写作培训资材大全-0104047基于非线性混沌时序的系统重构、预测技术及其应用.doc

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基于非线性混沌时序的系统重构、预测技术及其应用1

马军海2

（天津大学管理学院, 300072）

盛昭瀚

（南京大学管理科学与工程研究院, 210096）

摘要 如何认识具有复杂结构的系统存在两个基本的困难,一是系统本身的复
杂性，二是我们往往只能通过某种"观测器"采集到系统某一状态的混沌时 间序列，这样，就需要一种技术，它可以在很大程度上通过系统整体行为的 一维"投影"来"还原"系统的整体行为。本文将介绍作者近年来在实现这
一技术路线中所开展的若干工作。
关键词 非线性 混沌时序 分形 相空间重构 参数辨识 预测技术
1 引言
从系统科学的角度看，直接建立一个系统的完备的解析形式的数学模型，无疑地可以认
为是"完全彻底地"了解了这一系统，但是事实上，第一由于系统运行机理与系统结构本身 的复杂性，第二由于即使已知一个解析模型，其解析解也还不易求得，因此常常需要我们解
决如何在无法获得系统模型的情况下认识系统的本质特征， 一个最常遇到的问题便是通过某 种"观测器"采集到系统的某一状态的时间序列，显然，这一序列是系统整体行为的一维"投 影"，而我们又只能通过它来"还原"系统的整体行为[1~30]，特别是随着混沌现象的发现， 人们逐渐认识到系统整体行为中某些本质特征往往不是随机原因而是非线性动力学的原因 造成的，一般地，在排除了由高维或无穷维动力系统所产生的行为以及由随机过程产生的行 为外，一个混沌时间序列就可视为一个确定性动力系统的结果。一个重要的反问题即如何由
混沌时间序列来恢复原动力系统[1,7,8,10,11,14,16,20.21]，具体地说，要解决以下几个问题：
(1) 确定时间序列的混沌特性及其所在动力系统的维数[2~4,!3~15,19,22~30];
(2) 建立这个动力系统的坐标框架[4,9,10,11,13,];
(3) 在此框架下分离噪声、刻画并恢复原复杂非线性动力学系统并进行预测、调控等工

作[4,6,17,18]。
本文将介绍作者近年来在实现这一技术路线中所开展的若干工作与成果。

1 国家自然科学基金资助项目( )
2马军海, 男， 65 生，山东莱阳人,教授,二站博士(后)，已在国内外核心期刊发表论文三十余篇，主要研究
方向:复杂非线性动力系统、复杂混沌时序重构及其工程应用。
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2 时间序列混沌特征的判定
如何判定时序的混沌或随机特性一直是国内外学者研究的重点，从决定论的角度出发，
已有了许多检测确定性混沌的方法。如 Tsay[22]的非线性检验方法；Engle[23]的 ARCH 模型的
检验方法；相空间图、递归图、关联维数、Lyapunov 指数、相关系数、频谱图、Poincare 截面以及分谐波频闪观测器等、检验独立性的双谱方法、基于 BDS 统计量的非线性检验方 法等。文献[19,24,25]给出了对现实的时序不同特性问题的判别的基本方法，即相位随机化
方法。马军海、盛昭瀚[32]利用相位随机化方法，研究了服从不同分布的随机化方法对判定
实测数据特性归属的影响，并将其成功地用于经济时序的非线性特征判定，为对时序建立合
适的预测模型提供了指南。
3 分形维数的相关特性分析研究
分维是描述具有复杂性的系统结构的一个重要特征量，分维的定义有很多种，而且根据
不同的定义算得的其最终值也稍有差别。经过近几年的研究，常用的较多的分维主要有:
Hausdorff 维数 DH , 计盒维数 D0 , 信息维数 D1 ,关联维数 D2 , 广义维数 Dq 。可以证得[4,13]
嵌入维数与分维数之间的关系式:
D2 (q) » D2 (q + 1) » ... » D2 (m) » d2 (1)
即计算 D2 时略去噪声影响,只要取最少的嵌入维数大于或等于分维数，从理论上都不会对
D2 产生影响。

可以证得[4,13] d2 的极大似然估计为:

d2 ê M ˆ = é 1 åM lnæ r0 öù -1
ç r ÷ú


0 < rj £ r0

ë
j=1 è
j øû


(2)

ˆ ) =-Eé¶2 ln f (X,d2 ) ù =d22

由(6)式得 d2 的方差为:
Var(d2
ëê
¶d22ú û
M
(3)

由于实际问题中 N 的取值不可能无穷大而要受到诸多的限制，取 rij = xi - x j

则 d2 的极大似然估计为:


d2 ê M ˆ = é 1 åM w æ r0 öù-1 , w = H (r - r ) , L = å w N
ç r ÷ú


(4)

ë
i > j ij è
ij øû
ij
0
ij
i> j
ij

由(3)式知值 Var(dˆ2 ) 与所取的样本的个数成反比，实际问题中适当的取样本大一些可减少
Var(dˆ2 ) ，以便使 d2 的估计值更准确。采用 G-P 算法计算动力系统实测数据吸引子的关联
维数时，诸多因素可能影响估计精度。对误差的来源的详细讨论见文献[4,13]。
4 混沌时序动力系统的非线性重构技术
定量刻画复杂非线性动力系统复杂性的两个最常用的量就是分维数和李雅普诺夫指数，
它们分别度量了非线性动力系统在其相空间的几何结构的规则性或复杂性程度。 相空间重构 法是根据有限的实测数据来重构吸引子以研究系统动力行为的方法，其基本思想是：系统中
任一分量的演化都是由与之相互作用着的其它分量所决定的， 因此这些相关分量的信息就隐

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藏在任一分量的发展过程中，为了重构一个等价的状态空间只需考察一个分量，并将它在某
些固定的时间延迟点上的测量作为新维处理，即延迟值被看成是新的坐标，它们确定了某个 多维状态空间中的一点。重复这一过程并测量相对于不同时间的各延迟量，就可以产生出许 多这样的点，它可以将吸引子的许多性质保存下来，即用系统的一个观察量可以重构出原动
力系统模型，可以初步确定系统的真实相空间的维数。
为了能够从"一维"时间序列中"还原"动力系统相空间的几何结构, Jone F.Gibson[16] 等人
采用时间延迟技术重构相空间.他们把一维时间序列嵌入到 m 维空间中：
X (t) = [ x(t) , x(t - t ) , x(t - 2t ) , ... , x(t - (m - 1)t ) ]T (5)
让 X (t) 来表示 t 时刻系统的动力学状态。其中t为滞时,m 为嵌入空间维数,从而建立了相空
间 R M 到嵌入空间 Rm 的映射。它建立了时间序列波动和动力系统空间特征之间的桥梁。
Takens 和 Mane[27]证明: 只要 m>2D+1(动力系统重构的充分但不必要条件),其中 D 为吸
引子的分维, C (m) 是在吸引子附近一个光滑的一对一映射， 而嵌入空间中吸引子的几何特性 从
与原动力学系统的吸引子的几何特性等价。实际上, 只要 m> D 嵌入空间中点集的维数就等
同于吸引子的维数。，Sauer 等把延迟嵌入定理推广到了具有噪声的情况。

对一组长为 N 的实测时间序列{xn}N=1 ,其中 xn = x(t0 + nDt) , Dt 是样本时间，则可构 n
造的 m 维向量 X n Î Rm , n = 1,2, ... , Nm , 其中 Nm = N - (m - 1)t , t 是延迟时间间隔。
tDt 是延迟时间。在 Rm 中以 L2 或 L¥ 范数定义 Xi 到 X j 的距离，即

Xi - X j = D

2
å


m-1
l =0 (xi+lt - xj+lt )2 或


Xi - X j


¥


= max xi+lt - xj+lt D

0£l £m-1


(6)

以下在不特别强调的情况下，记 Rm 中的范数为 • ，但通过计算可以发现 L¥ 范数在计算距
离时实现较快。

4.1 最佳延迟时间间隔t0 的选取
由 Takens[27]定理知，在没有噪声无限长的精确数据情况下可以任意选择t ，但实测时

间序列是有限长的，且一般都有噪声污染，只能根据经验来选择t ，其基本思想是使 xn 与
xn+t 具有某种程度的独立但又不完全无关，以便它们能在重构的相空间中作为独立的坐标 处理。如果t 太小，则 xn 与 xn+t 的值充分靠近，以至不能区分它们，从实际观点看不能提
供两个独立的坐标，导致吸引子重构非常靠近相空间中的对角线。重构的相空间总是杂乱无

规则的；如果t 太大，则 xn 与 xn+t 可能会随意地不相关，吸引子的轨道会投影在两个完全
不相关的方向上，不能反映相轨迹的真实演化规则。在实际应用中主要有以下三种经验型方

法选取t0 。一是线性自相关函数法；二是平均互信息法；三是重构展开法。
4.2 嵌入维数 m 的选取
关于嵌入维数,Taken[27], Sauer[29]等先后从理论上证明了当 m ³ 2d + 1时可获得一个吸
引子的分形维数，但这只是一个充分条件，对实验数据选择 m 没有帮助。如果仅仅是计算

关联维数，Ding[28]等证明了对无噪声，无限长的数据只要取 m 为大于关联维数 d2 的最小整
数即可。但对长度有限且具噪声的数据，m 要比 d2 大的多。如果 m 选的太小，则吸引子可

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