三角形的尺规作图.doc

年 级
八年级
学 科
数学
课型：
新授课
主备教师
阚立杰
审核人
阚立杰
使用教师：
八年级数学教师
学习内容
13.4　三角形的尺规作图
学习目标
1.经历尺规作图实践操作的过程,训练和提高学生尺规作图的技能,能根据已知条件作三角形.
2.能对新三角形给出合理的解释.
【重点】　训练和提高学生的尺规作图技能,能依据作图语言作出相应的图形.
【难点】　培养学生用规范的作图语言描述作法,并能依据要求作出相应的图形.
一、学习过程
导入一:
豆豆书上的三角形被墨迹污染了一部分,你能帮他在作业本上画出一个与书上完全一样的三角形吗?
如何作一个三角形与已有的三角形一样呢?
[设计意图]　情境导入,让学生带着问题进入本节的学习,体现学习数学知识的重要性及数学应用的价值.
导入二:
前面我们学习了全等三角形的性质、判定及一些简单的几何证明题.在学习中常常需要有准确、方便的画图方法,画出符合条件的几何图形.本节我们学习几种作图方法.
[设计意图]　直接导入,切入主题,使学生很自然地进入到本节课的学习之中.
导入三:
学生回顾三角形的基本元素,以及学过的基本作图——作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角.
【课件】
1.如图所示,已知线段a,求作线段AB,使得AB=a.

2.如图所示,已知∠α,求作∠AOB,使∠AOB=∠α.

说明:对于两种基本作图,可以根据两个具体题目,找两名学生板演示范,其他学生在练习本上完成.完成后,请学生试着叙述作法,教师规范学生的语言.
[设计意图]　对两个基本作图的复习,是为后面的学习做铺垫.教师应对做得好的学生给予鼓励,说明学习知识要扎实,基础要打好,后续的学习才会比较容易.

探究一:尺规作图的意义
说明:我们前面所画的图形大都是用刻度尺、三角尺、量角器和圆规等各种工具画出的.实际上,只用直尺(没有刻度)和圆规也可以画出一些图形.这种方法被称为尺规作图.用直尺(没有刻度)和圆规作图,是一种具有特殊要求的作图方法,这种作图方法不必用具体数据,只是按给定图形进行作图,这也是它与画图的区别所在.
[知识拓展]　画图一般不限定工具,既可以用直尺和圆规,也可以用其他辅助工具,比如量角器、三角板、刻度尺等.在尺规作图中,直尺的作用只能用来连接两点之间的线段或过两点画直线和射线.
探究二:尺规作三角形
思路一
师生共同探索、研究、交流、经历利用尺规作三角形,学生用自己的语言表述作图的过程.本环节学生要按要求完成三个尺规作三角形的内容:
(1)已知三角形的两角及一边,求作这个三角形;
(2)已知三角形的两边及其夹角,求作这个三角形;
(3)已知三角形的三边,求作这个三角形.
说明:在此环节中要求学生小组合作完成,对于学生出现的问题,教师巡视指导,再全班讲评,并用多媒体演示画图的过程.
1.基础练习
活动内容:①如图所示,你能用尺规作一个直角三角形,使其两条直角边分别等于已知线段a,b吗?并写出作法.

②如图所示,已知∠α和∠β,线段a,用尺规作一个三角形,使其一个内角等于∠α,另一个内角等于∠β,且∠α的对边等于a.
2.拓展提高
活动内容:如图所示,已知线段a,b和∠α,求作ΔABC,使其有一个内角等于∠α,且∠α的对边等于a,另有一边等于b.

做完后进一步提问:同样是已知两边及一角,为什么会出现两个三角形呢?你从中可以感悟到什么?
思路二
活动1:已知三角形的三条边,求作这个三角形.

如图所示,已知线段a,b,c,
求作ΔABC,使AB=c,AC=b,BC=a.
作法:
(1)作一条线段AB=c;(2)分别以A,B为圆心,以b,a为半径画弧,两弧交于C点;(3)连接AC,BC.
如图所示的ΔABC就是所求作的三角形.
课件展示:

想一想:你作的三角形和其他同学作的三角形是什么关系?为什么?
想一想:三条线段满足什么条件时,才能作出三角形?
活动2:已知三角形的两角和一边,求作三角形.
(1)已知三角形的两角及其夹边,求作这个三角形.
如图所示,已知∠α,∠β,线段c,
求作ΔABC,使∠A=∠α,∠B=∠β,AB=c.
作法:(1)作∠DAF=∠α;(2)在射线AF上截取线段AB=c;(3)以B为顶点,以BA为一边,作∠ABE=∠β,BE交AD于点C.则ΔABC就是所求作的三角形.

(2)已知两角和一角的对边,求作三角形.
如图所示,已知∠α,∠β,线段c,
求作ΔABC,使∠A=∠α,∠B=∠β,AC=c.
先作出一个角等于∠α+∠β,通过反向延长角的一边得到它的补角,即三角形中的第三个内角∠γ.由此转换成已知∠α和∠γ及其这两角的夹边c,求作这个三角形.

活动3:已知三角形的两边和一角,求作三角形.
已知三角形的两边及夹角,求作这个三角形.
如图所示,已知线段a,b,∠α,
求作:ΔABC,使BC=a,AB=b,∠ABC=∠α.
作法:(1)作∠DBE=∠α,(2)在射线BD,BE上分别截取BA=b,BC=a,(3)连接AC,ΔABC就是所求作的三角形.

想一想:已知三角形的两边和一边的对角能做出三角形吗?若能,请作出图形,若不能,请说明理由.
如图所示,已知线段a,b,∠α,求作ΔABC,使BC=a,AB=b,∠ACB=∠α.

【规律方法小结】　要掌握尺规作图的具体操作方法,当作图要求写作法时,要注意语言的规范性.
(1)用直尺作图时的规范性语言:①过点✕作直线✕✕,作线段✕✕,以点✕为端点作射线✕✕.②连接✕✕,以点✕为端点作线段✕✕,延长线段✕✕到点✕,使✕✕=✕✕.
(2)用圆规作图时的规范性语言:①以点✕为圆心,✕✕为半径作弧.②以点✕为圆心,✕✕为半径作弧,交✕✕于点✕.
三、课堂小结，课后反思
1.作三角形的方法
作一个三角形与已知三角形全等,根据的就是三角形全等的条件.因此,作三角形时,所给的条件可以是三条边或两条边及夹角或两角及夹边或两角及一角的对边.
2.作三角形的步骤
在寻找作法的时候,一定要根据已知画出草图,确定作图步骤.
3.尺规作图的基本要求
①画图形;②写作法;③保留痕迹.
有些作图题,只要求保留痕迹,不用写作法.
四、导学测评
1.尺规作图的画图工具是 (　　)
A.刻度尺、量角器 　　　 B.三角板、量角器
C.直尺、量角器 　　　 D.没有刻度的直尺和圆规
解析:尺规作图的画图工具是没有刻度的直尺和圆规.故选D.
2.利用尺规作图,在下列条件中不能作出唯一直角三角形的是 (　　)
A.已知两个锐角
B.已知一直角边和这边的对角
C.已知两条直角边
D.已知一个锐角和斜边
解析:A.因为已知两个锐角,而边长不确定,所以这样的三角形可作很多,而不是唯一的;B.符合全等三角形的判定“AAS”,能作出唯一直角三角形;C.符合全等三角形的判定“SAS”,能作出唯一直角三角形;D.符合全等三角形的判定“AAS”,能作出唯一直角三角形.故选A.
3.如图所示,ΔABC是不等边三角形,DE=BC,以D,E为两个顶点作位置不同的三角形,使所作三角形与ΔABC全等,这样的三角形最多可以作出 (　　)
A.2个 B.4个 C.6个 D.8个
解析:可以作4个,分别是以D为圆心,AB长为半径作圆,以E为圆心,AC长为半径作圆.两圆相交于两点(DE上、下各一个),经过连接后可得到两个.然后以D为圆心,AC长为半径作圆,以E为圆心,AB长为半径作圆.两圆相交于两点(DE上、下各1个),经过连接后可得到2个.故选B.
4.如图所示,已知线段a,用尺规作出ΔABC,使AB=a,BC=AC=2a.
作法:
(1)先作一条线段等于2a;
(2)再作一条线段AB=　　　　; 
(3)分别以　　　　、　　　　为圆心,以　　　　为半径画弧,两弧交于C点; 
(4)连接　　　　,　　　　,则ΔABC就是所求作的三角形. 
解析:可先作出长2a的线段,再作出底边,进而作出两腰的交点,连接交点和底边的端点即可.
答案:a　A　B　2a　AC　BC
5.如图所示,已知∠α,∠β和线段a,求作ΔABC,使BC=a,∠B与∠α的补角相等,∠C=∠β.
解:第一步,作直线MN,并在上面取点B.如图(1)所示.
第二步,作∠MBP=∠α.如图(2)所示.
第三步,在BN上截取线段BC=a.如图(3)所示.
第四步,作∠BCQ=∠β,射线CQ,BP相交于点A,得到ΔABC,如图(4)所示.
五、板书设计
13.4　三角形的尺规作图
探究一:尺规作图的意义
探究二:尺规作三角形
六、作业
【必做题】
1.教材第53页练习第1,2题.
2.教材第53~54页习题A组第1,2题.
【选做题】
教材第54页习题B组第1,2题.