因式分解(第一课时).doc

4.1 因式分解
树德中学光华校区 冯平娜
【教材分析】
本节是北师大版数学教材八年级下册第四章第1小节，占一个课时。因式分解是整式的一种重要恒等变形，它和整式乘法运算有着密切的联系，在以后的代数学习中有着重要的应用，如：分式的化简与运算，解一元二次方程（不等式）以及二次函数的恒等变形等。学生已有的因数分解，整式的乘法运算的学习经验是本节课学习的基础。
【学情分析】
学生已经熟悉乘法的分配律及其逆运算，并且学习了整式的乘法运算，因此，对于因式分解的引入，学生不会感到陌生，它为今天学习分解因式打下了良好基础,但由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维对于八年级学生还比较生疏，接受起来还有一定的困难。
【教学目标】
1..经历几何图形解释因式分解的意义的过程，发展几何直观
2.了解因式分解的意义，初步体会因式分解与整式乘法的联系
3.感受因式分解在解决相关问题中的作用
【教学重难点】
教学的重点：因式分解的概念；
教学的难点：认识因式分解与整式乘法的关系，并能意识到可以运用整式乘法的一系列法则来解决因式分解的各种问题．
【教学准备】 演示纸片
【教学设计】
一.基本流程：
情景引入
问题探究
归纳新知
应用巩固
课堂小结，作业布置

二.教学过程：
教学内容
教师活动
学生活动及预设
设计意图
1、 情景引入：
如图所示有一张卡纸，其中大正方形的边长为15.75厘米，减去的小正方形边长为4.25厘米，你能计算卡纸的面积吗？

师：结果是多少？

师：你比其他同学要算得快，你是怎么算的呢？
师：很棒！通过把左边的平方差通过公式化为右边乘积的形式，明显简化了运算.
生：23

生：我没有直接运算，而是化了一步：

激活学生原有认知中的因数分解，在简化的过程中体会分解的必要，激发学生学习这种方法的欲望.
教学内容
教师活动
学生活动及预设
设计意图
情景再思考：
你能把刚才的卡纸只剪一刀拼成一张长方形卡纸吗？

把其中的具体数换为一般字母
师：同学们利用剪刀和袋子里的黄色卡纸，操作一下.

师：用刚才的剪拼说明上面的运算变形吗？

师：同学们刚才从算式和图形两个方面说明了简化的过程，我们把其中的具体数换为一般字母。
动画展示拼图过程
图形如图，符号算式为

师：它与平方差公式是什么关系？
师：它左右两边的运算分别是什么？
师：它就是本节要学习的因式分解.
生：黑板上展示拼图

生：上面算式的左边是大正方形面积减去小正方形面积，变形的一步即是转化为拼接后大矩形的面积，其中长、宽分别为和,剪拼前后面积是相等的.
（拼图答案多种，选其中一种来说明理由即可）

生：互逆（相反）
生：左边是差、右边是乘积的形式.
在剪纸中体会算式的几何背景，调动起学生学习的热情，并且更直观的呈现因数分解到因式分解的几何特征。
2．1探索新知
想一想
思考1：你能将下列式子改写成整式乘积的形式吗？

思考2：变形是否正确？你能说清楚理由吗？
师：我国著名数学家华罗庚先生曾经说过这样一句话：数缺形时少直观，形少数时难入微;数形结合百般好，隔离分家万事休。其中一层含义就是讲在研究代数问题时，如果借用图形，往往让我们的研究更直观.比如我们用函数图像解决函数问题，用数轴解决不等式问题等等，都体现了数学结合思想。
师：可以联想到什么几何知识？
师：利用面积的知识进一步验证这三个恒等式.

生：整式乘法运算。

生：第一个是乘法分配率
第二个可以由完全平方公式.
生：第三个式子可以将右边用整式乘法.
（大多数学生对于第三个式子是不知道如何填写的，可能会有学生写成）.

生：正方形的面积。
引导学生从代数角度去验证所得到的恒等式。初步体会因式分解和乘法公式之间的关系。
教学内容
教师活动

学生活动及预设
设计意图
2.2探索新知
拼一拼

师：小组巡视，给予指导。
师：请小组成员，拼好图后，在学案上填写完整，并给组员讲解从几何角度为什么恒等式成立，让组内每个同学理解。

师：教师PPT动态展示拼图过程.
生：
（注意引导在拼图的过程中哪些几何量没有发生变化）

生2：利用准备好的纸片拼图，并展示自己的拼图过程可以得出

以拼图前后面积不变的方式，丰富学生对因式分解的理解，形象地说明因式分解是整式的恒等变形，有助于发展学生的几何直观，对学生的思维发展具有实际价值。

进行小组内互讲，目的是鼓励生生之间的学习交流。

2.3归纳新知

师：观察，这三个式子，从左往右边变形的过程中，式子的形式有什么相同点。

生：式子的左边都是多项式，式子的右边都是整式乘积的形式。（代数式的角度）
预设：学生有可能给出左边都是加减运算，右边都是乘除运算。（运算的角度）

培养学生观察归纳的能力
3.1
定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式。

教学内容

师：观察的很到位，像这样把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。

师：齐读一遍，把定义中的关键词读出重音来。并在板书上用红笔勾画出关键词.
教师活动

生：记录笔记
生：齐声朗读定义
（若学生未能读出重音，教师可以带领示范一遍）

学生活动及预设

探究概念本质属性

设计意图
辨一辨.
下列从左边到右边的变形，哪些是因式分解？

3.2升华知识，认清本质
1、利用整式乘法计算下列各式：

2、根据上面的算式,对下列各式进行因式分解：

3、从运算角度比较因式分解与整式乘法的区别与联系，并完成下表：
变形名称
区别
联系
等号左边
等号右边
因式分解

整式乘法

教学内容

师：有了概念，我们就可以去鉴别哪些变形属于因式分解了

师：（小结）)根据学生的回答，强调（1）多项式（2）积的形式（连乘形式）（3）整式（4）分解要彻底（5）恒等变形
（教师板书注意事项）

师：因式分解是否正确可以通过整式乘法进行验证，那因式分解和整式乘法之间有什么样的区别与联系呢？

师：投影展示
（直接批阅）

师：运算角度去比较因式分解与整式乘法的区别与联系，完成表格

师：观察到位，整式乘法和因式分解是互逆的恒等变形。因式分解是和差化积，整式乘法是积化和差。（板书）

教师活动

预设：对于（1）学生可能忽略因式分解的对象是多项式；对于（2）问题应该不大；对于（3）强调整式；对于（4）按照定义是因式分解，但要求今后同学在因式分解时一定要分解要彻底（5）容易发生错误判断，强调因式分解是一种恒等变形，可以通过计算验证。

预设：这几个题目比较基础，学生容易完成，鼓励为主

生：相反的（互逆的）

学生活动
在概念形成的初始阶段，反例有利于辨别概念、“纯洁”概念

认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系，体会整式的乘法运算帮助我们检验因式分解正确与否。

设计意图
4.智勇大冲关
4.1连连看

师：常言道：纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行.我们先玩一个“游戏”——连连看
预设：比较容易地给出正确答案

让教师能全面了解学生对因式分解意义的理解是否到位，以便教师能及时地进行查缺补漏．
4.2例题解析
例题：若关于的多项式可以分解为，求的值。

练习：若分解因式，则的值为多少？
师：“可以分解为”怎么理解？因式分解是怎样的一种变形？

师：板书过程

师：留出时间给学生独立练习，调查错误率，留意错误解法，引导学生点评
生：说明两个式子相等

预设：学生能够较好地完成，可能出现计算问题，
或者在合并同类项时由于有多个字母，可能出现错误合并，导致无法得到正确答案，适当提醒，整理为关于的多项式

进一步体会因式分解与整式乘法的关系，并利用此关系

5.课堂小结
知识上：什么是因式分解？要注意什么问题？它与整式乘法的关系式互逆的。
思想方法上：类比思想，数形结合等

师：今天的学习你有什么收获呢？
生：我今天知道了什么是因式分解以及它和整式乘法的关系。
预设能说出一些自己的感受，但更多的是从知识层面上的总结，思想层面上的总结还需要教师的适当引导或者直接进行总结

培养同学总结反思的习惯
6.独当一面
（1）教材94页1-5题
（2）你能为式子设计一个拼图吗？你是怎么想的？
师：布置作业，如果时间足够，可以和学生一起探讨下作业（2）如何思考
生：认真完成作业，并积极动手制作拼图

巩固知识，培养能力
7. 板书设计 4.1因式分解
1. 定义： 例1
注意：（1）分解要彻底（2）恒等变形
2.因式分解与整式乘法的关系

四.教学设计反思 传统教学中，总是先介绍因式分解的定义，然后通过大量的模仿练习来强化学生对因式分解概念的记忆与理解，在新课程的教学中，课标对因式分解的要求是了解，它把因式分解作为培养学生逆向思维、全面思考、灵活解决矛盾的载体．通过这样的设计，能较好地落实教学目标，尽管不一定马上显露出强劲的优势，甚至可能因为强化练习较少，在短时间内，学生的成绩比不上传统教法的学生成绩，但从长远看来，这种对数学本质的训练会有效地提高学生的数学素养，培养出学生对数学本质的理解。
6