圆的弧长、扇形面积公式.docx

24.4.1弧长及扇形的面积课件说明
新乡市第十二中学 张莉
一、教学目标
1.理解弧长和扇形面积公式，并会计算弧长、扇形的面积
2.在弧长和扇形面积计算公式的探究过程中，感受转化、类比的数学思想。
二、教学重难点
推导弧长和扇形面积公式的过程
三、教学过程
课件展示的本节课是人教版第24章24.4.1节弧长和扇形的面积，本节课的教学目标1.
（一）复习
1、已知⊙O半径为R，⊙O的周长C是多少？
C = 2πR
2、已知⊙O半径为R，⊙O的面积S是多少?
S=πR2
3、什么叫圆心角？
顶点在圆心，两边和圆相交所组成的角叫做圆心角
（二）探索新知：
如图,某传送带的一个转动轮的半径为10cm.
1.转动轮转一周,传送带上的物品A被传送多少厘米?
2.转动轮转1°,传送带上的物品A被传送多少厘米?
3.转动轮转n°,传送带上的物品A被传送多少厘米?
分析：
1.转动轮转一周,传送带上的物品A被传送多少厘米。
即求半径为R的圆,周长是多少？
2.转动轮转1°,传送带上的物品A被传送多少厘米?
即求1°圆心角所对弧长是多少？
3.转动轮转n°,传送带上的物品A被传送多少厘米?
即求n°的圆心角对应的弧长为多少？
弧长公式
若设⊙O半径为R, n°的圆心角所对的弧长为l，则

注意：
（1）在应用弧长公式 l=nπR180 ,进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；
（2）区分弧、弧的度数、弧长三概念．度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等孤，而只有在同圆或等圆中，才可能是等弧．
（三）用一用：
1.例1、制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度L(单位：mm，精确到0.1mm)

解：R=40mm, n=110,
所以由弧长公式可得 弧AB=nπR180
=110×40π180
≈76.8（mm）
因此，管道的展直长度约为76.8mm.
2.想一想
在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上栓着一条长3m的绳子，绳子的一端栓着一只狗。（1）这只狗的最大活动区域有多大？（2）如果这只狗只能绕柱子转过n°的角，那么它的最大活动区域有多大？
解：(1)狗的最大活动区域为
πR2=π×32=9πm2
(2) 狗的最大活动区域是一个扇形，面积是圆面积的n360
所以扇形的面积是nπR2360=nπ×32360=nπ40m2
3.归纳总结
圆心角是1°的扇形面积是多少？
圆心角是1°的扇形面积是圆面积的 1360
圆心角为n°的扇形面积是多少?
圆心角是n°的扇形面积是圆面积的 n360
那么：
如果用字母 S 表示扇形的面积，圆心角为n°，R 表示圆半径，那么扇形面积的计算公式是： S扇形=n360S圆=nπR2360
4. 弧长公式与扇形的面积公式之间的联系：
扇形所对的弧长l=nπR180
扇形的面积是 S扇形=nπR2360=nπR180×R2
S扇形=12lR
温馨提示：
（1）当已知弧长l和半径R， 求扇形面积时，应选用 S扇形=12lR （2）当已知半径和圆心角的度数，求扇形面积时，应选用S扇形=nπR2360
5.例2扇形AOB的半径为12cm，∠AOB=120°,求 弧AB 的长（结果精确到0.1cm)和扇形AOB的面积（结果精确到 0.1cm2 )
解：弧AB=120180π≈25.1(cm)
S扇形=nπR2360=120360π×122≈150.7(cm2)
因此，弧的长约为25.1cm,扇形AOB的面积约为150.7 平方厘米 .
（四）练一练
小练习
1.扇形面积大小（ ）
(A)只与半径长短有关 (B)只与圆心角大小有关
(C)与圆心角的大小、半径的长短 有关
2.一个扇形的圆心角为90o，半径为2，则弧长= ，扇形面积= 、
3.如果一个扇形面积是它所在圆的面积的 18 ，则此扇形的圆心角（ ）
(A)300 (B)360 (C)450 (D)600
随堂练习
1.已知扇形的圆心角为120o，半径为6，则扇形的弧长是 （ ）
A. 3π B.4π C.5π D.6π
2.圆心角为60°的一条弧长度是5 ,则该弧的半径是( )
3. 一个扇形的弧长为20πcm，面积是240πc㎡，则该扇形的圆心角为（ ）
巩固提高
1.如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积。（精确到0.01cm）

解：如图，连接OA、OB，作弦AB的垂直平分线，垂足为D，交 弧AB 于点C．
∵OC＝0.6，DC＝0.3,
∴OD＝OC－DC＝0.3.
在Rt△OAD中，OA＝0.6，利用勾股定理可得 AD=0.33
在Rt△AOD中，OD=12OA
∴∠OAD＝30°
∴ ∠AOD＝60 °，∠AOB＝120°
∵OC＝0.6 OD＝0.3.
∠AOB＝120° AB=0.63
有水部分的面积
S= S扇形OAB-S∆OAB
=120π360×0.62-12AB×OD
=0.12π-12×0.63×0.3
≈0.22（cm2）

2.如图，⊙A、 ⊙B、 ⊙C、 ⊙D两两不相交，且半径都是2cm，求图中阴影部分的面积。

解：因为圆的半 径相同都是2厘米，四边形的内角和为360°
所以：S=4×π×22-π×22
=12π

3.如图，正三角形ABC的边长为a，分别以A、B 、 C 为圆心，以 为半径的圆相切于点D、E、F，求图中阴影部分的面积．

解：连接AD，则AD⊥BC, 垂足为D , 根据勾股定理，得
AD=AB2+BD2=a2-（a2）2=3a2
S∆ABC=12BC×AD=12a×3a2=3a24
S扇形BDF=112a2π
又知，S扇形BDF=S扇形CDE=S扇形AEF,
S阴影=S∆ABC-3S扇形=34a2-3×a2π12=3a24-a2π4
(五)总结
1. 扇形的面积大小与哪些因素有关？
（1）与圆心角的大小有关
（2）与半径的长短有关
2. 扇形面积公式与弧长公式的区别：l=nπR180
S扇形=n360S圆=nπR2360
3.在所学的公式中，存在L、R、n、S四个量，我们只要知道其中两个就可以求得其它两个。
4.扇形面积单位与弧长单位的区别：
（1）扇形面积单位有平方的
（2）弧长单位没有平方的