(a,b是实数，x是未知数)的解的集合分类。
解：把实数a,b按正，负，零分类，得不等式解的集合如下：
　ax>b的解集　
例2.一个等腰三角形的周长是15cm,底边与腰长的差为3cm，求这个三角形的各边长。
解：设底边长为xcm,则腰长是cm
当腰比底大时是　－x=3 ∴x=3　　　＝6　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　当腰比底小时是　x－=3 ∴x=7 　=4
答（略）
例3.化简①　（－2　　　②
解：①∵要使有意义，必须且只需x+1≥0，即x≥－1
（－2　＝＋x+1－2＝＋x－1
当－1≤x<1时，原式＝－（x－1）+x－1＝0
当x≥1时，　原式＝x －1＋x－1＝2x－2
②化去分母根式时，要乘以，当x=y 时，不能进行。故
当x=y 时　＝＝
当x≠y时　　＝　　

例4.设a,b,c是三个互不相等的正整数
　求证：a3b－ab3,b3c－bc3,ca3－ca3三个数中，至少有一个能被10整除

分析：∵10＝2×5，只要证明三个数中，至少有一个含2和5质因数即可，
含2，可把a,b,c分为奇数和偶数两类；含5，则要按除以5的余数分类。
解：∵　a3b－ab3=ab(a+b)(a-b) , b3c－bc3=bc(b+c)(b-c),
ca3－ca3=ca(c+a)(c-a)　
① 不论a,b,c三个数中有1个是偶数，或3个都是奇数（奇±奇＝偶），三个代数式所表示的数都是偶数，即含有质因数2；
② ∵a,b,c除以5的余数只有0，1，2，3，4五种。
若有1个余数是0，则三个代数式所表示的数中必有1个含质数5；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　若有2个余数相同，则它们的差的个位数字是0，也含有质因数5；
若既没有同余数又没有余数0，那么在4个余数1，2，3，4中任取3个，必有2个的和是5，即a+b,b+c,c+a中有1个含质因数5。
　综上所述　a3b－ab3,b3c－bc3,ca3－ca3三个数中，至少有一个能被10整除。

三、练习30
1. 把下列概念分类（一种或几种）
① 实数　②有理式　③小于平角的角　④平面内点与直线位置
2. 把一元一次方程ax=b　(a,b是实数)的解分类。
3. 用二分法把下列概念分类（任举一例）
① 整数　②方程　③角　④直角三角形　⑤四边形　
4. 指出下列概念分类的错误
平面内两直线的位置关系 有理数
　一元方程　
5. 解方程和不等式
①＝4　　　　　　②＞1－2x
6.　化简：①　　②　
7.　已知等腰三角形的一个外角等于150，求各内角的度数。

8. 已知方程　无解，求a的值。
9.　第一组5人，第二组m人，从第一组调几人到第二组，使第二组人数等于第一组人数的2倍？
10.　x取什么值时，x2 –3x的值是正数？
11. 有n个整数其积为n,其和是0。即　
求证：n是4的倍数
12. 对任意两个整数a和b.，试证明：a+b,a-b,ab三个数中至少有1个能
被3整除　
13. 关于x的方程＝ax+2有根且只有负根，则a的取值范围是＿＿__　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
14　试证每个大于6的自然数n都可以表示为两个大于1且互质的自然数的　和　提示：按奇数和偶数分类

练习30参考答案：
2.　ax=b解的分类
3. ②方程　⑤四边形
4.①有理数　②垂直是相交的一种
5. ①－1，3　②当x≥2时，x-2>1-2x……当x<2时－（x-2）>1-2x…
6. ①　②
7. 30，30，120；75，75，30。　　8.　－1，0
9.当m=1时，调3人；m=2, 调2人；m=3,调1人
10.　x<0或x>3,
11. 把n 按奇数、偶数分类讨论，证明a1a2a3…　an中至少有2个偶数
12.　a,b中若有一个是3的倍数，则ab 能被3整除；若除3有同余数则a-b能被3整除；若除3余数分别为1和2，则a+b能被3整除.
13. a≥1　（见练习29第7题）
14. 按奇数、偶数分类讨论
① 当n为奇数时，设n=2k+1,k>2的整数，n=k+(k+1), k 和k+1互质；
② 当n为偶数时，设n=4k或4k+2, k>1的整数　
　若n=4k=(2k+1)+(2k-1), 而2k+1和2k-1是互质的
　若n=4k+2=(2k-1)+(2k+3), 易知2k-1和2k+3也是互质的，
如果它们有公因子d(d≥2 )， 可设2k-1＝md 2k+3=pd, (m,p是正整数)，
则（m-p）d=4，则,这是不可能的。 综合①和②所述………