数字信号处理(第三版)高西全丁玉美课后答案.doc

西安电子(高西全丁美玉第三版)数字信号处理课后答案
1.2 教材第一章习题解答
1. 用单位脉冲序列及其加权和表示题1图所示的序列。
解：

2. 给定信号：
（1）画出序列的波形，标上各序列的值；
（2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示序列；
（3）令，试画出波形；
（4）令，试画出波形；
（5）令，试画出波形。
解：
（1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。
（2）

（3）的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。
（4）的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。
（5）画时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，波形如题2解图（四）所示。
3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。
（1），A是常数；
（2）。
解：
（1），这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14；
（2），这是无理数，因此是非周期序列。
5. 设系统分别用下面的差分方程描述，与分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。
（1）；
（3），为整常数；
（5）；
（7）。
解：
（1）令：输入为，输出为
故该系统是时不变系统。

故该系统是线性系统。
（3）这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统，下面予以证明。
令输入为，输出为，因为

故延时器是一个时不变系统。又因为

故延时器是线性系统。
（5）
令：输入为，输出为，因为

故系统是时不变系统。又因为

因此系统是非线性系统。
（7）
令：输入为，输出为，因为

故该系统是时变系统。又因为

故系统是线性系统。
6. 给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并说明理由。
（1）；
（3）；
（5）。
解：
（1）只要，该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。如果，则，因此系统是稳定系统。
（3）如果，，因此系统是稳定的。系统是非因果的，因为输出还和x(n)的将来值有关.
（5）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。如果，则，因此系统是稳定的。
7. 设线性时不变系统的单位脉冲响应和输入序列如题7图所示，要求画出输出输出的波形。
解：
解法（1）:采用图解法

图解法的过程如题7解图所示。
解法（2）:采用解析法。按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式:

因为
所以
将x(n)的表达式代入上式，得到

8. 设线性时不变系统的单位取样响应和输入分别有以下三种情况，分别求出输出。
（1）；
（2）；
（3）。
解：
（1）
先确定求和域，由和确定对于m的非零区间如下：

根据非零区间，将n分成四种情况求解：
①
②
③
④
最后结果为

y(n)的波形如题8解图（一）所示。
（2）

y(n)的波形如题8解图（二）所示.
（3）

y(n)对于m的非零区间为。
①
②
③
最后写成统一表达式：

11. 设系统由下面差分方程描述：
；
设系统是因果的，利用递推法求系统的单位取样响应。
解：
令：

归纳起来，结果为

12. 有一连续信号式中，
（1）求出的周期。
（2）用采样间隔对进行采样，试写出采样信号的表达式。
（3）画出对应的时域离散信号(序列) 的波形，并求出的周期。

————第二章————
教材第二章习题解答
1. 设和分别是和的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
解：
（1）
令，则

（2）
（3）
令，则

（4）
证明：

令k=n-m，则

2. 已知
求的傅里叶反变换。
解：
3. 线性时不变系统的频率响应(传输函数)如果单位脉冲响应为实序列，试证明输入的稳态响应为
。
解：
假设输入信号，系统单位脉冲相应为h(n)，系统输出为
上式说明，当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位决定于网络传输函数，利用该性质解此题。

上式中是w的偶函数，相位函数是w的奇函数，

4. 设将以4为周期进行周期延拓，形成周期序列，画出和的波形，求出的离散傅里叶级数和傅里叶变换。
解：
画出x(n)和的波形如题4解图所示。
,
以4为周期，或者
,
以4为周期

5. 设如图所示的序列的FT用表示，不直接求出，完成下列运算：
（1）；
（2）；
（5）
解：
（1）
（2）
（5）
6. 试求如下序列的傅里叶变换:
（2）；
（3）
解：
（2）

（3）
7. 设:
（1）是实偶函数，
（2）是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下，的傅里叶变换性质。
解：
令
（1）x(n)是实、偶函数，
两边取共轭，得到

因此
上式说明x(n)是实序列，具有共轭对称性质。

由于x(n)是偶函数，x(n)sinwn是奇函数，那么

因此
该式说明是实函数，且是w的偶函数。
总结以上x(n)是实、偶函数时，对应的傅里叶变换是实、偶函数。
（2）x(n)是实、奇函数。
上面已推出，由于x(n)是实序列，具有共轭对称性质，即

由于x(n)是奇函数，上式中是奇函数，那么
因此
这说明是纯虚数，且是w的奇函数。
10. 若序列是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式:
求序列及其傅里叶变换。
解：

12. 设系统的单位取样响应，输入序列为，完成下面各题：
（1）求出系统输出序列；
（2）分别求出、和的傅里叶变换。
解：
（1）

（2）

13. 已知，式中，以采样频率对进行采样，得到采样信号和时域离散信号，试完成下面各题：
（1）写出的傅里叶变换表示式；
（2）写出和的表达式；
（3）分别求出的傅里叶变换和序列的傅里叶变换。
解：
（1）

上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数函数，它的傅里叶变换可以
表示成：

（2）

（3）

式中

式中
上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异函数函数，才能写出它的傅里叶变换表达式。
14. 求以下序列的Z变换及收敛域：
（2）；
（3）；
（6）
解：
（2）
（3）

（6）

16. 已知:

求出对应的各种可能的序列的表达式。
解：
有两个极点，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有以下三种情况：
三种收敛域对应三种不同的原序列。
（1）当收敛域时，

令
，因为c内无极点，x(n)=0；
，C内有极点0，但z=0是一个n阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极点有，那么

（2）当收敛域时，

，C内有极点0.5；

，C内有极点0.5，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外极点只有一个，即2，

最后得到
（3）当收敛域时，

，C内有极点0.5，2；

n<0，由收敛域判断，这是一个因果序列，因此x(n)=0。
或者这样分析，C内有极点0.5，2，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外无极点，所以x(n)=0。
最后得到

17. 已知，分别求：
（1）的Z变换；
（2）的Z变换；
（3）的z变换。
解：
（1）
（2）
（3）
18. 已知，分别求：
（1）收敛域对应的原序列；
（2）收敛域对应的原序列。
解：

（1）当收敛域时，，内有极点0.5，
,
c内有极点0.5,0,但0是一个n阶极点,改求c外极点留数,c外极点只有2,
,
最后得到

（2（当收敛域时，
c内有极点0.5,2,

c内有极点0.5,2,0,但极点0是一个n阶极点,改成求c外极点留数,可是c外没有极点,因此, 最后得到

25. 已知网络的输入和单位脉冲响应分别为
，
试：
（1）用卷积法求网络输出；
（2）用ZT法求网络输出。
解：
（1）用卷积法求
，,
，，
最后得到

（2）用ZT法求

令
,c内有极点

因为系统是因果系统，,，最后得到

28. 若序列是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：

求序列及其傅里叶变换。
解：

求上式IZT，得到序列的共轭对称序列。

因为是因果序列，必定是双边序列，收敛域取：。
时，c内有极点,

n=0时，c内有极点,0，

所以

又因为

所以

3.2 教材第三章习题解答
1. 计算以下诸序列的N点DFT,在变换区间内,序列定义为
（2）；
（4）；
（6）；
（8）；
（10）。
解：
（2）
（4）

（6）
（8）解法1 直接计算

解法2 由DFT的共轭对称性求解
因为

所以

即

结果与解法1所得结果相同。此题验证了共轭对称性。
（10）解法1

上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解X(k)。
因为
所以
等式两边进行DFT得到

故
当时，可直接计算得出X（0）

这样，X（k）可写成如下形式：

解法2
时，

时，

所以，

即

2. 已知下列，求
（1）;
（2）
解：
（1）

（2）

3. 长度为N=10的两个有限长序列

作图表示、和。
解：
、和分别如题3解图（a）、（b）、（c）所示。
14. 两个有限长序列和的零值区间为:

对每个序列作20点DFT,即

如果

试问在哪些点上，为什么？
解：
如前所示，记，而。
长度为27，长度为20。已推出二者的关系为

只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上，才满足所以

15. 用微处理机对实数序列作谱分析,要求谱分辨率，信号最高频率为1kHZ，试确定以下各参数：
（1）最小记录时间；
（2）最大取样间隔；
（3）最少采样点数；
（4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值。
解：
（1）已知

（2）
（3）
（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高一倍（F变为原来的1/2）

18. 我们希望利用长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理，要求采用重叠保留法通过DFT来实现。所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段（本题设每段长度为M=100个采样点），但相邻两段必须重叠V个点，然后计算各段与的L点（本题取L=128）循环卷积，得到输出序列，m表示第m段计算输出。最后，从中取出Ｂ个，使每段取出的Ｂ个采样点连接得到滤波输出。
（1）求V；
（2）求B；
（3）确定取出的B个采样应为中的哪些采样点。
解：
为了便于叙述，规定循环卷积的输出序列的序列标号为0，1，2，…,127。
先以与各段输入的线性卷积考虑，中，第0点到48点（共49个点）不正确，不能作为滤波输出，第49点到第99点（共51个点）为正确的滤波输出序列的一段，即B=51。所以，为了去除前面49个不正确点，取出51个正确的点连续得到不间断又无多余点的，必须重叠100-51=49个点，即V=49。
下面说明，对128点的循环卷积，上述结果也是正确的。我们知道

因为长度为
N+M-1=50+100-1=149
所以从n=20到127区域， ，当然，第49点到第99点二者亦相等，所以，所取出的第51点为从第49到99点的。
综上所述，总结所得结论
V=49,B=51
选取中第49~99点作为滤波输出。
5.2 教材第五章习题解答
1. 设系统用下面的差分方程描述：
，
试画出系统的直接型、级联型和并联型结构。
解：

将上式进行Z变换

（1）按照系统函数，根据Masson公式，画出直接型结构如题1解图（一）所示。
（2）将的分母进行因式分解

按照上式可以有两种级联型结构：
(a)
画出级联型结构如题1解图（二）（a）所示
(b)
画出级联型结构如题1解图（二）（b）所示
（3）将进行部分分式展开

根据上式画出并联型结构如题1解图（三）所示。
2. 设数字滤波器的差分方程为
，
试画出该滤波器的直接型、级联型和并联型结构。
解：
将差分方程进行Z变换，得到

（1）按照Massion公式直接画出直接型结构如题2解图（一）所示。
（2）将的分子和分母进行因式分解：

按照上式可以有两种级联型结构：
(a)

画出级联型结构如题2解图（二）（a）所示。
(b)

画出级联型结构如题2解图（二）（b）所示●。
3. 设系统的系统函数为
，
试画出各种可能的级联型结构。
解：
由于系统函数的分子和分母各有两个因式，可以有两种级联型结构。

（1） ，

画出级联型结构如题3解图（a）所示●。
（2） ,

画出级联型结构如题3解图（b）所示。
4.图中画出了四个系统，试用各子系统的单位脉冲响应分别表示各总系统的单位脉冲响应，并求其总系统函数。图d
解：
(d)

5. 写出图中流图的系统函数及差分方程。图d
解：
(d)

6. 写出图中流图的系统函数。图f
解：
(f)
8．已知FIR滤波器的单位脉冲响应为，试用频率采样结构实现该滤波器。设采样点数N=5，要求画出频率采样网络结构，写出滤波器参数的计算公式。
解：
已知频率采样结构的公式为

式中，N=5

它的频率采样结构如题8解图所示。
6.2 教材第六章习题解答
1. 设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率，通带最大衰减，阻带截止频率，阻带最小衰减。求出滤波器归一化传输函数以及实际的。
解：
（1）求阶数N。

将和值代入N的计算公式得

所以取N=5（实际应用中，根据具体要求，也可能取N=4，指标稍微差一点，但阶数低一阶，使系统实现电路得到简化。）
（2）求归一化系统函数，由阶数N=5直接查表得到5阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数为

或
当然，也可以按（6.12）式计算出极点:

按（6.11）式写出表达式

代入值并进行分母展开得到与查表相同的结果。
（3）去归一化（即LP-LP频率变换），由归一化系统函数得到实际滤波器系统函数。
由于本题中，即，因此

对分母因式形式，则有

如上结果中，的值未代入相乘，这样使读者能清楚地看到去归一化后，3dB截止频率对归一化系统函数的改变作用。
2. 设计一个切比雪夫低通滤波器，要求通带截止频率，通带最在衰减速，阻带截止频率，阻带最小衰减。求出归一化传输函数和实际的。
解：
（1）确定滤波器技术指标：
，

（2）求阶数N和：

为了满足指标要求，取N=4。

（2）求归一化系统函数

其中，极点由(6.2.38)式求出如下：

（3）将去归一化，求得实际滤波器系统函数

其中，因为，所以。将两对共轭极点对应的因子相乘，得到分母为二阶因子的形式，其系数全为实数。

4. 已知模拟滤波器的传输函数为：
(1)；
(2)。式中，a,b为常数，设因果稳定，试采用脉冲响应不变法，分别将其转换成数字滤波器。
解：
该题所给正是模拟滤波器二阶基本节的两种典型形式。所以，求解该题具有代表性，解该题的过程，就是导出这两种典型形式的的脉冲响应不变法转换公式，设采样周期为T。
（1）
的极点为：
，
将部分分式展开（用待定系数法）：

比较分子各项系数可知：
A、B应满足方程：

解之得

所以

按照题目要求，上面的表达式就可作为该题的答案。但在工程实际中，一般用无复数乘法器的二阶基本结构实现。由于两个极点共轭对称，所以将的两项通分并化简整理，可得

用脉冲响应不变法转换成数字滤波器时，直接套用上面的公式即可，且对应结构图中无复数乘法器，便于工程实际中实现。
（2）
的极点为：
，
将部分分式展开：

通分并化简整理得

5. 已知模拟滤波器的传输函数为：
（1）；
（2）试用脉冲响应不变法和双线性变换法分别将其转换为数字滤波器，设T=2s。
解：
（1）用脉冲响应不变法
①
方法1 直接按脉冲响应不变法设计公式，的极点为：
，

代入T=2s

方法2 直接套用4题(2)所得公式，为了套用公式，先对的分母配方，将化成4题中的标准形式：
为一常数，
由于

所以

对比可知，，套用公式得

②

或通分合并两项得

（2）用双线性变换法
①

②

7. 假设某模拟滤波器是一个低通滤波器，又知，数字滤波器的通带中心位于下面的哪种情况？并说明原因。
（1） (低通)；
（2）（高通）；
（3）除0或外的某一频率（带通）。
解：
按题意可写出

故

即

原模拟低通滤波器以为通带中心，由上式可知，时，对应于，故答案为（2）。
9. 设计低通数字滤波器，要求通带内频率低于时，容许幅度误差在1dB之内；频率在0.3到之间的阻带衰减大于10dB；试采用巴特沃斯型模拟滤波器进行设计，用脉冲响应不变法进行转换，采样间隔T=1ms。
解：
本题要求用巴特沃斯型模拟滤波器设计，所以，由巴特沃斯滤波器的单调下降特性，数字滤波器指标描述如下：

采用脉冲响应不变法转换，所以，相应模拟低通巴特沃斯滤波器指标为：

（1）求滤波器阶数N及归一化系统函数：

取N=5，查表6.1的模拟滤波器系统函数的归一化低通原型为：

将部分分式展开：

其中，系数为：

（2）去归一化求得相应的模拟滤波器系统函数。
我们希望阻带指标刚好，让通带指标留有富裕量，所以按(6.2.18)式求3dB截止频率。

其中。
（3）用脉冲响应不变法将转换成数字滤波器系统函数：

我们知道，脉冲响应不变法的主要缺点是存在频率混叠失真，设计的滤波器阻带指标变差。另外，由该题的设计过程可见，当N较大时，部分分式展开求解系数或相当困难，所以实际工作中用得很少，主要采用双线性变换法设计。
第7章习题与上机题解答
　　1． 已知FIR滤波器的单位脉冲响应为： 
　　（1） h(n)长度N=6
　　　　 h(0)=h(5)=1.5
h(1)=h(4)=2
h(2)=h(3)=3
　　（2） h(n)长度N=7
　　　 h(0)=－ h(6)=3
h(1)=－ h(5)=－ 2
h(2)=－h(4)=1
h(3)=0
试分别说明它们的幅度特性和相位特性各有什么特点。
解： （1） 由所给h(n)的取值可知，h(n)满足h(n)=h(N－1－n)， 所以FIR滤波器具有A类线性相位特性：

由于N=6为偶数(情况2)， 所以幅度特性关于ω=π点奇对称。
　　（2） 由题中h(n)值可知， h(n)满足h(n)=－h(N－1－n)， 所以FIR滤波器具有B类线性相位特性：

由于7为奇数(情况3)， 所以幅度特性关于ω=0, π, 2π三点奇对称。
2． 已知第一类线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应长度为16， 其16个频域幅度采样值中的前9个为： 
　　Hg(0)=12， Hg(1)=8.34， Hg(2)=3.79， Hg(3)~Hg(8)=0 
　　根据第一类线性相位FIR滤波器幅度特性Hg(ω)的特点， 求其余7个频域幅度采样值。 
　　解： 因为N=16是偶数（情况2）， 所以FIR滤波器幅度特性Hg(ω)关于ω=π点奇对称， 即Hg(2π－ω)=－Hg(ω)。 其N点采样关于k=N/2点奇对称， 即
　　　　　　Hg(N－k)=－Hg(k) k=1, 2, …, 15
综上所述, 可知其余7个频域幅度采样值：
　　　　Hg(15)=－Hg(1)=－8.34， Hg(14)=－Hg(2)=－3.79， 　　　
　　　　Hg(13)~Hg(9)=0
3． 设FIR滤波器的系统函数为

求出该滤波器的单位脉冲响应h(n)， 判断是否具有线性相位， 求出其幅度特性函数和相位特性函数。
　　解: 对FIR数字滤波器， 其系统函数为

所以其单位脉冲响应为

由h(n)的取值可知h(n)满足：
　　　　　　　　h(n)=h(N－1－n) N=5
所以， 该FIR滤波器具有第一类线性相位特性。 频率响应函数H(ejω)为

幅度特性函数为

相位特性函数为

4． 用矩形窗设计线性相位低通FIR滤波器， 要求过渡带宽度不超过π/8 rad。 希望逼近的理想低通滤波器频率响应函数Hd(ejω)为

（1） 求出理想低通滤波器的单位脉冲响应hd(n)；
　　（2） 求出加矩形窗设计的低通FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)表达式， 确定α与N之间的关系； 
　　（3） 简述N取奇数或偶数对滤波特性的影响。
　　解: （1）

（2） 为了满足线性相位条件， 要求 ， N为矩形窗函数长度。 因为要求过渡带宽度Δβ≤　 rad, 所以要求 <= 求解得到N≥32。 加矩形窗函数, 得到h(n)：

（3） N取奇数时， 幅度特性函数Hg(ω)关于ω=0, π, 2π三点偶对称， 可实现各类幅频特性； N取偶数时， Hg(ω)关于ω=π奇对称， 即Hg(π)=0， 所以不能实现高通、 带阻和点阻滤波特性。
39