带粗糙核的分数次积分算子的交换子在Morrey-type空间上的加权有界.pdf

收稿日期:基金项目:江西省自然科学基金(B A B );江西省教育厅科技项目(G J J )作者简介:黄慧娟(),女,江西鹰潭人,硕士研究生,主要从事调和分析的研究.通信作者:马江山,E m a i l:J s_m a c o m.带粗糙核的分数次积分算子的交换子在M o r r e y t y p e空间上的加权有界黄慧娟,王子雄,马江山黄慧娟,王子雄,马江山(吉首大学 数学与统计学院,湖南 吉首 ;上饶师范学院 数学与计算机科学学院,江西 上饶 )摘要:证明了带粗糙核的分数次积分算子的交换子在M o r r e yt y p e空间上的加权估计,其中加权M o r r e yt y p e空间是加权M o r r e y空间的推广.关键词:分数次积分算子;交换子;粗糙核;M o r r e y t y p e空间;加权估计中图分类号:O 文献标识码:A文章编号:()D O I:/j i s s n 引言及主要结论 引言及主要结论对给定的n,分数次积分算子(或R e i s z势算子)I定义为:If x()Rnf y()xyndy.同样地,带粗糙核的分数次积分算子I,可以定义为:I,f x()Rnxy()f y()xyndy,其中LsSn(),s是Rn上的零次齐次函数,即对任意的,xRn有 x()x().众所周知,分数次积分算子在调和分析中有着十分重要的地位,有界性的研究也是算子性质研究中的重要板块之一.哈代利特尔伍德索博列夫(H a r d y L i t t l e w o o d S o b o l e v)定理是分数次积分算子的一个著名的结果,即I是Lp空间上的有界算子.另外,陆(L u)等人在文献中得到了I,在Lp空间以及加权Lp空间中的有界性.有界平均振荡空间BMO最初是 年左右由约翰(J o h n)和尼伦伯格(N i r e n b e r g)在研究一类非线性偏微分方程问题时提出,具体定义如下:定义BMO空间定义为:BMObLl o cRn():bBMOs u pBBBbx()bBdx,其中B为球体B上的勒贝格测度,bBBBby()dy表示函数b在球体B上的平均值.第 卷第期 年 月 上 饶 师 范 学 院 学 报J OUR NA LO FS HAN G R AONO RMA LUN I V E R S I T YV o l ,N o J u n 与此同时,由带粗糙核的分数次积分算子I,和函数bBMO生成的具有粗糙核的分数次积分算子的交换子的定义如下:定义设bBMO,其中b是Rn上的一个局部可积函数,对n和粗糙核LsSn(),s,则b和I,所生成的交换子定义为:Ib,f()x()bx()I,f()x()I,b f()x()Rnxy()xynbx()by()f y()dy,其中,当x()时,称Ib,Ib为分数次积分算子的交换子.交换子在各类经典的空间上的有界性已有丰富的研究结果,如:交换子Ib,在Lp上的加权有界性参见文献;在加权M o r r e y空间上的有界性见文献;在H e r z型H a r d y空间上的加权有界性见文献.随后,王(W a n g)证明了交换子Ib是下述新型加权M o r r e y空间上的有界算子.年,W a n g在文献中定义了一类新型加权M o r r e y空间,并得到了分数次积分算子在这类新型加权M o r r e y空间上的有界性.为了获得加权估计的结果,定义和定义首先给出一些关于权函数类的定义和结论,具体内容读者可参见文献.定义再介绍W a n g定义的新型加权M o r r e y空间.定义设p,称权函数Ap,如果存在一个常数C,使得对Rn上所有的球体B都满足BB x()dxpBB x()p pdxpC,其中p是p的共轭.特别地,当p时,若存在一个常C,使得BB x()dxCe s si n fxB x(),则称权函数A.另外,定义ApAp.定义对于p,q,称权函数Ap,q,如果存在一个常数C,使得对Rn上所有的球体B都满足BB x()qdxqBB x()pdxpC,那么称权函数Ap,q.对于给定的权函数以及勒贝格可测集E,E()表示加权测度.称一个权函数满足双倍条件,如果存在一个常数C,使得对Rn上任意的球体B有:B()C B()()根据文献,如果A,那么满足双倍条件即不等式().此外,如果A,那么对任意球体B和B的任意可测子集E,存在一个独立于B和E的正数,使得 E()B()CEB()以下将介绍W a n g在文献中定义的加权M o r r e y t y p e空间Mp,v,u().设k,()是定义在,()上的非负增函数并且满足以下一类Dk条件:()kC()()k,()()其中C且不依赖于、,则Mp,v,u()的定义如下:定义设p,k,且满足Dk条件,新型加权M o r r e y空间定义为:Mp,v,u():fLpl o cv():fMp,v,u(),其中范数定义为:上 饶 师 范 学 院 学 报 (第 卷)fMp,v,u():s u pBu B()()Bf x()pv x()dxp.同时,从文献 中可得到了分数次积分算子的交换子在此类M o r r e y空间上的有界估计,具体结论如下:定理A令n,pn和qpn,并且Ap,q.假设对kpq,满足Dk条件,那么Ib是从Mp,p,q()到Mq,qpq()的有界算子.在此 基 础 上,受 文 献 证 明 了 奇 异 积 分 算 子 交 换 子 是 相 关 于的 加 权M o r r e yt y p e空 间Mp,v,u()上的有界算子的启发,本文将考虑带粗糙核的分数次积分算子交换子Ib,在Mp,v,u()空间上的有界性.本文主要结论如下:定理 对 于 n,设Ib,是 带 粗 糙 核x()的 分 数 次 积 分 算 子 的 交 换 子,且 LsSn()ps(),bBMO Rn()以及 x()sAps,qs(),则存在一个与f无关的常数C,使得Ib,f()Mp,qp(q)CfMp,(p,q),其中pn,qpn,满足Dk条件.预预备备知知识识引引理理令n,spn,并且qpn.假设x()LsSn(),bBMO Rn()且 x()s Aps,qs(),那么存在一个与f无关的常数C,使得RnIb,f()x()x()qdx()qCRnf x()x()pdx()p.引引理理令n,pn且qpn,当p时,如果权函数Ap,q,那么qAq,并且pAp.引引理理、对于任意bBMO,有:(i)对于在Rn中的任意球体B,以及jZ,那么,bj BbBC j()bBMO()(i i)对于q,在Rn中的任意球体B,x()A,那么,Bbx()bBq x()dx()qCbBMO B()q()主主要要结结果果的的证证明明设bBMO Rn(),当p,q时,取fMp,p,q(),x()s Aps,qs().任取Rn上的球体BB x,r(),令fff,其中ffB,ffB()c,则可得以下分解:qB()()pBIb,f x()qqx()dx()q qB()()pBIb,f()x()qqx()dx()q qB()()pBIb,f()x()qqx()dx()q:II.对I而言,由引理和Mp,p,q()的定义可得:第期黄慧娟,等:带粗糙核的分数次积分算子的交换子在M o r r e y t y p e空间上的加权有界I qB()()pIb,f()Lqq()qB()()pRnIb,f()x()ppx()dx()p qB()()pBf x()ppx()dx()pCfMp,p,q()qB()()p qB()()p.因为 x()sAps,qs(),根据引理得到qAqA.此外,因为对q,当qAq时,有qB()qB(),再根据的Dk条件()和双倍条件(),有:ICfMp,p,q()qB()kpqB()kpCfMp,p,q().对于I,由定义,容易得到:Ib,f()x()bx()bBI,f()x()I,bBb()f()x(),并且,若xB和y B()c,则有xyxy,可得以下点态估计:I,f()x()B()cxy()f y()xyndyCjj B nj Bxy()f y()dy,于是根据以上两个估计,可得:I qB()()pBI,f()x()qbx()bBqqx()dx()q qB()()pBI,bBb()f()x()qqx()dx()qC qB()()pBbx()bBqqx()dx()qjj B nj Bxy()f y()dyC qB()()pBqx()dx()qjj B nj Bxy()bj BbBf y()dyC qB()()pBqx()dx()qjj B nj Bxy()by()bj Bf y()dy:JJJ.其中,因为qpn,再利用赫德(H l d e r)不等式可得:jj B nj Bxy()f y()dyCjj B nj Bf y()s sy()sy()dy()s j Bxy()sdy()s.此外,由 x()s Aps,qs(),再利用Ap,q权函数的性质,计算可得:Q y()s ps()dyQs pq p sps()QqQ()p sq p sps(),故对任意QRn,有:Q x()p sp spsdx()psQqQ prqQ()q.结合以上估计,可得:jj B nj Bxy()f y()dyCj B y()p sp spsdy()ps上 饶 师 范 学 院 学 报 (第 卷)jj B nj Bf y()ppy()dy()pj Bxy()sdy()sCjj B nj Bf y()ppy()dy()pj B pqqj B()qCfMp,p,q()j qj B()()pqj B()q,于是对上述不等式,利用引理中的(),有:JC qB()()pbBMOqB()qfMp,p,q()j qj B()()pqj B()q.又因为对q,有qAqA,再根据的Dk条件()和不等式(),以及指标满足,kpq直接可得:j qj B()()pqj B()qqB()qqB()q()CjqB()qkpqj B()qkpCjBj Bqkp()Cjj()nqkp()C,所以证得JCfMp,p,q().类似地,处理J,只需要将上述J的估计中应用的引理中的()更改为应用引理中的(),容易得到:JCbBMOfMp,p,q()jj()qj B()()pqj B()qqB()q qB()()pCfMp,p,q().最后对于J,对于pts,利用广义赫德(H l d e r)不等式,有:JCj BsLssn()j Bby()bj Bt y()tdy()tj Bf y()p y()pdy()p,其中 x()sAps,qs(),根据引理有tp s ps Aps pAts At,若令y()y()t,则At,再根据引理中的(),可得:j Bby()bj Bt y()tdy()tCbBMOj B()tCj B y()tdy()tCj B nsqj B()q,其中最后一个不等式由Apq权函数类的定义得,再将上式代入J可得:JCbBMOLssn()qB()q qB()()pjqj B()qj Bf y()p y()pdy()pCbBMOLssn()fMp,p,q()j qj B()()p qB()()pqB()()qqj B()qCfMp,p,q().综上I、I、J、J、J的估计,再对所有的球体B取上确界,定理得证.第期黄慧娟,等:带粗糙核的分数次积分算子的交换子在M o r r e y t y p e空间上的加权有界参考文献:S T E I NE M S i n g u l a ri n t e g r a l sa n dd i f f e r e n t i a b i l i t yp r o p e r t i e so ff u n c t i o n sM P r i n c e t o n:P r i n c e t o nu n i v e r s i t yp r e s s,:L US,D I NGY,YAND S i n g u l a r i n t e g r a l sa n dr e l a t e dt o p i c sM N e wJ e r s e y:W o r l dS c i e n t i f i cP u b l i s h i n gC o m p a n y,:J OHNF,N I R E N B E RL O n f u n c t i o n s o f b o u n d e dm e a no s c i l l a t i o nJ C o mm u n i c a t i o n s o np u r e a n da p p l i e dm a t h e m a t i c s,():王华具有粗糙核的分数次积分算子在加权M o r r e y空间上的有界性J数学学报,():苟银霞,陶双平,戴惠萍 H e r z型H a r d y空间上粗糙核分数次积分及其交换子的加权估计J山东大学学报(理学版),():WANG H W e i g h t e d i n e q u a l i t i e s f o r f r a c t i o n a l i n t e g r a l o p e r a t o r sa n dl i n e a rc o mm u t a t o r s i nt h eM o r r e yt y p es p a c e sJJ o u r n a l o f i n e q u a l i t i e sa n da p p l i c a t i o n s,():WANG H B o u n d e d n e s so f T y p eC a l d e r nZ y g m u n do p e r a t o r sa n dc o mm u t a t o r s i nt h eg e n e r a l i z e dw e i g h t e dM o r r e ys p a c e sJ J o u r n a l o f f u n c t i o ns p a c e s,:MU C K E NHOU P TB,WHE E D E NR W e i g h t e dn o r mi n e q u a l i t i e s f o r f r a c t i o n a l i n t e g r a l sJ T r a n s a c t i o n so f t h eAm e r i c a nm a t h e m a t i c a l s o c i e t y,:MU C K E NHOU P T BW e i g h t e dn o r mi n e q u a l i t i e sf o rt h e H a r d y m a x i m a lf u n c t i o nJ T r a n s a c t i o n so ft h eAm e r i c a nM a t h e m a t i c a lS o c i e t y,:GA R C AC U E R VAJ,D EF R AN C I AJLR W e i g h t e dn o r mi n e q u a l i t i e sa n dr e l a t e dt o p i c sM N e wY o r k:E l s e v i e r,:锁清莉,刘建明带粗糙核的奇异积分算子及其交换子在新型加权广义M o r r e y空间上的有界性J理论数学,():S T E I NE M,MUR P HYTS H a r m o n i ca n a l y s i s:r e a l v a r i a b l em e t h o d s,o r t h o g o n a l i t y,a n do s c i l l a t o r yi n t e g r a l sMP r i n c e t o n:P r i n c e t o nU n i v e r s i t yP r e s s,:W e i g h t e dB o u n d e d n e s s f o rC o mm u t a t o r so fF r a c t i o n a l I n t e g r a lO p e r a t o r sw i t hR o u g hK e r n e l o nM o r r e y t y p eS p a c e sH U A N GH u i j u a n,WA N GZ i x i o n g,M AJ i a n g s h a n(S c h o o l o fM a t h e m a t i c sa n dS t a t i s t i c s,J i s h o uU n i v e r s i t y,J i s h o uH u n a n ,C h i n a;S c h o o l o fM a t h e m a t i c sa n dC o m p u t e rS c i e n c e,S h a n g r a oN o r m a lU n i v e r s i t y,S h a n g r a oJ i a n g x i ,C h i n a)A b s t r a c t:I nt h i sp a p e r,t h er e s e a r c h e r sp r o v e t h ew e i g h t e de s t i m a t e so f t h ec o mm u t a t o r so f f r a c t i o n a l i n t e g r a l o p e r a t o r sw i t hr o u g hk e r n e l o nM o r r e yt y p es p a c e s,w h e r et h ew e i g h t e d M o r r e yt y p es p a c ei sag e n e r a l i z a t i o no ft h ew e i g h t e dM o r r e ys p a c e K e yw o r d s:f r a c t i o n a l i n t e g r a l o p e r a t o r s;c o mm u t a t o r s;r o u g hk e r n e l;M o r r e y t y p es p a c e s;w e i g h t e de s t i m a t e s上 饶 师 范 学 院 学 报 (第 卷)