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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,第三节,一、,三重积分概念,二、三重积分计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三重积分,第九章,第1页,一、三重积分概念,类似二重积分处理问题思想,采取,引例:,设在空间有限闭区域,内分布着某种不均匀,物质,求分布在 内物质,可得,“大化小,常代变,近似和,求极限”,处理方法:,质量,M,.,密度函数为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第2页,定义.,设,存在,称为,体积元素,若对,作,任意分割,:,任意取点,则称此极限为函数,在,上,三重积分,.,在直角坐标系下常写作,三重积分性质与二重积分相同.,性质:,比如,以下“乘,中值定理.,在有界闭域,上连续,则存在,使得,V,为,体积,积和式”极限,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第3页,二、三重积分计算,1.利用直角坐标计算三重积分,方法1.,投影法(“先一后二”),方法2.,截面法(“先二后一”),方法3.,三次积分法,先假设连续函数,并将它看作某物体,经过计算该物体质量引出以下各计算,最终,推广到普通可积函数积分计算.,密度函数,方法:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第4页,方法1.投影法(“先一后二”),该物体质量为,细长柱体微元质量为,微元线密度,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第5页,方法2.截面法(“先二后一”),为底,d,z,为高柱形薄片质量为,该物体质量为,面密度,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6页,投影法,方法3.三次积分法,设区域,利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第7页,当被积函数在积分域上变号时,因为,均为非负函数,依据重积分性质仍可用前面介绍方法计算.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第8页,小结:三重积分计算方法,方法1.“先一后二”,方法2.“先二后一”,方法3.“三次积分”,详细计算时应依据,三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函数及积分域特点灵活选择.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第9页,其中,为三个坐标,例1.,计算三重积分,所围成闭区域.,解,:,面及平面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第10页,例2.,计算三重积分,解:,用“,先二后一,”,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第11页,2.利用柱坐标计算三重积分,就称为点,M,柱坐标.,直角坐标与柱面坐标关系:,坐标面分别为,圆柱面,半平面,平面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第12页,如图所表示,在柱面坐标系中体积元素为,所以,其中,适用范围:,1),积分域,表面用柱面坐标表示时,方程简单,;,2),被积函数,用柱面坐标表示时,变量相互分离,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第13页,其中,为由,例3.,计算三重积分,所围,解:,在柱面坐标系下,及平面,柱面,成半圆柱体.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第14页,例4.,计算三重积分,解:,在柱面坐标系下,所围成.,与平面,其中,由抛物面,原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第15页,3.利用球坐标计算三重积分,就称为点,M,球坐标.,直角坐标与球面坐标关系,坐标面分别为,球面,半平面,锥面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第16页,如图所表示,在球面坐标系中体积元素为,所以有,其中,适用范围:,1),积分域,表面用球面坐标表示时,方程简单,;,2),被积函数,用球面坐标表示时,变量相互分离,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第17页,例5.,计算三重积分,解:,在球面坐标系下,所围立体.,其中,与球面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第18页,例6.,求曲面,所围立体体积.,解:,由曲面方程可知,立体位于,xoy,面上部,利用对称性,所求立体体积为,yoz,面对称,并与,xoy,面相切,故在球坐标系下所围立体为,且关于,xoz,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第19页,内容小结,积分区域,多由坐标面,被积函数,形式简练,或,坐标系 体积元素 适用情况,直角坐标系,柱面坐标系,球面坐标系,*说明,:,三重积分也有类似二重积分,换元积分公式:,对应雅可比行列式为,变量可分离.,围成;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第20页,1.,将,用三次积分表示,其中,由,所,提醒:,思索与练习,六个平面,围成,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第21页,2.,设,计算,提醒:,利用对称性,原式=,奇函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第22页,3.,设,由锥面,和球面,所围成,计算,提醒:,利用对称性,用球坐标,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第23页,作业,P106 1,(2),(3),(4),;4;5;,7;8;9,(2),;,10,(2),;11,(1),(4),第四节 目录 上页 下页 返回 结束,第24页,备用题,1.,计算,所围成.,其中,由,分析,：,若用“先二后一”,则有,计算较繁!,采取“三次积分”很好.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第25页,所围,故可,思索:,若被积函数为,f,(,y,)时,怎样计算简便?,表为,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第26页,2.,计算,其中,解:,利用对称性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第27页,
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