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转化方法在初中数学教学中的运用

【摘要】：转化方法就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段，将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法。通常情况下，总是将一个陌生、繁琐的问题转化为熟悉、明了的问题来处理, 每一个具体问题如何去实现这种转化，关键是找到正确、合理的转化途径。长期来，我经常与学生交流（主要在课堂上），交流的方式是对话，喜欢问，“你是怎样想的？”对学生遇到有一定难度问题的分析，可以通过类比转化、联想转化、对称性转化几种途径来解决，使我能较好的把握教学的对象、难度、梯度，关注学生在解决问题之前的思考过程，引导学生探究问题转化方式，培养学生的问题转化能力。
【关键词】： 问题 转化 初中 数学 运用
一、 问题提出
转化方法在中考中占有十分重要的地位，因为数学问题的解决总离不开转化，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等。各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中，因此说转化思想是数学思想的核心和精髓，是数学的灵魂，它是最重要的，应用最广的数学思想，下面就转化思想在初中数学解题的应用作些探讨。
教师讲课时切忌自己讲自己的，而不关注学生听课情况，讲课时，很少关注学生中哪些人在专心听讲，多少人没有理解，他们有些什么样的想法。平时，我经常听到学生这样反应：上课听老师讲课，听得很懂，但到自己解题时，总感到困难重重，无从下手。事实上，有不少问题，学生感觉解答困难，并不是因为这些问题的解答太难以致学生无法解决，而是学生的思维形式与具体问题的解决存在着差异，也就是学生的数学思维存在着障碍，如何帮助学生消除这个障碍，是我们每一位数学教师必须思考的问题，也是目前我们数学教师必须去解决的问题，所以本文就如何引导学生探索问题转化的方法谈谈自己的一些做法。
二、问题转化本质
要求（证）“什么”，必须先知道“谁？”，而要知道“谁”，又要求（证）“什么”？如此反复思考，最终把问题转化为已知条件或定义、定理、公式、性质等，即把深层次问题转化为浅层次问题----化未知为已知、化繁为简、化难为易、化动为静、化抽象为具体等。问题转化是一种思维方法，就是将一个生疏、复杂的问题转化为熟知、简单的问题来处理。
我对一些学生普遍认为比较难的试题作了仔细分析，发现这些题并非想象的难，它们都可以通过问题转化来解决，简单地说考查了学生数学问题的转化能力。学生思维产生障碍的根源在于：
1.审题能力、深层次分析问题能力欠缺；
2.对实际问题，应对能力不够，不会把问题进行转化、变通；
例1. 计算
分析   方法1：将边长为1的正方形割取一半；第二次再将余下矩形割取一半……依此分割（如图），可以看出每次割取的部分（矩形）与余下的部分（矩形）面积相等。那么割取的各部分矩形面积之和应等于正方形的面积1减去最后一次余下的矩形面积。即

   ……  ①
 方法2：将长为1的线段截取一半；第二次再将余下线段截取一半……依次截取（如图），这样每次截取的线段长与余下的线段长相等，则截取的各线段长度之和等于原线段长度1减去最后一次剩余线段的长度（计算如上式①）

（本题也可以用换元法来解：设……①  两边都乘以2得……②        ②-①得 ）
3.没有充分暴露学生解决问题时的思维过程；
4.缺乏对数学本质问题的理解。
E
D
C
B
A

例2. 如图，C为线段BD上一动点,分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC.已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x.
(1) 用含x的代数式表示AC＋CE的长；
(2) 请问点C满足什么条件时,AC＋CE的值最小?
(3) 根据(2)中的规律和结论,
请构图求出代数式+的最小值.
对做例2的调查分析：（初二50名学生）

第（1）小题
第（2）小题
第（3）小题
考查方法
数形结合
形的问题→数的问题,
数形结合
数形结合
数的问题→形的问题，
答案
+
当A、C、E三点共线时,AC+CE的值最小。
最小值13.
正确率
80%
64%
38%
说明学生对形转化为数感觉比较容易，数转化为形比较困难，即学生对图形语言转化为符号语言比较容易接受，对符号语言转化为图形语言比较难以想象，主要是缺乏对式子+的本质意义的理解和缺乏数学建模能力的训练。
三、问题转化途径
复杂的问题如何转化为简单的问题，陌生的问题如何转化为熟悉的问题，象这样的每一个具体问题如何去实现这种转化？关键是如何寻找正确、合理的转化的途径。教学中我们可以尝试的一般有两种转化途径：联想转化与类比转化。
1.联想转化
平时我们经常利用数形结合思想，把数和形结合起来考察，把图形问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形问题，其实这是一种联想转化，因为我们可以找到它们的结合点，有一种特定的联系，如下面问题的解答我们可以通过图形之间的联系得到解决。
例3.以人教版七年级（下）课后作业题中的造桥选址问题引出：如图在AB之间有两条河，则两条河上的桥（桥与岸垂直）分别建在何处才使A到B的路程长最短？①河1与河2平行 ②河1与河2不平行 ③河1与河2垂直
分析：以①为例，此题利用作业题中的造桥选址问题进行类比联想，设法将两条河都转化为有宽度的直线，即将A向下平移河1的宽度至A1，将B向上平移河2宽度

至B1，连结A1、B1，交两河于C、E，再作垂线段CD、EF，即为所求作的两座桥。通过平移在河上造桥问题也就转化为在直线上找点的问题了，由“两点之间线段最短”可知两直线的交点就是该点的位置。②、③两题的作法同理。
由上几例的计算、证明和作图中，我们不难发现平移变换常与平行线相关，往往要用到平行四边形的性质；平移变换还可将角、线段、图形等移到适当的位置，使得分散的条件相对集中，便于我们运用公式、定理等来解决问题。
利用联想转化，可以发展学生的思维，有利于学生创新能力的培养。
联想转化使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案。我们平时经常将代数问题转化为几何问题，几何问题转化为代数问题，函数问题转化为方程问题，方程问题转化为函数问题等。
2.类比转化
初中数学，有许多概念或定理就是通过类比来学习的，类比，有纯知识的一种迁移叫类比，还有一种就是方法上的迁移也是类比，顾名思义就是同类的比较学习或者说相似的知识可以有相同的本性。在教学的处理过程中，如从代数，几何图形之间进行类比转化突破难点。
例4.（2012•河南）、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G．若 =3，求的值．

（1）尝试探究
在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是_______________________ ，CG和EH的数量关系是_______________________，
的值是_____________________.
（2）类比、延伸
如图2，在原题的条件下，若 （m ＞0）；则的值是__________ （用含有m的代数式表示），试写出解答过程．
（3）拓展迁移
如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的延长线上的一点，AE和BD相交于点F．若 =a, =b (a＞0,b＞0),则的值是 ___________________（用含a、b的代数式表示）．
“类比和转化”是人们思维过程中最常用的方法，它的基本作用在于根据题设条件，把不熟悉的问题转化为已知的熟悉问题，通过类比，寻找解决问题的入口处，把握类比双方的区别，从而看是否能转化。进而达到解决问题之目的，正如法国哲学家康德说的“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进。”因此，在教学中加强对学生的类比，转化的训练是十分必要的。
3.对称性转化
我们在解题时应当充分利用问题自身条件的某些对称性分析问题，在探究几何及代数式的最值方面有广泛的应用。牛饮水、弹子游戏、平面成像、光线的反射、斯诺克台球（可通过撞击桌壁的一边、两边、三边来击中另一个球等），利用图形的轴对称性是解决此类问题的主要工具，由于这些问题比较常见，这里不再赘述。下面通过一个例子来说明平移、轴对性和线段公理综合运用的一个模型。
例5．如图在平面直角坐标系中，A(2,3),B(5,-2),M、N是在x轴上，P、Q是在y轴上，MN=PQ=1（M在N的左侧，P在Q的上方）求下列路径的最小值。① ② ③分析：①题就是牛饮水问题，即在Y轴上选一点P，使得AP+PB最小。如图2，作A关于Y轴的对称点A＇，连结A＇B交Y轴于P，所以最短路径长为A＇B=②题如图3，因为MN是定长1，于是把B向左平移1个单位长度，可类似的想象成M、N缩成了一点，所以又转化为①题，在Y轴上找一点P，使得AP+PB＇最小，最短路径长为A＇B＇+MN= ③如图4，与②类似，PQ为定长1的线段且在Y轴上，只需作A的对称点A＇并将其向下平移一个单位，转化为求A"与B之间的最短距离，所以可得最短路径为A"B+PQ=+1

此模型赋予它具体的背景就可以用来解决例如以下的实际问题：如图河岸L同侧有A、B两个居民小区，现计划在河边建一个长a米宽b米的矩形公园（公园用CDEF表示，DE边与河岸重合,CF=a米,CD=b米）C、F处分别是公园的大门(门口宽度忽略不计),怎样建才能

使小区A到大门C的距离与小区B到大门F的距离之和最小?
解析：因为公园一边与河岸重合，所以对边在平行于河岸且与河岸的距离为b的直线上，所以将L向上平移b米距离得L1，将B向左平移a米距离至B1，按牛饮水的作法找到C，再将C向右平移a米距离即为F，过C、F分别作L的垂线，垂足分别为D、E，则CDFE即为所建的矩形公园，连结AC、BF，满足AC+BF最小。
利用联想转化、类比转化、对称性转化，有利于学生将知识迁移转化为能力培养，将纯知识的传授转化为方法策略的渗透和掌握。
四、实际问题转化
问题转化是解决复杂问题的一种很有力的工具，在解题中，我们熟悉和掌握这一工具能使问题快速解决。对于实际问题，我们可以建立数学模型，把实际问题转化为数学问题。中学数学教学中，问题转化的应用不光体现在代数、几何中，在概率统计研究中，也可以进行图表的相互转化。
例6. A、B、C三名大学生竞选系学生会主席，他们的笔试成绩和口试成绩（单位：分）分别用了两种方式进行了统计，下表一和图一：
表一

A
B
C
笔试
85
95
90
口试

80
85
图一
100
95
90
85
80
75
70
分数/分
竞选人
A
B
C
笔试
口试

（1）请将表一和图一中的空缺部分补充完整.
（2）竞选的最后一个程序是由本系的300名学生进行投票，三位候选人的得票情况如图二（没有弃权票，每名学生只能推荐一个），请计算每人的得票数．
图二
B
40%
C
25%
A
35%
（3）若每票计1分，系里将笔试、口试、得票三项测试得分按4：3: 3的比例确定个人成绩，请计算三位候选人的最后成绩，并根据成绩判断谁能当选．
分析：（1）表与图相互转化，
（2）图转化为数，
A：300×35﹪=105 B：300×40﹪=120 C：300×25﹪=75

（3）概率统计问题转化方程问题。
A： =92.5（分） B： （分）
C：=84（分）∴B当选
在许多决策过程中需要的数据,需要通过亲自调查的方法来获得数据.也反映出数据某种程度上可以转化为决策。
五、问题转化能力的培养
其实很多数学试题注重了数学本质问题的考查与学生学习能力的考查，学生数学问题转化能力强，则此学生的数学学习能力自然也就强了。通过对试题的分析，让我深刻感悟数学问题转化的重要性，学生学习知识与能力培养接轨的紧迫性。我们在平时的教学中怎样培养学生的问题转化能力？
1. 提供问题转化研究氛围
在课堂教学中，充分尊重每位学生在解题中的各种想法，教师要最大限度地提供问题转化研究的氛围，在学生自身“再创造”的活动中构建数学知识，创造各种机会让学生独立分析问题，鼓励学生多提出问题、多从不同的角度去思考问题，从而让学生发挥自己的独立性，养成良好的学习习惯，掌握主动学习的方式，提高独立解决问题的能力。
2. 重视学生的思维过程
对学生来说“做题”、“作业”、“问答”、“提问”都是思维训练的机会。教师在处理这些问题时，容易忽视考察学生在作出答案或结论之前的思维过程，往往使得知识的形成过程受到高度压缩,学生不注重理清知识的来龙去脉,忽视分析、探索过程，结果造成学生思维空间狭小、思维闭塞,致使生搬硬套结论，采用题海战术,甚至机械模仿套路与模式。教师必须重视学生的思维活动，教学过程中要充分暴露学生错误的想法。思维的训练和发展是以暴露思维过程为前提的,学生的思维能力是在暴露的过程中得到锤炼和提高的。
3. 引导学生探索问题的方法
“要什么，求什么，给什么，用什么”是基本的解题思路和解题模式，而从“无”到“有”的挖掘过程，则调整了思维的角度，是一个创造性的解题过程。在解题的过程中，无论是“用”还是“创”，都要求解题者有敏锐的观察力及创造性思维的能力，能够从新视角、新方法、新设计、新观念去研究问题、发现问题，从而解决问题，引导学生挖掘从“无”到“有”的规律，提高学生从“无”到“有”的能力，是我们面临课程改革的一项重要任务。
例7.如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，E为BC上一点，
且△ABE 与以C、D、E为顶点的三角形相似。
（1）若BC=8，AB=3，DC=4，求BE的长；
（2）若BC=4，AB=3，DC=4，求BE的长；
（3）若BC=6，AB=3，DC=4，求BE的长；
（4）请对以上结果的原因进行分析。
分析：前三小题，可设BE为x ，学生通过列比例式把几何问题转化为代数问题，即把求BE的长度问题转化为解关于 x的方程问题，并进行分类讨论。

若 ∠1 = ∠3 若∠1 = ∠2 若∠1 = ∠3 若∠1 = ∠2

=2，=6

第（4）题就是培养学生的发散性思维，对前三题为什么会有两种情况以及
什么时候BE出现3个答案，2个答案，1个答案用图形语言来描述很清晰，引导
学生把数、式的问题转化为形的问题,同时揭示本题的几何意义。
a:当∠1 = ∠2时，有，或，或这些方程均可以转化为一次方程，一般有唯一解，可以通过光路图中体现。
b:当∠1 = ∠3 时，有或，或 ，这些方程均可以转化为一元二次方程，解的个数可以通过画以AD为直径的圆与BC的交点个数决定。
数学学习过程是一种复杂的心智活动过程，应强调学生自主的学习体验和解决问题经验的积累。教师分析得再好，讲解得再精彩，也只是停留在教师层面上的认识过程，要内化为学生的认识过程，更要善于将静态的数学知识转化为学生动态的数学思维，平时加强对学生观察、分析、迁移、反思、创新能力的培养，关注知识的生长点，引导学生揭示数学本质问题，学会问题合理转化，构造学生的认知结构，注重学生创新思维的培养。
数学问题转化贯穿于数学解题的始终，它具有灵活性和多样性的特点，没有统一的模式可遵循，问题内部结构和相互之间的联系，决定了处理这一问题的方式、方法，因此我们在平时的教学中，利用动态思维去寻找有利于问题解决的变换途径和方法，把学习内容问题化、数学化，要充分揭示问题的内部联系，展示学生问题转化时的思维过程，正确引导学生探索问题转化方法，发展学生问题转化能力，提高数学解题技巧。
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