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2018届信阳高中高三第五次大考
理 数 试 题
命题人:周家权 审题人:郭宏彬
第Ⅰ卷
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请将正确的答案填涂在答题卡上.
1.设集合,,则
A. B. C. D.
2.已知,为虚数单位,若,则
A. B. C. D.
3.下列选项中,说法正确的是
A.若,则
B. 向量 共线的充要条件是
C. 命题的否定是“”
D. 已知函数在区间上的图象是连续不断的,则命题“若,则在区间内至少有一个零点”的逆命题为假命题
4.设 ,则
5.某几何体的三视图如图所示,则其表面积为
A. B. C. D.
6.在区间上随机地取两个数、,则事件“”发生的概率为
A. B. C. D.
7.函数的图象大致是
A. B. C. D.
8.已知则=
A. B. C. D.
9.已知为坐标原点,设分别是双曲线的左、右焦点,点为双曲线上任一点,过点作的平分线的垂线,垂足为,则
A.1 B.2 C. 4 D.
10、若定义在R上的偶函数满足,且当时,则函数的零点个数是
A.多于4个 B.4个 C.3个 D.2个
11.若曲线与曲线存在公共切线,则的取值范围为
A. B. C. D.
12. 已知,若的任何一条对称轴与轴交点的横坐标都不属于区间,则的取值范围是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.
13.定义在R上的函数是增函数,则满足的取值范围是 .
14.已知平面内三个不共线向量两两夹角相等,且,,则 .
15.某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的C处,此时得知,该渔船沿北偏东105°方向,以每小时9海里的速度向一小岛靠近,舰艇时速21海里,则舰艇到达渔船的最短时间是______________分钟.
16.已知函数,若,且,则的取值范围是 .
三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本题满分12分)
已知a,b,c分别为锐角△ABC三个内角A,B,C的对边,且(a+b)(sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC
(Ⅰ)求∠A的大小;
(Ⅱ)若,求f(B)的取值范围.
18.(本小题共12分)
如图,边长为3的正方形所在平面与等腰直角三角形所在平面互相垂直,,且,.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值。
19.(本小题共12分)
为降低汽车尾气的排放量,某厂生产甲乙两种不同型号的节排器,分别从甲乙两种节排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测,综合得分情况的频率分布直方图如图所示
节排器等级及利润如表格表示,其中,
(Ⅰ)若从这100件甲型号节排器按节排器等级分层抽样的方法抽取10件,再从这10件节排器中随机抽取3件,求至少有2件一级品的概率;
(Ⅱ)视频率分布直方图中的频率为概率,用样本估计总体,则
①若从乙型号节排器中随机抽取3件,求二级品数的分布列及数学期望;
②从长期来看,哪种型号的节排器平均利润较大?
20.(本小题满分12分)
过抛物线()的焦点作圆的切线,切点分别为、,已知直线.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)直线经过点,且与抛物线交于点、,若以为直径的圆与圆相切,求直线的方程.
21. (本小题满分12分)
已知函数(,为自然对数的底数)在点处的切线经过点.
(Ⅰ)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)若,不等式恒成立,求实数的取值范围.
请考生在第22、23题中任选一题做答。如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号。
22. 选修4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10分)
以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为,将曲线:(为参数),经过伸缩变换后得到曲线.
(Ⅰ)求曲线的参数方程;
(Ⅱ)若点的曲线上运动,试求出到直线的距离的最小值.
23. 选修4-5:不等式(本小题满分10分)
已知函数.
(Ⅰ)求不等式的解集;
(Ⅱ)若不等式有解,求实数m的取值范围.
2018届高三第五次大考
理 数 答 案
1-5 B D D A C 6-10 D A C A B 11-12 C C
13. 14. 2 15.40 16.
17.解:(I)∵(a+b)(sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC,由正弦定理可得:(a+b)(a﹣b)=(c﹣b)c,化为b2+c2﹣a2=bc.
由余弦定理可得:cosA===,
∵A∈(0,π),∴A=................6分
(II)f(x)==sinx+=+,
在锐角△ABC中,<B,∴<B+<,
∴∈,
∴f(B)的取值范围是................12分
18.(Ⅰ)证明:过作交于,连接因为,,所以……2分
又,所以故,……4分
所以四边形为平行四边形,故,
而平面,平面,
所以平面;……6分
(Ⅱ)以为坐标原点,所在方向为轴正方向,建立平面
直角坐标系,则,,,
平面的法向量为,设平面的法向量为
,则,即
,不妨设,则
所求二面角的余弦值为 ...............……12分
19解析:(Ⅰ);.....................(4分)
(Ⅱ)①由已知及频率分布直方图中的信息知,乙型号节排器中的一级品的概率为,
二级品的概率,三级品的概率为,若从乙型号节排器随机抽取3件,
则二级品数所有可能的取值为,且,
所以,
,
所以的分布列为
所以数学期望(或)..................(10分)
②由题意知,甲型号节排器的利润的平均值,
乙型号节排器的利润的平均值,
,又,
所以投资乙型号节排器的平均利润率较大. ...................(12分)
20.解:(Ⅰ)设焦点,以为直径的圆,即.
由,得,所以,解得,即..................(5分)
(Ⅱ)由(1)知,圆.
设直线.
由得.设,,
则,
所以,中点,
①若以为直径的圆与圆内切,则,
解得.直线或..................(10分)
②若以为直径的圆与圆外切,则,解得.所以直线.
所以直线或或.................(12分)
21. (Ⅰ)因为,所以过点的直线的斜率为,
而,由导数的几何意义可知,,
所以,所以.则,
当时,,函数在上单调递减;当时,由得,
当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增..................6分
(Ⅱ)不等式恒成立,即不等式恒成立,设,
若,则,函数单调递增且不存在最小值,不满足题意;当时,由得,
当时,单调递减;
当时,单调递增,
所以,要使得恒成立,只需恒成立,由于,所以有,解得,即当时,恒成立,即恒成立,也即不等式恒成立,所以实数的取值范围为............(12分)
22. (Ⅰ)将曲线:(为参数)化为,
由伸缩变换化为,代入圆的方程得,
即,可得参数方程为(为参数).................(5分)
(Ⅱ)曲线的极坐标方程,化为直角坐标方程:,
点到的距离,
∴点到的距离的最小值为.................(10分)
23.(Ⅰ)由,可得,两边同时平方化简得 解得 ,即 不等式 的解集为 ................(5分)
(Ⅱ)由不等式 有解,即 有解设,而 ,由可得 或 ..............(10分)
高三第五次大考 理数试题 第 10 页 共 10 页
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