《数学建模与数学实验》期末考查试卷.doc

《数学建模与数学实验》考查方案
教学部门及专业
数学学院11级数学与应用数学专业
课程名称
数学建模与数学实验
教学班级
2011级数学与应用数学1、2班

考查时间
第 19 周
考核方式
试卷□ 过程评价□ 作业或调查□ 作品 项目任务□
一、必做题：（60分）
1、简答题：（20分）
（1）通过《数学建模与数学实验》课程的学习，请谈谈对数学建模和数学实验的认识，学习《数学建模与数学实验》课程的收获。（不少于500字）（15分）
（2）简要说明数学建模的一般过程或步骤。（5分）
2、（40分） 一阶常微分方程模型——人口模型与预测
下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（），万人。
年
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
人口
（万）
101654
103008
104357
105851
107507
109300
111026
112704
114333
年
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998

人口
（万）
115823
117171
118517
119850
121121
122389
123626
124810

要求：
（1）建立中国人口的指数增长模型，用数据拟合求相应的参数，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。
（2）建立中国人口的Logistic模型，用数据拟合求相应的参数，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。
（3）利用MATLAB图形，标出中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲线。
（4）利用MATLAB图形，画出两种预测模型的误差比较图，并分别标出其误差。
（5）用两个模型估计2015年中国人口。
二、选作题：（40分）（在如下问题中任选一题做建模解答）
第1题 送货模型
某地区有8个公司(如图一编号①至⑧)，某天某货运公司要派车将各公司所需的三种原材料A,B,C从某港口(编号⑨)分别运往各个公司。路线是唯一的双向道路(如图１)。货运公司现有一种载重 6吨的运输车，派车有固定成本20元/辆，从港口出车有固定成本为10元/车次(车辆每出动一次为一车次)。每辆车平均需要用15分钟的时间装车，到每个公司卸车时间平均为10分钟，运输车平均速度为60公里／小时(不考虑塞车现象)，每日工作不超过8小时。运输车载重运费1.8元/吨公里，运输车空载费用0.4元/公里。一个单位的原材料A,B,C分别毛重4吨、3吨、1吨，原材料不能拆分，为了安全，大小件同车时必须小件在上，大件在下。卸货时必须先卸小件，而且不允许卸下来的材料再装上车，另外必须要满足各公司当天的需求量(见表１)。
要求：
1、货运公司派出运输车6辆，每辆车从港口出发(不定方向)后运输途中不允许掉头，应如何调度(每辆车的运载方案，运输成本)使得运费最小。
2、每辆车在运输途中可随时掉头，若要使得成本最小，货运公司怎么安排车辆数？应如何调度？
3、(1)如果有载重量为4吨、6吨、8吨三种运输车，载重运费都是1.8元/吨公里，空载费用分别为0.2，0.4，0.7元/公里，其他费用一样，又如何安排车辆数和调度方案？(2)当各个公司间都有或者部分有道路直接相通时，分析运输调度的难度所在，给出你的解决问题的想法(可结合实际情况深入分析)。

图１　唯一的运输路线图和里程数
公司
材料
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
A
4
1
2
3
1
0
2
5
B
1
5
0
1
2
4
2
3
C
5
2
4
2
4
3
5
1
表１　　各公司所需要的货物量
第2题 高阶常微分方程模型——饿狼追兔问题
现有一只兔子、一匹狼，兔子位于狼的正西100米处，假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子。已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。
要求：
（1）建立狼的运动轨迹微分模型。
（2）画出兔子与狼的运动轨迹图形。
（3）用解析方法求解，问兔子能否安全回到巢穴？
（4）用数值方法求解，问兔子能否安全回到巢穴？
第3题 多元回归模型
设某公司生产的商品在市场一的销售价格为（元/件）、用于商品的广告费用为（万元）、销售量为（万件）的连续12个月的统计数据如下表所示。
月份
销售价格
广告费用
销售量
1
100
5.50
55
2
90
6.30
70
3
80
7.20
90
4
70
7.00
100
5
70
6.30
90
6
70
7.35
105
7
70
5.60
80
8
65
7.15
110
9
60
7.50
125
10
60
6.90
115
11
55
7.15
130
12
50
6.50
130
要求：
（1）选择恰当的模型，建立销售量关于销售价格和广告费用的关系模型。并利用MATLAB画出曲线图形。
（2）设第13个月将该商品的销售价格定为80元/件，广告费用为7万元，预计该商品的销售量将是多少？并对其作统计上的误差分析。
第4题 课程安排优化问题
某年级学生共分四个班，现需要为其安排下学期课程表（课程开设及任课教师情况见表1），具体要求如下：
1、每星期一至星期五上午可以安排四节课，下午可以安排两节课，课程安排均为两节连上；
2、可用排课教室数为3个（D1、D2、D3）；
3、同一课程两次课之间至少相隔一天；
4、每位教师每天上课不超过四节；
5、周四下午全校政治学习，不安排上课。
表1：
课程
周学时
班级
教师
班级
教师
班级
教师
班级
教师
B1
4
A1
C1
A2
C1
A3
C1
A4
C1
B2
4
A1
C2
A2
C2
A3
C2
A4
C2
B3
6
A1
C3
A2
C3
A3
C4
A4
C4
B4
2
A1
C5
A2
C6
A3
C5
A4
C6
B5
4
A1
C5
A2
C6
A3
C5
A4
C6
（1）请给出你认为比较合理的班级课程安排表；
（2）如果教师上课节数不做限制，请修改你的模型并重新求解；
（3）如果可用排课教室多于4个，请修改你的模型并重新求解。
第5题 房地产销售问题
我市某房地产公司通过对历史资料进行回归分析（即数据拟合），并结合2008年上半年可能出现的影响楼盘销售的因素，预测该公司2008年上半年的销售情况如下表所示：
月 份
1 2 3 4 5 6
销售量（套）
42 32 41 67 25 29
该公司的楼盘2007年12月的销售均价为4800元/平方米，平均每套120平方米，2008年上半年的售价保持不变。2007年12月末尚有49套现房未售出。商品房从规划到售出会发生下列费用：（1）建造成本，包括固定成本（主要是指购地、机器设备的折旧）和可变成本（钢材、水泥、装饰材料和人工成本等，其中人工成本在可变成本中占到大约40%），按照2007年12月份的建材价格计算，可变成本（万元）与商品房建造套数（以平均每套120平方米计算）的平方成正比，比例系数为0.5。且可变成本与建材价格上涨幅度有关，例如建材价格上涨10%，则可变成本是按前面方法计算结果的1.1倍。（2）销售费用，与当月销售金额成正比。（3）折旧，建造好的商品房未售出的必须计提折旧，折旧分40年平均摊销，即该公司生产的商品房平均每套每月的折旧为48万元/（40*12）=0.1万元。
近年以来，央行和国家发改委等部门出台了一系列措施平抑建材价格，但由于对建材需求结构而言，总体上求大于供的市场状况没有得到根本改善，预计今年建材的价格仍会有一定的增长。预计的增长速度（以2007年12月的价格为基准）见下表：
月 份
1 2 3 4 5 6
增长速度
10% 10% 15% 15% 20% 20%
该公司希望在上半年就把建造好的房屋全部销售完，为使利润最大化，需要制定出从2008年1月到6月每月的建造计划（即每月完成多少套，以平均每套120平方米计算）。
（1）如果公司的月建造能力没有限制，并允许期房（即尚未建好的房屋）销售，但在6月底前要全部完成交房，如何制定月建造计划？
（2）如果公司的月建造能力限于33套（以平均每套120平方米计算），并且允许期房（即尚未建好的房屋）销售，但在6月底前要全部完成交房，又该如何制定月建造计划？
备注：
建模题要求严格按照数学建模的步骤（7个步骤）来写论文；
交卷形式：纸质文档和电子文档；
交卷时间：第19周最后一堂课前上交，过时没交答卷的同学做缺考处理；.
注意：如有雷同两份答卷同时计0分，如查实为抄袭网上已有论文计0分。
论文的要求:
论文基本内容和格式大致分三大部分：
一、标题、摘要部分
1．题目：应写出较确切的题目；(不能只写第1题、第2题等)
2．摘要(含关键词)200-300字，包括模型的主要特点、建模方法和主要结果；
二、正文
正文要求把求解的思路与过程描述清除,注意排版格式的整齐美观。必须包括以下部分:
1．问题分析
2．模型假设即补充一些假设条件，使问题简化，但需合理(是此次比赛论文好坏的关键)
3．符号说明
4．模型建立与求解(必要时包括计算方法设计及计算机实现（MATLAB）)
5．结果分析与检验(简述)
6．讨论模型的优缺点，改进方向，推广新思想(简述)
7．参考文献（参考文献要在论文中引用）
8. 字数要求4000以上字。
参考文献在正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等，引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为：
[编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年
参考文献中期刊杂志论文的表述方式为：
[编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年
参考文献中网上资源的表述方式为：
[编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）
三、附件：2013—2014学年下学期《数学建模与数学实验》课程期末考试论文（设计）。

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