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高考数学题中最大值、最小值的求法及应用

高考数学题中求最大值和最小值问题是经常出现的，分析其解法并归类总结有助于迅速地解答考题。
1、 三角函数类求最大值和最小值问题及应用，其方法是将三角函数的代数和化为一个三角函数讨论，即
。
例1、当函数 （）取得最大值时， 。
解答：，或
，
例2、在中,已知内角,边,设内角,周长为,(1)求函数的解析式和定义域；(2)求的最大值
解:(1),，
由正弦定理，

当, 即时取得最大值,最大值为.
例3、为了得到函数的图像，只需把函数的图像（ ）（A）向左平移个长度单位（B）向右平移个长度单位（C）向左平移个长度单位 （D）向右平移个长度单位
解：考虑取最大值时，令 则， 又令 则， 向右平移，选(B)
例4、函数的图像向右平移个单位后，与函数的图像重合，则
解：令，， , (考虑取最大值)
又令，（向右平移）
，，。*
例5、设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于（C）
（A） （B）3 （C）6 （D）9
解答：考虑的最大值，，，又向右平移，则，，，，，故选C。
例6、 若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为（ B ）
（A）1 （B） （C） （D） 2
解答：=， 当时取最大值.即 ，故选（B）。
例7、的内角的对边分别为，已知
（1）求；（2）若，求面积的最大值。
(1)解法1：由已知及正弦定理 得 ① ………2分
又
由两角和公式可得： ②………4分
由①，②两式可得 ………6分
A
B
C
c
b
a

*解法2：由题意得：
① ①
又由三角函数知识可知： ②………4分
由①，②两式可得：
………6分
（2）解：

………9分
又

时， 的最大值为，
2、利用均值不等式，
“=”成立，等求最大、小值，并证明一类不等式。。
例1、的内角的对边分别为，已知
若，求面积的最大值。
解：由1的例5，解得，
的面积
由已知及余弦定理得：，
又
面积的最大值为。
例2、已知，为圆：的两条相互垂直的弦，垂足为，则四边形的面积的最大值为 5
解：四边形面积

即求最大值
设，分别为，中点，则有
， ，
则 ，

例3、设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与相交于点，与椭圆相交于、两点．
（1）若，求的值；（2）求四边形面积的最大值．
解：（1）过，的椭圆方程
直线方程，的方程
设
则，

由

（2）设到的距离为,
到的距离为，
或
四边形的面积为：

当等式成立，最大值为.
解法二：由四个三角面积之和

，
当时，即时，等式成立，最大值为.
例4、设均为正数，且，证明：
（1）； （2）
(1)证明：由 ………2分
由题设得即
所以， 即 ………5分
(2)证明1： ………7分

即 ………10分

证明2：
………7分

又

即 ………10分
例5、已知抛物线的焦点为，、是抛物线上的两动点，且（），过、两点分别作抛物线的切线交于点. 证明为定值，设，求其表达式及最小值。
证明：设，， ，，
则过点的切线方程为 ，即 （1）
过点的切线方程为 ，即 （2）
联立方程（1）（2），得，，即
又，，即
则有 ，，因为，
解之得 ，，，从而
，
所以，
又由，再由抛物线的性质有：
，
，
故有：，即。
3、有一类求最大、小值问题往往是由特殊图形、特殊函数或特殊形式构成，若能大胆预测其形式，出奇制胜，会起到事半功倍的效果。
例1、设函数 的最大值为，最小值为，则。
解： ，由于 为奇函数，关于原点对称，其最大、小值之和为，，则。
例2、已知，为圆：的两条相互垂直的弦，垂足为，则四边形的面积的最大值为 5
解： 设，分别为，中点
，
等式成立
则为正方形，（若能预测可简化计算）
，，
，
。
例3、的内角的对边分别为，已知，若，求面积的最大值。
解：由1的例5，解得底边边长固定，顶角固定的三角形面积最大时一定是等腰三角形，由，

例4、在中，已知，则
解：设，则：，即
当时，
注意当时，是等腰三角形，底边上的中线即为底边上的高，时，， ，，，，依此类推，并可推广到底边改变的情形。
例5、设向量、、满足，，，则的最大值等于（A）
（A）2 （B） (C) (D)1
解答：由，，

方法一：由四点共圆，当，取最大值，最大值为2，此时AC为圆直径，可作图表示，故选（A）。
方法二：取夹角的平分线，及的夹角平分线，则四边形分为二个直角三角形，，可作图表示，故选（A）
例6、若变量满足约束条件，则的最小值为( D )
（A）-2 （B）-4 （C）-6 （D）-8
解：依题意，取最小值， 取最大值，,,,.最小值点(-2,2)，选（D）或由图解法，考查可行域三个顶点（-2,-2）(2/3 ,2/3)及(-2, 2),，最小值点（-2，2）选（D）
例7、已知棱长为1的正方体中，点分别是上的动点，且，设与所成的角为，与所成的角为,则的最小值是（ ）。

解：作，则
令，，
故，选。或用特殊值法，由已知的取值范围令，取即得。
例8、已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同，直线的极坐标方程为：
，动点，参数，
求（1）点轨迹的直角坐标方程，（2）点到直线的最大距离。
解：（1）
或：，为点的直角坐标方程，即是一圆心为，半径为2的圆。
（２） 由题意，
直线的直角坐标方程为：，或为：
圆心到直线的距离为：，
故点到直线的距离最大值为。
4、利用导数求函数的极值、最值，并证明一类不等式。
例1、一直正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）
(A) 1 (B) (C) 2 (D) 3
解：设，则， ，
， ，， 选（C）
或用选项求正四棱锥的体积，
（A），
同理可得（B）, (C) =32/3, (D) =6, 选（C）
例2、等差数列的前项和为，已知，则的最小值为（ ）
解：由于是 的函数，
设 ,
，
，设，
取最小值，
，则的最小值为。
例3、已知函数的图像与轴恰有两个公共点，则

解答：依题意图像与轴恰有两个公共点，则或极大值为零，或极小值为零，则，，，
是极大值点，极大值，则
是极小值点，极小值，则，选（A）。
例4、已知函数，则的值域为
解：，得，（舍去，的值域为。

例5、（Ⅰ）设函数，证明：当＞0时，＞0；
（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互补相同的概率为。证明：＜（）19＜。
解：（1）、
当时，，所以为增函数， 又因为
所以，当时，
（2）、 ，由 ，
可得
所以
由（1）知：当时， ，因此
在上式中，令，则，即
所以
（1）的第二种解法：
要证当时， ，只证，进一步只需证明.
令，则
再令，则
所以当时，，故当时，是增函数
又，是最小值，所以当时，，即

所以当时，也是增函数，又，是最小值
因此当时，，即
由此可知当时，
例6、设函数.
（Ⅰ）证明：当时，≥；
（Ⅱ）设当≥0时，≤，求的取值范围.
（I）解法1：当时，，当且仅当
令，则
当时，，在是增函数
当时，，在是减函数
于是在处达到最小值
因而当时，，即
当时，
解法2：当时,

令
则
在是减函数
在是增函数
故：, ∴
（II）由题设，此时
当时，若，则不成立
当时，令，则
当且仅当

当时，由知：

在是减函数，故即
当时，由知

当时，
，即：
综上，的取值范围是
例7、 设函数有两个极值点，，且.
（Ⅰ）求的取值范围，并讨论的单调性；
（Ⅱ）证明：.
解：（I）由题设知，函数的定义域是，

且有两个不同的根 故的判别式
即
且
又故 .
因此的取值范围是
当变化时，与的变化情况如下表：

(,)

()

()

+

-

+

↗
极大值
↘
极小值
↗
因此在区间和是增函数，在区间是减函数.
（Ⅱ）解法1：由题设和知
于是
设函数 则

当时，；
当时，，故在区间是增函数.
于是，当时，
因此
解法2：
设

因 ， 故
所以 ，在单调递减 ，
所以
例8、设其中常数.
（1）讨论的单调性；
（2）若当时，恒成立，求的取值范围.
解：（1）
由知，当上是增函数；
当上是减函数；
当上是增函数；
综上，当上是增函数，上是减函数.

（2）由（I）知，当时，处取得最小值.

由题设知
即 ，解得 .
例9、设,函数
(1)若
(2)若函数
.
解：（1）
由题设
当.
（2）由题设在取得最大值，
则 ，即.
反之，当时，对任意

而.故当时，在最大值为.
例10、已知函数，设，如果过点可作曲线的三条切线.证明：．
证明：因为要，所以此题实际上是曲线外一点可作曲线的三条切线来推证不等式成立，因此与切线方程及相关的问题有关，可通过切线方程来推证.
由曲线在点处的切线方程为可得过点的切线应为，即有，若令．通过求函数的一阶导数并确定其单调区间及极大值与极小值，可得极大值为，极小值为．
若过点可作曲线的三条切线，方程关于必有三个相异实根，此时三次曲线与轴有三个交点，即函数有三个零点.函数有三个零点的充要条件是极大值大于零且极小值小于零同时成立，所以问题得到证明.
若过点可作曲线的二条切线，则方程关于必有二个相异实根，且其中有一个根是二重根，此时三次曲线与轴只有二个交点，即函数有二个零点.则极大值或极小值中有一个为零，而另一个不为零，所以能证明或中的一个不等式成立，则另一个应为等式.若极大值为零，则，；又若极小值为零，则，．
若过点只可作曲线的一条切线，则方程关于只有一个实根，另二个根是一对共轭复根，此时三次曲线与轴只有一个交点，即函数只有一个零点。则应为极大值或极小值，故不等式或仅有一个成立.
对于，同理可证明相应的结论，只是上面各不等式均要反向才成立.
对于此题能通过对函数的极大值及极小值的讨论而证明不等式成立的关键是求出极大值与极小值，而求极大值与极小值又只有通过用导数最准确简便.
例11、已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，且.
（１） 证明
（２） 求的取值范围
解：本题首先利用极值点一定是可导函数的驻点
即满足，则是的两个根

（１）由在处取得极大值，在处取得极小值，对

当时，为增函数，，得.
（2）其次是利用极大、小值和的单调性给定导函数的三个不等式围成一个可行区域，利用线性规划取得最大小值的理论可得函数的取值范围.
由，在，为增函数，在内为减函数，
则有
代入得，，
不等式围成三角形的三个顶点坐标分别为
　　得交点　
得交点
得交点
在，，三点的函数值分别，
即在可行域内最大值为８，最小值为.
故取值范围为
又由于不等式是严格的，故应是开区间.

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