从竞赛视角探究一道征解题.pdf

（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（），显然成立综上，原不等式成立例 、为正实数，求证：（）（）（）（）证明：原不等式（）（）（）因为 时，有，所以可以不妨设 （）（）（）由结论 与结论 知只需证（）（）（），其 中 （），（）（）且 （）若 槡（），则 槡（）因为 （槡槡）所以（）（）（）（）（）（）（）（）槡（）槡（）（）（）（）若 槡（）（）（）（）（）（）（）（）因为 槡（），即 槡 槡 及槡 所以 （槡）（槡）槡（槡）（）（）（）槡（槡）（）（）槡 （槡）综上，原不等式成立参考文献 张丽玉 利用平方和方法证明不等式赛题 中等数学，檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻 从竞赛视角探究一道征解题重庆市两江中学校（）彭锋邓元洁 数学通讯（上半月刊）年第 期问题征解第 题隐含了一个经典的竞赛不等式，本文从竞赛的视角对这道征解题的变式作了深入地探究，最后给出了三个推广问题 已知 ，是正数，求证：（）（）（）（）（）这是一个分式不等式，左边各项的分子与分母 年第 期中学数学研究分别是 次、次单项式，只要稍加变形，就会利用柯西不等式获证证法 ：对不等式（）左边变形，并利用柯西不等式得（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（），即不等式（）成立如果把不等式（）右边分母中的（）分别放到左边各项的分子，展开后与分母进行重组，那么利用权方和不等式即可获证证法 ：由权方和不等式得（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（），由证法 可知，（）（），所 以（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（），整理即得不等式（）点评：如果直接利用 不等式，即 年莫斯科数学竞赛不等式：，那么可以简化上述证明 由此证法，可以得到不等式（）的如下一个加强：（）（）（）（）（）不等式（）隐含了一个经典的竞赛不等式，由此引发笔者联想到历届有关的竞赛不等式，从而对不等式（）的变式加以探究，得到下面的问题问题 已知，是正数，求证：（）证明：对不等式（）左边变形，并利用柯西不等式、均值不等式得（）（）（）（）（）（），即不等式（）成立问题 已知，是正数，求证：（）（）（）（）（）证明：对不等式（）左边变形，并利用柯西不等式、均 值 不 等 式 得（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）中学数学研究 年第 期 （），即不等式（）成立问题 已知，是正数，求证：（）（）（）（）（）（）（）证明：对不等式（）左边变形，并利用柯西不等式得（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（），即不等式（）成立问题 已知，是正数，且 ，求 证：（）（）（）（）（）证明：由已知条件易知，对不等式（）左边变形，并利用柯西不等式、均值不等式得（）（）（）（）（）（）（）（），因为 槡 槡 槡槡槡槡 （）（槡）（）槡 槡 ，所以（）（）（）（）（）（）（），即不等式（）成立点评：如果直接用权方和不等式，得到（）式的左边（）（）（）（）（），那么接下来就会思维受阻，因为（）（），所以无法进行下一步链接问题 已知，是正数，且 ，求 证：（）（）（）（）（）（）（）证明：由已知条件易知，槡，因此 ，又由已知条件易知，对不等式（）左边变形，并利用柯西不 等 式、均 值 不 等 式 得（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）年第 期中学数学研究 （）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（），即不等式（）成立点评：从问题 到问题，分别隐含了 年加拿大数学奥林匹克不等式竞赛题，年第 届国际数学奥林匹克不等式竞赛题，年全国高中数学联赛陕西赛区预赛不等式竞赛题，年克罗地亚数学奥林匹克不等式竞赛题，年塞尔维亚数学奥林匹克不等式竞赛题，由此从某种意义上进一步揭示了这些经典的竞赛不等式之间的内在联想把问题 推广，可以得到推广 已知 ，是正数，求证：（）（）（）（）（）（）证明：对不等式（）左边变形，并利用柯西不等式得（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（），即不等式（）成立推广 已知 ，是正数，求证：（）（）（）（）（）证明：对不等式（）左边变形，并利用权方和不等式得 （）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（），即不等式（）成立推广 已知 ，是正数，求证：（）（）（）（）（）同推广 可证檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻版权声明本刊已许可中国知网、万方数据、维普资讯、超星及博看网等以数字化方式复制、汇编、发行、信息网络传播本刊全文 如作者不同意网络传播，请在投稿时声明，本刊将做适当处理欢迎订阅方式一：邮局各网点，邮发代号 ；方式二：微信扫描二维码进入中国邮政 微商城订阅中学数学研究 年第 期