高三数学：平均值不等式教案.doc

平均值不等式
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
1、定理1：如果，那么（当且仅当时取“=”）
证明：

1．指出定理适用范围：
强调取“=”的条件。
2、定理2：如果是正数，那么（当且仅当时取“=”）
证明：∵ ∴
即： 当且仅当时
注意：1．这个定理适用的范围：；
2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
3、定理3：如果，那么（当且仅当时取“=”）
证明：∵

∵ ∴上式≥0 从而
指出：这里 ∵就不能保证。
推论：如果，那么。（当且仅当时取“=”）
证明：

4、算术—几何平均不等式：
①．如果 则：叫做这n个正数的算术平均数，叫做这n个正数的几何平均数；
②．基本不等式： ≥（）
这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）
语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
③．的几何解释：
以为直径作圆，在直径AB上取一点C，过C作弦DD’^AB 则，
从而，而半径。

二、典型例题：
例1、已知为两两不相等的实数，求证：。
证：∵
以上三式相加：
∴

例2、设为正数，求证：。

例3、设，，，…，为正数，证明：。

例4、若，设
求证：
加权平均；算术平均；几何平均；调和平均
证：∵
∴即：（俗称幂平均不等式）
由平均不等式
即：
综上所述：
三、小结：
四、练习：
五、作业：
1、若 求证
证：由幂平均不等式：