轴向拉伸与压缩的变形计算.doc

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轴向拉伸与压缩的变形、虎克定律

1 纵向变形与横向变形
2 绝对变形与相对变形（应变）
3 虎克定律
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轴向拉伸与压缩的变形计算
一、变形和应变
杆件在轴向拉伸压缩过程中，其轴向尺寸和横向尺寸都要发生变化，设等截面直杆的

原长为 l，横向尺寸为 b。发生轴向拉伸后的长度为 l1 ，横向尺寸为 b1 。下面讨论杆件
的变形。
1．绝对变形

杆件长度的伸长量称为纵向绝对变形，用 Dl 表示，则

横向绝对变形用 Db 表示，其计算为： Db = b1 - b
2．相对变形

Dl = l1 - l

绝对变形的大小与杆件的长度有关，为消除长度对变形量的影响，引入相对变形的概
念。相对变形指单位长度的变形，又称线应变，用 e 表示，则纵向的线应变：

e = Dl
l

图 13.1.1

e1 = Db
横向线应变用e1表示，其计算为 ： b

3．泊松比
杆件的横向变形和纵向变形是有一定的联系的，大量的实验证明，对于同一种材
料，在弹性变形范围内，其横向相对变形与纵向相对变形的比值为一常数，称为泊松 比，用表示。因为横向应变与纵向应变恒为相反数，故比值为负，因此泊松比取其绝
对值。即

m = e1
e
二、虎克定律
实验表明，杆件在轴向拉伸和压缩过程中，当应力不超过一定的限度时，杆件的
轴向变形与轴力及长度成正比， 与杆件的横截面面积成反比，这一关系称为虎克定律。

Dl µ Nl

即
A

引入比例常数 E，则有


Dl = Nl
EA
s = E ×e

表明在弹性限度内，应力和应变成正比。
E---为弹性模量，表明了材料抵抗拉压变形的能力，其单位与应力的单位相同。
EA---抗拉刚度
应用注意：
1．虎克定律只在弹性范围内成立；
2．应用公式时在杆长 l 内，轴力 N、弹性模量 E 及截面面积 A 都应为常数，如果不
满足的话，应分段考虑。具体分析见下面的例子。

例：一阶梯钢杆如图，已知 AC 段的截面面积为 A=500mm2，CD 段的截面面积为
A200mm2，杆的受力情况及各段长度如图 13.1.2 所示，材料的弹性模量为 E=200GPa，
试求杆的总变形量。

解：轴力图----以作用点及截面突变处为分界点---求各段变形量---代数和求总变形 量.
1．作轴力图
利用截面法，取截面的右边为研究对象，则各段的轴力计算如下

N AB = 30 -10 = 20kN N BC = NCD = -10kN 作轴力图

2.计算各段的变形

DlAB = N ABl = 20 ´100 = 0.02mm

AB 段：
EA
200 ´ 500

DlBC = N BCl = -10 ´100 = -0.01mm

BC 段：
EA
200 ´ 500

CD 段：


DlBC = NCDl = -10 ´100 = -0.025 mm
EACD 200 ´ 200

3．计算总的变形 D = DlAB + DlBC + DlCD = -0.015mm

计算结果为负，说明整个杆件是缩短了。
在解题目过程中，一是要注意当在长度 l 内，如果 A、FN、E 有不同的话，应该分段
考虑。 二是注意单位问题， 在讲应力的单位时总结过， 即当力和长度的面积分别取 KN、
mm 时，弹性模量的单位对应是 GPa。
作业

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