由数到形的解题方法.docx

编号
2016110309
研究类型
应用数学
分类号
C44

湖北师范学院文理学院

本科毕业论文（设计）

论文题目
由数到形的解题方法--以2014，2015年高考题为例

作者姓名
黄高品
指导老师
余盛利 教授
所在院系
文理学院
专业名称
数学与应用数学
完成时间
2016年5月15日

中文题目： 由数到形的解题方法
外文题目： The method of solving the problem by the number of the number
学生姓名
黄高品
学生学号
2012311010309
院系专业
数学与应用数学
学生班级
1203

学 生 承 诺
我承诺在本科毕业论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，本人本科毕业论文（设计）内容除特别注明和引用外，均为本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的情况。如有违规行为，我愿承担一切责任，接受学校的处理。
学生（签名）：

年 月 日

指导教师承诺

我承诺在指导学生本科毕业论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪守学术道德规范，经过本人核查，该生本科毕业论文（设计）内容除特别注明和引用外，均为该生本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的现象。

指导教师（签名）：

年 月 日

目录

由数到形的解题方法  1
前言  1
1、“数”形化的解题方法 1
1.1、集合问题的解题方法 1
1.1.1、利用数轴的解题方法 2
1.1.2、利用韦恩图的解题方法 2
1.2、函数问题的解决方法 2
1.2.1、利用函数图像的解题方法 3
1.2.2、利用方程的曲线的解决方法 3
2、“形”数化的解题方法 4
3、“数”“形”结合的解题方法 6
3.1集合中的“数”“形”结合解题方法 6
3.2、几何中的“数”“形”结合的解题方法 7
3.3概率中的“数”“形”结合的解题方法 8
4、运用数学结合的方法解题过程中应该注意的问题 10
4.1、等价性原则 10
4.2、注意图形的全面性 10
5、总结 11
参考文献： 12

由数到形的解题方法——由2014，2015年高考题为例
黄高品（导师：余盛利）
湖北师范学院文理学院 中国 黄石 435002
摘要：数学是研究现实世界“空间形式”和“数量关系”的一门科学，也就是研究“数”与“形”的一门学科。数学分为两部分，一部分是几何，另一部分是代数。在几何学当中，有些图像是没有办法画出来的，而代数却可以用符号文字表达出来；在代数学当中，有些问题十分抽象，几何画图可以将问题具体化、形象化。因此，在解决数学问题是经常把“数”和“形”结合起来进行解决的。而在高考当中数学解题一般分为“数”形化，“形”数化，以及“数”“形”结合。
关键字：数，形，数形结合，解题方法

The method of solving the problem by the number of the number ——A case study of the 2014，2015 year college entrance examination
Huanggaopin（Tutor：yushengli）
Hubei Normal University College of Arts and Sciences Chinese Huangshi 435002
abstract ：Algebra, mathematics is the study of the real world "spatial form" and "number" of a branch of science is the study of "number" and "form" of a discipline. Mathematics is divided into two parts, one part is geometry, the other part is algebra. In geometry, some of the image is no way to draw out, and can use symbols written expression. In algebra, some problem is very abstract, geometric drawing can be specific problems, visualize. Therefore, in solving mathematical problems is often the "number" and "form" together to solve. In the college entrance examination in mathematics problem solving in general is divided into "number" and "form" and "number shape combination.
Key words: number shape number shape combination Problem Solving Strategies

湖北师范学院文理学院2012届数学与应用数学毕业论文（设计）
由数到形的解题方法 
1、前言 
  在运用数学思想解题中，有一类思想是体现基础数学中的具有奠基性和总结性的思维成果，这些思想可以称之为基本数学思想。解题方法中运用到的基本数学思想包括：分类讨论的思想、数形结合的思想、变换与转化的思想、整体思想、函数与方程的思想、抽样统计思想、极限思想等等。在中学解题中，许多题的解题方法中都透露出了数形结合思想。如果能使它落实到学生学习和运用数学的思维活动上，它就能在发展学生的数学能力方面发挥出一种方法论的功能。
一直以来数与形就是两个不可分割的对象，他们在一定程度上可以相互转换，我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非”，即数形结合在一起好处很多，而独立分开却会带来很多麻烦，从这可以看出数与形的基本性质，数与形是不可分割的，数形结合在实际问题中是紧密结合在一起的。而数形结合主要是指数与形之间的一一对应关系。例如函数图象与函数表达式之间的关系。在数学问题中若能“以数示形，以形思数”，则能加强知识的横纵联系。
对中学数学中数形结合思想的研究有助于我们更好的掌握中学数学知识，增强解题能力，特别是在一些题目中如选这题、填空题，在小题目中经常考察数形结合思想，如果熟练掌握了数形结合思想并加以巧妙利用，那么我们将取得事半功倍的效果，能帮助我们在高考中能取得时间和效率的优势，最终让你取得优异成绩。那么接下来我们将要研究数形结合思想在我们中学中到底有哪些用处，我们解什么样问题时需要用到数形结合思想？
2、“数”形化的解题方法
2.1、集合问题的解题方法
在高考中考题中，关于数形结合的第一个问题一般是集合运算；在高中学习集合的时候，一般借助于数轴和韦恩图来解决问题的，这样可以让问题简化，可以让运算变的快捷。
2.1.1、利用数轴的解题方法
例1（2014年陕西卷）：已知全集则
A. [0,1] B.[0,1) C .(0,1] D.(0,1)
分析：对于题目中的两个集合，其中已知，未知，所以第一步是求出集合，故，即，第二步是在数轴上画出，见图1，由图我们不难看出答案是[0，1）,选.

图1

2.1.2、利用韦恩图的解题方法
例2（2014年广东卷）：已知集合则=
A.{0,1} B.{-1,0,2} C.{-1,0,1,2} D.{-1,0,1}
分析:题目中给的是两个已知集合，从而可以借助韦恩图来解决，见图2.故
,选C。
评价：集合是高中阶段第一个接触的内容，也是首次 接触“数”“形”结合这一思想；在开始接触的时候，对学生们要求较高，必需让他们多加练习如何画出数轴或者韦恩图，从而解决问题。而在学习一断时间后，这类问题就变得简单，不再 需要借助数轴或者韦恩图来解决。也就是说，这类问题 图2 一般是初学者借助数轴和韦恩图来解决问题的。

2.2、函数问题的解决方法
高中数学中函数是较大的一模块，在刚接触函数的时候都是利用函数图像来学习的，而在解决函数问题时利用图像也可以达到意想不到的效果。

2.2.1、利用函数图像的解题方法
例3（2014年广东卷）：若变量满足约束条件，且的最大值和最小值分别为和，则
A.5 B.6 C.7 D.8
分析：题目中求的目标函数的最大值和最小值，为了更好的表示，可以将目标函数换成与的函数，即；为了确定的取值范围，可以将约束条件在坐标系中表示出来，如图3中的阴影部分，再结合函数可知，当直线过点时，的取值最大，由，则；当直线过点时，的取值最小，由，则，故，选B.
评价:这类问题是不等式和函数结合形成的问题，是综合性较高的问题，如果不借助图像来解决的话是佷难的，也是很容易出错的；但是如果我们结合图形来解决的话就会简单 图3 佷多，当然，前提是图必需画对；这类问题是“数”“形”结合中比较典型的类子。

2.2.2、利用方程的曲线的解决方法
例4（2014年陕西卷）：在极坐标系中，点到直线的距离是（ ）
分析：首先要将极坐标下的点换成直角坐标系下的点，再将直线在直角坐标系中画出来，见图4，即可以知道直线的表达式为，再利用点到直线的距离公式得，答案为1.
评价：这类问题和集合问题一样，最主要是初学者学习是才需要借助图形来理解为什么线段MN是点到直线的距离；在学习一段时间后就可以借助公式解决答案，不再需要利用数形结合的思想来 图4 解决问题。
3、“形”数化的解题方法
我们在解决集合问题时，有时候可以凭借图形或者模型就可以得到答案，比如三视图；但有些几何问题仅凭图像是不可能得到结果的，而这时就可以借助代数来解决问题。
例5（2014年陕西卷）：如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距离着陆点的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
分析：设该函数为，根据题目条件，以及图像可以知道，，故选C.
评价：这类问题是将现实问题转变成为数学模型问题；必须要理解题目中的条件，从而得到一定的信息来解答问题，也就是说必须理解能力强，也就是语文好。当然，本题没有让学生有争辩的地方,因此理解能力正常的就没有问题了。

图5

例6：（2014年全国卷2）设为抛物线:的焦点，过且倾斜角为，直线的交与两点，为坐标原点，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
分析：首先根据题意画图，如图6，则，焦点,直线的倾斜角为 ，则斜率，直线过点，则直线的方程为，代人抛物线方程，整理得，设，则。由抛物线的定义可以得到弦长，再结合图像可得到直线的距离，故的面积。选D.

评价：这是一类比较简单的问题，只需要简单的根据题意画出图形，再利用条件就可以通过计算来解决问题。该类问题是数形结合中最简单的题目之一。
图6
4、“数”“形”结合的解题方法
“数”“形”结合是高中解题方法中比较常用的一种方法，也是一种跨度广的方法，从集合到函数到概率统计到几何都可以应用到该种方法。
4.1集合中的“数”“形”结合解题方法
例7：某校高二年级参加市级数学竞赛，已知共有40个学生参加第二试（共有3道题），参赛情况如下：
①40个学生每人至少解出一道题
②在没有解出第一道题的学生中，解出第二道题的人数是解出第三道题人数的2倍
③仅解出第一道题的人数比余下的人数多一人
④仅解出一道题的学生中有一半没有解出第一道题
试问：
（1）仅解出第二道题的学生有几人？
（2）解出第一道题的学生有几人？
分析：本题中数量关系复杂，如果根据题目中条件设取未知数来列方程组的话很难理清楚关系，而且容易出错，所以就可以想其他办法；题目中就只有3道题需要学生解答，而且解答是否正确互不影响，所以可以把“解出第一道题的学生”，“解出第二道题的的学生”，“解出第三道题的学生”分别看成3个集合，从而通过集合的办法来解决问题。
解：设集合{解出第一道题的学生 ；
集合解出第二道题的学生；
集合解出第三道题的学生；则可以画图，见图7；
可列方程组：

解得:
即仅解出第二道题的学生有10人，解出第一道题的学生有21人。
评价：有些问题貌似于与图形没有任何相关，不需要用数形结合的方法就可以解决，就如上述类题；虽然可以用代数解决，但是却佷麻烦，首先要理清楚题目中的各个条件，再根据条件设取未知数，列方程组解决问题；思路虽然简单，但是要根据题目中条件设取未知数的话，就不是几个未知数来解决的，也不是几个方程的计算量；而将之变成集合之间的问题，再借助韦恩图来理清楚思路就很简单
图7 了。
4.2、几何中的“数”“形”结合的解题方法
例8：设分别是椭圆的左，右焦点，是上一点且与轴垂直。直线与的另一个焦点为.
（1） 若直线的斜率为，求的离心率；
（2） 若直线在轴上的截距为2，且,求.
分析：（1）首先将的坐标用椭圆的基本量表示，即，同时，又有；再将代入，解答出（舍），即离心率为.
（2）画图，见图8，由题意知：,轴，所以直线与轴的焦点为是线段的中点，可得；再由题目条件.然后设，则，可得，代人的方程，得.再将代人上式得.

评价：在高考当中圆锥曲线问题一直都是重点，也是难点；要想解决这类问题最好借助数形结合这一解题方法；就如上述 例题，第一问中就图3 不需要借助图形直接解决，直接利用定义就可以解决问题；而第二问中最好就用数形结合来解决问题，而这类问题就必须借助于图像，因此画图的质量就决定解题的速度与解题的质量，一副标准的图像有助于我们解决问题。
4.3概率中的“数”“形”结合的解题方法
例9（2014年广东卷）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得如下数据：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36.
根据上述数据得到样本的频率发布表如下：
分组
频数
频率
[25,30]
3
0.12
(30,35]
5
0.20
(35,40]
8
0.32
(40,45]

(45,50]

（1） 确定样本频率分布表中的值；
（2） 根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（3） 根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有一人的日加工零件数落在区 间（30，35]的概率.
解：（1）根据已知数据统计出；
计算得.
（2）由于组距为5，用得各的纵坐标分别为0.024，0.040，0.064，0.056，0.016；
因此不妨以0.008为纵坐标的一个单位长、5为横坐标的一个单位长画出样本频率
分布直方图，见图9.

图9
（3）根据样本频率分布直方图，以频率估计概率.则在该厂任取1人，其日加工零件数落在（30，35]的频率为0.2估计概率为0.2.
所以在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率为.
评价：概率统计中大多数题目都需要借助图表来解决问题，就如上述例题，直接根据定义再结合题目中的数据就可以得出答案。
5、运用数学结合的方法解题过程中应该注意的问题
数形结合的思想方法对高中数学的教学和解题发挥着巨大的作用，即可以将代数问题几何化，又可以将几何问题代数化。但由于数学问题千变万化，数形结合思想方法用来解决问题也没有固定的模式和解题方法，加上数形结合思想方法本身也有一定的缺陷。因此我们在运用数形结合解决问题是应该遵循一定的应用原则。
5.1、等价性原则
在数与形结合的过程中，几何性质和代数性质的转换必须是等价的，即对于所讨论的问题数与形两方面所放映的关系应具有一致性。有时，由于图形的局限性，作图的不精确，会使图形不能完整的表现数的一般性。这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，会对所讨论的问题产生影响而造成解题失误。
例10：函数的最小值为（ ）
.
分析：设，则，原函数变形为，如图10，时，，应选.
错解：如果在换元时没有注意到的取值范围是，则根据图10可得，时，，从而错选.
因此，在运用数形结合时要注意数形转化的等价性。
图10

5.2、注意图形的全面性
有些数学问题所对应的图形不仅仅只有一个图形，可能是2个或者多个，因此要注意图形的全面性。
例11：函数在上的最大值比最小值大，则的值为（ ）
分析：首先根据题意画图，但是函数中的取值不能确定，也就是说取不同的值可能会影响图形的画法，因此，根据指数函数的定义，可以将的取值范围划分为和这两部分。
（1） 当时，如图11.1，，，可得，解得。
（2） 当时，如图11.2，，，可得，解得。
综上所述：的取值为。

图11.1 图11.2
6、总结
通过上述简单的例子说明了，“数”“形”结合思想解题有着意想不到的作用，问题很快就可以解决，可见“数”“形”结合思想在数学解题中的重要性。在解题过程中，要善于应用“数”“学”结合的产物，这些都提供了数形结合的知识平台；而要将数形结合法运用于解题教学和解题实践作为解题方法的数形结合，实际上包括两方面的内容：一方面是对“形”的问题，引入坐标系或寻找其数量关系用“数”的分析加以分析；另一方面对于数量关系的问题，分析其几何意义，找出其中所反映的“形”之间的关系，借助形的直观来解决。总之，灵活的运用好数形结合思想可以有效的提升思维品质和数学技能，能起到事半功倍的效果。

7参考文献：
[1]吴晨晨.数形结合思想在中学教学中的应用[J].
[2]陈金寿.数形结合法在数学解题中的应用[J].中学数学教学.
[3]姚立新.数形结合的思想方法在解题中的应用[J].教材，教法，学法.
[4]杜志建.2014年全国各省市高考试题汇编[M].新疆青少年出版社.
[5]于萍.中学数学教学中“数形结合”思想的运用[J].考试，高考数学.
[6]张雄，李德虎.数学方法与解题研究[M].等教育出版社.
[7]杨存基.例谈数形结合思想在高考中的应用及注意的问题[J].
[8]冯仰松.数形结合命题需注意的几个问题[M].中学数学参考.

致 谢
四年的读书生活在这个季节即将划上一个句号。四年的求学生涯在师长、亲友的大力支持下，走得辛苦却也收获满囊，在论文即将付梓之际，我思绪万千，心情久久不能平静。 伟人、名人为我所崇拜，可是我更急切地要把我的敬意和赞美献给一位平凡的人，在余盛利老师的悉心指导和严格要求下业已完成，从课题选择、方案论证到具体设计和调试，无不凝聚着余老师的心血和汗水，在四年的本科学习和生活期间，也始终感受着导师的精心指导和无私的关怀，我受益匪浅。在此向余盛利老师表示深深的感谢和崇高的敬意。
结论：经过两个多月的努力，论文终于完成。在整个设计过程中，出现过很多的难题，但都在老师和同学的帮助下顺利解决了，在不断的学习过程中我体会到：
写论文是一个不断学习的过程，从最初刚写论文时对企业职位面临的问题的模糊认识到最后能够对该问题有深刻的认识，我体会到实践对于学习的重要性，以前只是明白理论，没有经过实践考察，对知识的理解不够明确。通过这次的努力，我真正做到理论与时间相结合。

15