资源描述
二次函数知识点
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．
⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：的性质：
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
2. 的性质：
上加下减。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
3. 的性质：
左加右减。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
X=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
4. 的性质：
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
X=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
2. 平移规律
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
方法二：
⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成
（或）
⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）
四、二次函数与的比较
从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．
五、二次函数图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
六、二次函数的性质
1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．
2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．
七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：（，，为常数，）；
2. 顶点式：（，，为常数，）；
3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数
二次函数中，作为二次项系数，显然．
⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；
⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．
总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．
2. 一次项系数
在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．
⑴ 在的前提下，
当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．
⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即
当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．
总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．
的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”
总结：
3. 常数项
⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；
⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．
总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．
总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1. 关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
2. 关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
3. 关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是；
关于原点对称后，得到的解析式是；
4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
关于顶点对称后，得到的解析式是；
关于顶点对称后，得到的解析式是．
5. 关于点对称
关于点对称后，得到的解析式是
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
十、二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：
一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.
图象与轴的交点个数：
① 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离.
② 当时，图象与轴只有一个交点；
③ 当时，图象与轴没有交点.
当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；
当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．
2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；
3. 二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
抛物线与轴有两个交点
二次三项式的值可正、可零、可负
一元二次方程有两个不相等实根
抛物线与轴只有一个交点
二次三项式的值为非负
一元二次方程有两个相等的实数根
抛物线与轴无交点
二次三项式的值恒为正
一元二次方程无实数根.
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
十一、函数的应用
二次函数应用
二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点,它们确定图象现；开口、大小由a断,c与Y轴来相见,b的符号较特别，符号与a相关联；顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要,一般式配方它就现，横标即为对称轴,纵标函数最值见。若求对称轴位置,符号反,一般、顶点、交点式，不同表达能互换。
二次函数抛物线，选定需要三个点，a的正负开口判，c的大小y轴看，△的符号最简便，x轴上数交点，a、b同号轴左边抛物线平移a不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。
一、二次函数的定义
例1、已知函数y=(m－1)xm2 +1+5x－3是二次函数，求m的值。
练习、若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为 。
二、五点作图法的应用
例2. 已知抛物线，
（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴并用五点法作图
（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．
1、（2009泰安）抛物线的顶点坐标为
（A）（-2，7） （B）（-2，-25） （C）（2，7） （D）（2，-9）
2、(2009年南充)抛物线的对称轴是直线（ ）
A． B． C． D．
3、（2009年遂宁）把二次函数用配方法化成的形式
三、及的符号确定
例3. 已知抛物线如图，试确定：
（1）及的符号；（2）与的符号。
1、（2009年南宁市）已知二次函数（）的图象如图所示，有下列四个结论：④，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2、（2009年黄石市）已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B． ①③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
1
1
O
x
y
y
x
O
1
－1
3、（2009年枣庄市）二次函数的图象如图所示，则下列关系式中错误的是（ ）
A．a＜0
B．c＞0
C．＞0
D．＞0
4、（2009年甘肃庆阳）图12为二次函数的图象，给出下列说法：
①；②方程的根为；③；④当时，y随x值的增大而增大；⑤当时，．
其中，正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）
5、(2009年鄂州)已知=次函数y＝ax+bx+c的图象如图．则下列5个代数式：ac，a+b+c，4a－2b+c，2a+b，2a－b中，其值大于0的个数为（ ）
A．2 B 3 C、4 D、5
四、二次函数解析式的确定
例4. 求二次函数解析式：
（1）抛物线过（0，2），（1，1），（3，5）；
（2）顶点M（-1，2），且过N（2，1）；
（3）已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点且BC＝5，求该二次函数的解析式。
练习：根据下列条件求关于x的二次函数的解析式
（1） 当x=3时，y最小值=－1，且图象过（0，7）
（2） 图象过点（0，－2）（1，2）且对称轴为直线x=
（3） 图象经过（0，1）（1，0）（3，0）
五、二次函数与x轴、y轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）
例5、 已知抛物线y＝x2-2x-8，
（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；
（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。
1、二次函数y＝x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为
2、 如图所示，二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点， 交y 轴于点C，
则△ABC的面积为( )
A.6 B.4 C.3 D.1
3、若二次函数y＝(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方，则m 的取值范围是
六、直线与二次函数的问题
例6 已知：二次函数为y=x2－x+m，（1）写出它的图像的开口方向，对称轴及顶点坐标；（2）m为何值时，顶点在x轴上方，（3）若抛物线与y轴交于A，过A作AB∥x轴交抛物线于另一点B，当S△AOB=4时，求此二次函数的解析式．
1、抛物线y=x2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为 。
2、直线y=7x+1与抛物线y=x2+3x+5的图象有 个交点。
例7 （2006，山东枣庄）已知关于x的二次函数y=x2－mx+与y=x2－mx－，这两个二次函数的图像中的一条与x轴交于A，B两个不同的点．
（1）试判断哪个二次函数的图像经过A，B两点；
（2）若A点坐标为（－1，0），试求B点坐标；
（3）在（2）的条件下，对于经过A，B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？
练习(2009年陕西省) 如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB＝2OA，点A的坐标是(－1，2)．
（1）求点B的坐标；
（2）求过点A、O、B的抛物线的表达式；
（3）连接AB，在（2）中的抛物线上求出点P，使得S△ABP＝S△ABO．
例8 （2006，重庆市）已知：m，n是方程x2－6x+5=0的两个实数根，且m<n，抛物线y=－x2+bx+c的图像经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积；
（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．
【分析】（1）解方程求出m，n的值．
用待定系数法求出b，c的值．
（2）过D作x轴的垂线交x轴于点M，可求出△DMC，梯形BDBO，△BOC的面积，用割补法可求出△BCD的面积．
（3）PH与BC的交点设为E点，则点E有两种可能：
①EH=EP， ②EH=EP．
【解答】（1）解方程x2－6x+5=0，
得x1=5，x2=1．
由m<n，有m=1，n=5．
所以点A，B的坐标分别为A（1，0），B（0，5）．将A（1，0），B（0，5）的坐标分别代入y=－x2+bx+c，
得 解这个方程组，得
所以抛物线的解析式为y=－x2－4x+5．
（2）由y=－x2－4x+5，令y=0，得－x2－4x+5=0．
解这个方程，得x1=－5，x2=1．
所以点C的坐标为（－5，0），由顶点坐标公式计算，得点D（－2，9）．
过D作x轴的垂线交x轴于M，如图所示．
则S△DMC=×9×（5－2）=．
S梯形MDBO=×2×（9+5）=14，
S△BDC =×5×5=．
所以S△BCD =S梯形MDBO+S△DMC －S△BOC =14+－=15．
（3）设P点的坐标为（a，0）
因为线段BC过B，C两点，所以BC所在的直线方程为y=x+5．
那么，PH与直线BC的交点坐标为E（a，a+5），PH与抛物线y=－x2+4x+5的交点坐标为H（a，－a2－4a+5）．
由题意，得①EH=EP，即
（－a2－4a+5）－（a+5）=（a+5）．
解这个方程，得a=－或a=－5（舍去）．
②EH=EP，得
（－a2－4a+5）－（a+5）=（a+5）．
解这个方程，得a=－或a=－5（舍去）．
P点的坐标为（－，0）或（－，0）．
七、用二次函数解决最值问题
例9 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：
x（元）
15
20
30
…
y（件）
25
20
10
…
若日销售量y是销售价x的一次函数．
（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？
【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b．则 解得k=-1，b=40，即一次函数表达式为y=-x+40．
（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元
w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225．
产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元．
【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．
例3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2．5 m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)
( )
A．1．5 m B．1．625 m
C．1．66 m D．1．67 m
分析：本题考查二次函数的应用
答案：B
八、二次函数应用
(一）经济策略性
1.某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格。经检验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件。假定每月销售件数y(件）是价格X的一次函数.(1)试求y与x的之间的关系式.
(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润，每月的最大利润是多少？（总利润=总收入－总成本）
2.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元。
（1）设X天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于X的函数关系式。
（2）如果放养X天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售额为Q元，写出Q关于X的函数关系式。
（2）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润=销售总额—收购成本—费用），最大利润是多少？
自我检测（30分钟）
一. 选择题。
1. 用配方法将化成的形式（ ）
A. B.
C. D.
2. 对于函数，下面说法正确的是（ ）
A. 在定义域内，y随x增大而增大
B. 在定义域内，y随x增大而减小
C. 在内，y随x增大而增大
D. 在内，y随x增大而增大
3. 已知，那么的图象（ ）
4. 已知点（-1，3）（3，3）在抛物线上，则抛物线的对称轴是（ ）
A. B. C. D.
5. 一次函数和二次函数在同一坐标系内的图象（ ）
6. 函数的最大值为（ ）
A. B. C. D. 不存在
二. 填空题。
7. 是二次函数，则____________。
8. 抛物线的开口向________，对称轴是____________，顶点坐标是____________。
9. 抛物线的顶点是（2，3），且过点（3，1），则___，___，____________。
10. 函数图象沿y轴向下平移2个单位，再沿x轴向右平移3个单位，得到函数____________的图象。
三. 解答题。
12. 抛物线，m为非负整数，它的图象与x轴交于A和B，A在原点左边，B在原点右边。
（1）求这个抛物线解析式。
（2）一次函数的图象过A点与这个抛物线交于C，且，求一次函数解析式。
[参考答案]
一. 选择题。
1. A 2. C 3. C 4. D 5. C 6. C
二. 填空题。
7. 1 8. 下；； 9. 10. 大， 11.
三. 解答题。
12. （1）
又∵m为非负整数
∴抛物线为
（2）又A（-1，0），B（3，0）
设C点纵坐标为a
当时，方程无解
当时，方程
◆强化训练
一、填空题
1．（2006，大连）右图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像，观察图像写出y2≥y1时，x的取值范围_______．
2．（2005，山东省）已知抛物线y=a2+bx+c经过点A（－2，7），B（6，7），C（3，－8），则该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标是_______．
3．已知二次函数y=－x2+2x+c2的对称轴和x轴相交于点（m，0），则m的值为______．
4．（2005，温州市）若二次函数y=x2－4x+c的图像与x轴没有交点，其中c为整数，则c=_______（只要求写出一个）．
5．（2005，黑龙江省）已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（1，2）与（－1，4），则a+c的值是______．
6．甲，乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一十分关键的球，出手点为P，羽毛球飞行的水平距离s（m）与其距地面高度h（m）之间的关系式为h=－s2+s+．如下左图所示，已知球网AB距原点5m，乙（用线段CD表示）扣球的最大高度为m，设乙的起跳点C的横坐标为m，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m的取值范围是______．
7．（2005，甘肃省）二次函数y=x2－2x－3与x轴两交点之间的距离为______．
8．（2008，甘肃庆阳）兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y（元/m2）随楼层数x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8），已知点（x，y）都在一个二次函数的图像上（如上右图），则6楼房子的价格为_____元/m2．
二、选择题
9．（2008，长沙）二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则下列关系式不正确的是（ ）
A．a<0 B．abc>0 C．a+b+c<0 D．b2－4ac>0
(第9题) (第12题) (第15题)
10．（2008，威海）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点M（－2，y1），N（－1，y2），K（8，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c的图像上，则下列结论中正确的是（ ）
A．y1<y2<y3 B．y2<y1<y3 C．y3<y1<y2 D．y1<y3<y2
11．（2005，山西省）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=2，且经过点P（3，0），则a+b+c的值为（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
12．如图所示，抛物线的函数表达式是（ ）
A．y=x2－x+2 B．y=－x2－x+2 C．y=x2+x+2 D．y=－x2+x+2
13．（2008，山西）抛物线y=－2x2－4x－5经过平移得到y=－2x2，平移方法是（ ）
A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
14．（2005，包头市）已知二次函数y=x2+bx+3，当x=－1时，y取得最小值，则这个二次函数图像的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
15．（2006，诸暨）抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分图像如图所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是（ ）
A．（，0） B．（1，0） C．（2，0） D．（3，0）
16．（2008，泰安）在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=－mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图像可能是（ ）
三、解答题
17．（2006，浙江舟山）如图所示，已知抛物线y=ax2+4ax+t（a>0）交x轴A，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（－1，0）．
（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；
（2）过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P，你能判断四边形ABCP是什么四边形？并证明你的结论；
（3）连接CA与抛物线的对称轴交于点D，当∠APD=∠ACP时，求抛物线的解析式．
18．（2006，重庆）如图所示，m，n是方程x2－6x+5=0的两个实数根，且m<n，抛物线y=－x2+bx+c的图像经过点A（m，0），B（0，n）．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积；
（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于点H，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出点P的坐标．
19．（2006，太原市）某地计划开凿一条单向行驶（从正中通过）的隧道，其截面是抛物线拱形ACB，而且能通过最宽3m，最高3.5m的厢式货车．按规定，机动车通过隧道时车身距隧道壁的水平距离和铅直距离最小都是0.5m．为设计这条能使上述厢式货车恰好完全通过的隧道，在图纸上以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，求抛物线拱形的表达式，隧道的跨度AB和拱高OC．
20．（2005，河南省）已知一个二次函数的图像过如图所示三点．
（1）求抛物线的对称轴；（2）平行于x轴的直线L的解析式为y=，抛物线与x轴交于A，B两点．在抛物线的对称轴上找点P，使BP的长等于直线L与x轴间的距离．求点P的坐标．
21．（2005，吉林省）如图5－76所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（－1，0），点C（0，5），D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；（2）求△MCB的面积．
22．（2005，长春市）如图所示，过y轴上一点A（0，1）作AC平行于x轴，交抛物线y=x2（x≥0）于点B，交抛物线y=x2（x≥0）于点C；过点C作CD平行于y轴，交抛物线y=x2于点D；过点D作DE平行于x轴，交抛物线y=x2于点E．
（1）求AB：BC；
（2）判断O，B，E三点是否在同一直线上？如果在，写出直线解析式；如果不在，请说明理由．
答案
1．－2≤x≤1 2．（1，－8） 3．1 4．答案不唯一（略） 5．3
6．5<m<4+ 7．4 8．2080 9．C 10．B 11．B 12．D 13．D
14．B 15．B 16．D
17．（1）对称轴是直线x=2，A点坐标为（－3，0）
（2）四边形ABCP是平行四边形
（3）∵△ADE∽△CDP，∴=
∵△ADE∽△PAE，∴12=·t，∴t=
将B（－1，0）代入y=ax2+4ax+t得t=3a，a=
∴抛物线解析式为y=x2+x+2．
18．（1）y=－x2－4x+5
（2）C（－5，0），D（－2，9） S△BCD=15
（3）设P（a，0），∵BC所在直线方程为y=x+5．
∴PH与直线BC的交点坐标为E（a，a+5）．
PH与抛物线y=－x2－4x+5的交点坐标为H（a，－a2－4a+5）．
①若EH=EP．则（－a2－4a+5）－（a+5）=（a+5），则a=－或a=－5（舍）
②若EH=EP，则（－a2－4a+5）－（a+5）=（a+5），则a=－或a=－5（舍）
∴P（－，0）或（－，0）．
19．如图所示，由条件可得抛物线上两点的坐标分别为M（，4），N（2，），
设抛物线的表达式为y=ax2+c，则
解这个方程组，得
∴y=－x2+，当x=0时，y=，
∴C（0，），OC=．
当y=0时，－x2+=0，解得x=±．
∴A（－，0），B（，0），AB=．
所以，抛物线拱形的表达式为y=－x2+．
隧道的跨度AB为m，拱高OC为m．
20．（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c．
根据题意，得 ，解得
即y=－x2+6x－3=－（x－3）2+6．
∴抛物线的对称轴为直线x=3．
（2）解得点B（3+，0）．
设点P的坐标为（3，y），如图，
由勾股定理，得BP2=BC2+PC2，
即BP2=（3+－3）2+y2=y2+6．
∵L与x轴的距离是，
∴y2+6=（）2，解y=±．
∴所求点P为（3，）或（3，－）．
21．（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，根据题意得，解得
∴所求抛物线的解析式为y=－x2+4x+5．
（2）∵C点坐标为（0，5），∴OC=5，令y=0．
则－x2+4x+5=0，解得x1=－1，x2=5．
∴B点坐标为（5，0），∴OB=5．
∵y=－x2+4x+5=－（x－2）2+9，
∴顶点M的坐标为（2，9）．
过点M作MN⊥AB于点N，则ON=2，MN=9．
∴S△MCB=S梯形OCMN+S△BNM －S△OBC =×（5+9）×2+×9×（5－2）－×5×5=15．
22．（1）∵A（0，1）．
∴B点纵坐标为1，1=x2，x≥0，x=1，B（1，1），AB=1．
C点纵坐标为1，1=x2，x2=4，x≥0，x=2．
C（2，1），BC=1，∴AB：BC=1：1．
（2）D点的横坐标为2，D在y=x2上，则D（2，4）．
E点的纵坐标为4，E在y=x2，则E（4，4）．
过O（0，0），B（1，1）的直线解析式为y=x．
E（4，4）在这条直线上，所以O，B，E三点在同一条直线上，并且直线解析式为y=x．
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