Commutation-Relations-of-Operators-for-Quantum-Dynamics.doc

第十七讲 力学量的完全集合及海森堡不确定关系
一、力学量的本征函数集合及本征值集合
Sets of Eigenfunctions and their Eigenvalues
1. 1D Infinite Square Well Potential

2. 1D simple harmonic Oscillator

3. Z-direction component of the angular momentum

4. The square of the angular momentum

5. The momentum

6. 3D Simple Harmonic Oscillator

7. 3D Hydrogen Atom

二、算符的对易关系
Commutation Relations of Operators for Quantum Dynamics

基本对易子：Commutator:

基本非对易子：Anticommutator:

其它力学量（比如角动量）的对易关系可以由对易子运算法则得到。
对易子运算法则：Computation Rules for Commutators:

在量子力学中，角动量算符（轨道角动量，自旋角动量和总角动量）是由下列对易关系定义的。
Commutation Relations of Angular-Momentum Operators:

在量子力学中，角动量算符的叠加规则：（轨道角动量，自旋角动量和总角动量）

根据角动量的对易关系和对易子的运算规则可以得到：角动量平方与角动量的三个分量分别对易！

三、对易算符的性质
Commutators: are important!
Because dynamic variables who's operators commute can be measured simultaneously for the system.
同时测量算符对易的力学量时，可以同时得到相应的力学量取值。
If the commutator of two operators corresponding to the observables A and B is zero then the two operators have the same complete set of eigenfunctions. As a consequence, the wavefunction can be expected to be an eigenfunction of both operators. This in turn means that we can simultaneously assign definite values to the two observables A and B.
如果两个力学量A和B的对易子等于零，则说明两个算符有共同的完备的本征函数组，在他们共同的本征函数描述的状态下，测量这两个力学量，可以同时得到对应的本征值。
定理：如果两个算符和有一组共同的本征函数，而且组成完备系，则算符和对易。

逆定理：如果两个算符和对易，则算符和有共同的组成完备系的本征函数。

在一些算符的共同的本征态中，这些算符所表示的力学量同时有确定值。
例1：在下测量轨道角动量平方和轨道角动量分量，可以分别得到确定值，它们是和。

例2：在下测量动量的三个分量，可以分别得到确定值，它们分别是。

四、力学量的完全集合
要完全确定体系所处的状态（消除简并），需要有一组相互对易的力学量（即通过它们的本征值来完全确定体系所处的状态）。这一组完全确定体系状态的力学量成为力学量的完全集合。
在完全集合中，力学量的数目一般与体系的自由度的数目相等。
例1：在氢原子体系中，如果只用能量算符是无法完全确定粒子状态的，存在能态简并和不确定性，但是，由于能量算符，轨道角动量平方和轨道角动量分量是两两对易的，即， ，，故氢原子的能量本征态需要用这三个力学量对应的本征值、和（或本征值对应的量子数）完全确定。所以必须用三个量子数来完全确定波函数

例2：在三维空间中自由粒子的状态必须用三个两两对易的算符来完全描述。

例3：如果只用能量算符是无法完全确定在三维空间中各向同性谐振子的状态，存在能态简并和不确定性，但是是由三个两两对易的，因为，，。当用三个算符来描述时，粒子状态才完全确定。

五、非对易算符的性质
If the commutator of two operators corresponding to the observables A and B is not zero then the two operators do not have the same complete set of eigenfunctions. As a consequence, the wavefunction cannot be expected to be an eigenfunction of both operators. This in turn means that we cannot simultaneously assign definite values to the two observables A and B.
如果两个力学量A和B的对易子不等于零，则说明两个算符没有共同的完备的本征函数组，即不存在共同的本征态，使测量的两个力学量同时有确定值。也就是说，我们不能同时准确得到他们对应的本征值。
例如坐标和动量没有共同的本征函数，故不能同时被准确确定。

六、非对易算符力学量在同一个态中的不确定程度
The standard deviation is a measure of the uncertainty of a distributed observable A.
偏差：，方差：，均方偏差：
均方根偏差（标准差）：
七、测不准原理（海森堡不确定关系）
Heisenberg’s uncertainty relation

①不确定关系中的不确定程度是指多次测量结果的统计偏差，而不是单次测量的精度。
②不确定关系只给出的不确定程度乘积的下限，对上限没有限制。
③对大量的实验次数来说，不确定的程度是确定的。从这个角度看不确定关系在某种程度上是确定的。
④不确定关系由是微观粒子的性质决定的（不是由实验系统误差决定的）。微观粒子的状态不能再用“轨迹”描述；只能用“几率幅”波函数描述；微观粒子的力学量只能用厄米算符描述；力学量的取值只能是对应厄米算符的本征值；力学量具体能取那个本征值，依赖于粒子所处的状态是否是对应厄米算符的本征态，还是对应厄米算符的本征态的叠加态。

*表示不要求内容。
*八、量子力学中的守恒量
The time development of expectation values of operators
考察算符平均值随时间的变化

如果不显含时间，则有成立；若与对易，则有成立；在这些条件下，的平均值不随时间改变。称力学量为运动恒量，或称在运动中守恒。

运动恒量实例
例1. 自由粒子的动量是守恒量。因为且。这是量子力学动量守恒定律。

例2. 中心势场粒子的角动量是守恒量。因为
，且。这是量子力学角动量守恒定律。

例3. 不显含时间的体系的能量是守恒量。因为而且。这是量子力学能量守恒定律。

这里“守恒”是指力学量的取值不随时间和空间变化而改变。
① 在力学量本征态下，力学量的本征值不随时间和空间变化而改变。
② 在非本征态下，力学量的平均值不随时间和空间变化而改变。
③ “守恒”并不意味着力学量的取值一定是固定值，它可以取本征值中的各个值，但是取值的几率是不随时间和空间变化而改变的。这样的量是守恒量。
By Tianxin Yang Page 18 of 18 3/11/2025