专题一函数性质.docx

专题二 函数图象
幂函数
其它象限根据定义域与奇偶性画

2.平移变换

3.伸缩变换

6.作函数图像的一般步骤是：
（1） 求出函数的定义域；（2）化简函数式；（3）讨论函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性）以及图像上的特殊点、线（如极值点、渐近线、对称轴等）；（4）利用基本函数的图像画出所给函数的图像。
7.函数对称的重要结论 ：(1)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称. (2)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)中心对称.
习题：
1.(2014·浙江，8)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x＞0)，g(x)＝logax的图象可能是(　　)

2.(2016·新课标全国Ⅰ，9)函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为(　　)

3.(2016·浙江，3)函数y＝sin x2的图象是(　　)

4.(2015·浙江，5)函数f(x)＝cos x(－π≤x≤π且x≠0)的图象可能为(　　)

5.(2016·新课标全国Ⅱ，12)已知函数f(x) (x∈R)满足f(x)= f(2-x)，若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则xi=(　　)
A. 0 B. m C. 2m D. 4m
6.(2015·新课标全国Ⅱ，11)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为(　　)

7.(2014·辽宁，10)已知f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝
则不等式f(x－1)≤的解集为(　　)
A.∪ B.∪ C.∪ D.∪
练习：
1.(2016·郑州质检)已知定义在R上的函数f(x)＝log2(ax－b＋1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　)
A.0<<<1 B.0<<a<1 C.0<b<<1 D.0<<b<1
2.(2016·山东淄博诊断)设函数f(x)＝a－x－kax(a>0且a≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是减函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是(　　)

3.(2016·齐鲁名校联合测试)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝2f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝则函数y＝f(x)在[2，4]上的大致图象是(　　)

4.(2015·江西省质检三)函数y＝－(x－2)|x|的递增区间是(　　)
A.[0，1] B.(－∞，1) C.(1，＋∞) D.[0，1)和(2，＋∞)
5.(2015·青岛八中模拟)函数f(x)＝ln的图象是(　　)

6.(2015·安徽，4)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(　　)
A．y＝ln x B．y＝x2＋1 C．y＝sin x D．y＝cos x
7.(2016·山东，15)已知函数f(x)＝其中m＞0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________.
8.(2015·湖北，13)函数f(x)＝2sin xsin－x2的零点个数为________．
9.(2014·福建，15))函数f(x)＝的零点个数为________．
10.(2016·洛阳统考)已知函数f(x)＝|x2－4|－3x＋m恰有两个不同的零点，则实数m的取值范围是(　　)
A.(－6，6)∪ B. C.∪(－6，6) D.
11.(2015·保定模拟)已知函数f(x)＝则方程f(x)＝1的解是(　　)
A.或2 B.或3 C.或4 D.±或4
12.(2015·广东绍关模拟)设方程log4x－＝0，logx－＝0的根分别为x1，x2，则(　　)
A.0＜x1x2＜1 B.x1x2＝1 C.1＜x1x2＜2 D.x1x2≥2
13.(2016·石家庄质量检测)已知函数f(x)＝有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________.
14.(2015·北京东城区高三期末)设函数f(x)＝则f＝________.若函数g(x)＝f(x)－k存在两个零点，则实数k的取值范围是________.
15.为了得到函数的图像，只需把函数的图像（ ）
（A）向左平移个长度单位 （B）向右平移个长度单位
（C）向左平移个长度单位 （D）向右平移个长度单位
2
1
O
y
x
16.设,函数的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是（ ）（A） （B） （C） （D） 3
17.已知函数的图象如右图所示,则 （ ）
（ （ （ （
H
3
3
3
3
O
t
t
t
t
H
H
H
H
O
O
O
(B)
(C)
(D)
(A)
18.如图,液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中,开始时漏斗盛满液体,经过3分钟漏完,若圆柱中液面上升速度是一常量,H是圆锥形漏斗中液面下落的距离,则H与下落时间分钟的函数关系表示的图象可能是（ ）
答案精析
A组 三年高考真题（2016～2014年）
15. 【答案】B
【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移.
【解析】=，=，所以将的图像向右平移个长度单位得到的图像，故选B.
16. 解析：选C.由已知，周期

1.解析　f(2)＝8－e2>8－2.82>0，排除A；
f(2)＝8－e2<8－2.72<1，排除B；
在x>0时，f(x)＝2x2－ex，f′(x)＝4x－ex，当x∈时，f′(x)<×4－e0＝0，
因此f(x)在上单调递减，排除C，故选D.
答案　D
2.解析 函数f(x) (x∈R)满足f(x) = f(2-x)，
故函数f(x)的图象关于直线x=1对称，
函数y=|x2-2x-3|的图象也关于直线x=1对称，
故函数y=|x2-2x-3|与y= f(x)图象的交点也关于直线x=1对称，
故xi=×2=m，故选B.
答案　B
3.解析　y＝sin x2为偶函数，其图象关于y轴对称，排除A、C.
又当x2＝，即x＝±时，ymax＝1，排除B，故选D.
答案　D
4.解析 当点P沿着边BC运动，即0≤x≤时，在Rt△POB中，|PB|＝|OB|tan∠POB＝tan x，在Rt△PAB中，|PA|＝＝，则f(x)＝|PA|＋|PB|＝＋tan x，
它不是关于x的一次函数，图象不是线段，故排除A和C；
当点P与点C重合，即x＝时，由上得f＝＋tan＝＋1，又当点P与边CD的中点重合，即x＝时，△PAO与△PBO是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f＝|PA|＋|PB|＝＋＝2，知f＜f，故又可排除D.故选B.
答案 B
5.解析 ∵f(x)＝(x－)cos x，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除A，B；
当x→π时，f(x)＜0，排除C.故选D.
答案 D
6.解析 根据对数函数性质知，a＞0，所以幂函数是增函数，排除A(利用(1，1)点也可以排除)；选项B从对数函数图象看a＜1，与幂函数图象矛盾；选项C从对数函数图象看a＞1，与幂函数图象矛盾.故选D.
答案 D
7.解析 当0≤x≤时，令f(x)＝cos πx≤，解得≤x≤；
当x＞时，令f(x)＝2x－1≤，解得＜x≤，故有≤x≤.
因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)≤的解集为∪，
故f(x－1)≤的解集为∪.故选A.
答案 A
B组 两年模拟精选(2016～2015年)
1.解析　由题中图可知，a>1，f(0)＝log2(1－b＋1)，
故0<log2(1－b＋1)<1，即0<b<1.
又f(－1)＝log2(a－1－b＋1)，
所以log2(a－1－b＋1)<0，故<b，所以0<<b<1.故选D.
答案　D
2.解析　因为f(x)＝a－x－kax为R上的奇函数，所以f(0)＝1－k＝0，k＝1，
又f(x)＝－ax为减函数，
所以a>1，g(x)＝loga(x＋1)，
由x>－1以及g(x)单调递增知C项正确，故选C.
答案　C
3.解析　当2≤x<3时，0≤x－2<1，
又f(x＋2)＝2f(x)，所以f(x)＝2f(x－2)＝2x－4；
当3≤x≤4时，1≤x－2≤2，
又f(x＋2)＝2f(x)，所以f(x)＝2f(x－2)＝－2(x－2)2＋4(x－2)＝－2x2＋12x－16.
所以f(x)＝所以A正确.
答案　A
4.解析　y＝－(x－2)|x|＝
作出该函数的图象，观察图象知，其递增区间为[0，1].
答案　A
5.解析　自变量x满足x－＝＞0，
当x＞0时可得x＞1；当x＜0时可得－1＜x＜0，
即函数f(x)的定义域是(－1，0)∪(1，＋∞)，据此排除选项A，D.
又函数y＝x－单调递增，所以f(x)分别在(－1，0)和(1，＋∞)上单调递增，故选B.
答案　B
答案精析
1.解析

函数y＝f(x)－g(x)的零点个数即为函数f(x)与g(x)图象的交点个数，记h(x)＝－f(2－x)，在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)与h(x)的图象，如图所示，g(x)的图象为h(x)的图象向上平移3个单位，可知f(x)与g(x)的图象有两个交点，故选A.
答案 A
2.解析 对数函数y＝ln x是非奇非偶函数；y＝x2＋1为偶函数但没有零点；y＝sin x是奇函数；y＝cos x是偶函数且有零点，故选D.
答案 D
3.解析 g(x)＝f(x)－mx－m在(－1，1]内有且仅有两个不同的零点就是函数y＝f(x)的图象与函数y＝m(x＋1)的图象有两个交点，在同一平面直角坐标系内作出函数f(x)＝和函数y＝m(x＋1)的图象，如图所示，当直线y＝m(x＋1)与y＝－3，x∈(－1，0]和y＝x，x∈(0，1]都相交时，0＜m≤；当直线y＝m(x＋1)与y＝
－4，x∈(－1，0]有两个交点时，由方程组消元得－3＝m(x＋1)，即m(x＋1)2＋3(x＋1)－1＝0，化简得mx2＋(2m＋3)x＋m＋2＝0，当Δ＝9＋4m＝0，m＝－时，直线y＝m(x＋1)与y＝－3相切，当直线y＝m(x＋1)过点(0，－2)时，m＝－2，
所以m∈.
综上所述，实数m的取值范围是∪(0，]，选择A.

4.解析 因为f(1)＝6－log21＝6＞0，f(2)＝3－log22＝2＞0，f(4)＝－log24＝－＜0，
所以函数f(x)的零点所在区间为(2，4)，故选C.
5.解析　如图，当x≤m时，f(x)＝|x|.
当x＞m时，f(x)＝x2－2mx＋4m，在(m，＋∞)为增函数.
若存在实数b，使方程f(x)＝b有三个不同的根，则m2－2m·m＋4m＜|m|.
∵m＞0，∴m2－3m＞0，解得m＞3.
6.解析 令h(x)＝f(x)＋g(x)，则h(x)＝
当1＜x＜2时，h′(x)＝－2x＋＝＜0，故当1＜x＜2时h(x)单调递减，
在同一坐标系中画出y＝|h(x)|和y＝1的图象如图所示．

由图象可知|f(x)＋g(x)|＝1的实根的个数为4.
7.解析 f(x)＝2sin xsin－x2＝2sin xcos x－x2＝sin 2x－x2.
令f(x)＝0，则sin 2x＝x2，
则函数f(x)的零点个数即为函数y＝sin 2x与函数y＝x2的图象的交点个数．
作出函数图象知，两函数交点有2个，即函数f(x)的零点个数为2.

8.解析 由题意，函数y＝f(x)－a|x|恰有4个零点，得函数y1＝f(x)与y2＝a|x|的图象有4个不同的交点．在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象如图所示(a显然大于0)．由图知，当y2＝－ax(x＜0)与y1＝－x2－5x－4(－4＜x＜－1)相切时，x2＋(5－a)x＋4＝0有两个相等的实数根，则(5－a)2－16＝0，解得a＝1(a＝9舍去).所以当x＜0时，y1与y2的图象恰有3个不同的交点．显然，当1＜a＜2时，两个函数的图象恰有4个不同的交点，即函数y＝
f(x)－a|x|恰有4个零点．

9.解析 当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－；当x＞0时，f(x)＝2x－6＋ln x，
因为f′(x)＝2＋＞0，所以函数f(x)＝2x－6＋ln x在(0，＋∞)上单调递增，
因为f(1)＝2－6＋ln 1＝－4＜0，f(3)＝ln 3＞0，
所以函数f(x)＝2x－6＋ln x在(0，＋∞)上有且只有一个零点．
综上所述，函数f(x)的零点个数为2.
答案 2
B组 两年模拟精选(2016～2015年)
1.解析　f(2)＝ln 2－＝ln 2－1<0，f(e)＝ln e－＝1－>0，f(2)·f(e)<0，故选C.
2.解析　由题意得，若f(a)f(b)<0，则函数f(x)在(a，b)内至少存在一个零点；
若f(a)f(b)>0，则函数f(x)在(a，b)内可能存在零点.故选D.
3.解析　函数f(x)＝|x2－4|－3x＋m的零点⇔方程|x2－4|－3x＋m＝0的根⇔方程|x2－4|＝
3x－m的根，令y1＝|x2－4|，y2＝3x－m，则y1＝|x2－4|和y2＝3x－m的图象的交点个数即函数f(x)的零点个数.在同一坐标平面内作出两函数图象(图略)，x＝－2，x＝2时是临界位置，
此时m＝－6，m＝6.当直线与曲线相切，即y1＝－x2＋4与y2＝3x－m相切，
故x2＋3x－4－m＝0，Δ＝9＋4(4＋m)＝0，可得m＝－，∴m∈(－6，6)∪.
4.解析　(1)当x∈[－1，2]时，由3－x2＝1⇒x＝；
(2)当x∈(2，5]时，由x－3＝1⇒x＝4.综上所述，f(x)＝1的解为或4.
5.解析　方程logx－＝0的根为x2＝.设f(x)＝log4x－，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
则f(1)·f(2)＝＜0，故1＜x1＜2.故0＜x1x2＜1.
6.解析　依题意与二分法的定义可知，判断框内可以填写的内容可以是①、④之一时，能够正确求出方程的近似解，故选C.
7.解析　依题意，要使函数f(x)有三个不同的零点，则当x≤0时，方程2x－a＝0，即2x＝a必有一个根，此时0＜a≤1；当x＞0时，方程x2－3ax＋a＝0有两个不等的实根，即方程x2－3ax＋a＝0有两个不等的正实根，于是有由此解得a＞.
因此，满足题意的实数a需满足即＜a≤1.
8.解析　∵＞0，∴f＝log2＝－1，故f＝f(－1)＝4－1＝，
画出f(x)的图象如图，g(x)存在两个零点等价于y＝f(x)与y＝k的图象有两个交点，
由图形可知k∈(0，1].答案　　(0，1]