专题--数列求和的基本方法和技巧.doc

数列求和的基本方法和技巧
一、利用常用求和公式求和:利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
1、 等差数列求和公式：
2、等比数列求和公式：
3、 4、 5.
[例1] 已知，求的前n项和.
解：由
由等比数列求和公式得 （利用常用公式）
＝＝＝1－
[例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.
解：由等差数列求和公式得 ， （利用常用公式）
∴ ＝ ＝＝
∴ 当 ，即n＝8时，
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·　bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.
[例3] 求和：………………………①
解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积
设………………………. ② （设制错位）
①－②得 （错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：
∴
练习.求数列前n项的和.
三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.
[例5] 求证：
证明： 设………………………….. ①
把①式右边倒转过来得
（反序）
又由可得
…………..…….. ②
①+②得 （反序相加）
∴
练习求的值
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
例. 求数列的前n项和：，…
解：设
将其每一项拆开再重新组合得
（分组）
当a＝1时，＝ （分组求和）
当时，＝
练习. 求数列{n(2n+1)}的前n项和.
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1） （2）
（3）
（4）
(5)
[例9] 求数列的前n项和.
解：设 （裂项）
则 （裂项求和）
＝ ＝
练习.在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.
六、合并法求和
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.
[例13] 数列{an}：，求S2002.
解：设S2002＝
由可得

……

∵ （找特殊性质项）
∴　S2002＝ （合并求和）
＝

＝＝＝5
练习 在各项均为正数的等比数列中，若的值.
练习 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.

七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.

[例15] 求之和.
解：由于 （找通项及特征）
∴
＝ （分组求和）
＝
＝
＝

4