数学问题和数学问题解决.pdf

XI川省凉山州教育科学研究所谟业锋一、数学问题二、数学问题解决三、数学问题解决的教学策田一、数学问题（一）对数学问题人电理解 问题是数学的心脏。著名数学教育家波利 亚在数学的发现一书中曾给出问题明 确含义，并从数学角度对问题作了分类。他指出，所谓“问题”就是意味着袁去寻 找适当的行动，以达到一个可见而不也即 可及的目标。牛津大词典对“问题”的解释是：指 那些并非可以立即求解或较困难的问题八 那种需要探索、思考和讨论的问题，那种 需要积极思维活动的问题。在第六届国际数学教育大会上，“问题 解决、模型化及应用”课题组提交的课 题报告中，对“问题”给出了更为明确 而富有启发意义的界定，指出 一个问题是对人具有智力挑战偿征的、没有现成的直接方法、程序或算法的待 解问题情境。该课题组主席奈斯还进一步把“数学问 题解决”中的“问题”具体分为两类：一类是非常规的数学问题；另一类是数 学应用问题。这种界定现已经逐渐为人 们所接受。我国的张奠宙、刘鸿坤教授在他们 的数学教育学里的“数学教育 中的问题解决”中，对什么是问题 及问题与习题的区别作了很好的探 讨。综上，对“问题”可以有以下几个 方面的理解和认识：1.问题是一种情境状态。这种状态会与学生已有的认知结构之间产 生内部矛盾冲突，在当前状态下还没有易 于理解的、没有完全确定的解答方法或法 贝黑航谭有问题的状态,即这个人面临着他 们不认识的东西，对于这种东西又不能仅 仅应用某种典范的解法去解答，因为一个 问题一旦可以使使用以前的算法轻易地解 答出来，那么它就不是一个问题了。2.问题解决中的“问题”，并不 包括常规数学问题，而是指非常 规数学问题和数学的应用问题。这里的常规数学问题，就是指课本 中既已唯一确定的方法或可以遵循 的一般规则、原理，而解法程序和 每一步骤也都是完全确定的数学问 题。3.问题是相对的。问题因人因时而宜，对于一个人可能是 问题，而对于另一个人只不过是习题或 练习，而对于第三个人，却可能是所然 无味了。随着人们的数学知识的增长、能力的提 高，原先是问题的东西，现在却可能变 成常规的问题，或者说已经构不成问题 了。4.问题情境状态下，要对学生本 人构成问题，必须满足三个条件:(1)可接受性。指学生能够接受这个问 题，还可表现出学生对该问题的兴趣。(2)障碍性。即学生当时很难看出问题 的解法、程序和答案，表现出对问题的 反应和处理的习惯模式的失败。(3)探索性。该问题又能促使学生深入 地研究和进一步的思考，展开各种探究 活动，寻求新的解题途径，探求新的处 理方法。5.问题解浜中的“问题”与“习 题”或“练习”是有区别的其重要区别在于：(1)性质不同。中学数学课本中的“习题”或者“练习”属于“常规问题”，教师在课堂中已经 提供了典范解法，而学生只不过是这种 典范解法的翻版应用，一般不需要学生 较高的思考。因此，实际上学生只不过 是在学习一种算法，或一种技术，一种 应用于同一类“问题”的技术，一种只 要避免了无意识的错误就能保证成功的 技术。(2)服务的目的不同。尽管有些困难的习题对大部份学生实际上也可 能是真正的问题，但数学课本中的习题是为日 常训练技巧等设计的，而真正的问题则适合于 学习发现和探索的技巧，适合于进行数学原始 发现以及学习如何思考。因此，练习技巧与解真正问题所要达到的学习 目的不大相同，也正因为它们各自服务于一种 目的，所以中学教学课本中的“习题”、“练 习”不应该从课本中被除去，而应该被保留。然而，解决了这些常规问题后，并不意味着已 经掌握了“问题解决”。（二）好问题的“数学标准”以问题解决作为数学教育的中心事实上集中体 现了数学观和数学思想的重要变化，也即意味 着数学教育的一个根本性的变革，正是在这样 的意义上，数学教育家伦伯格指出：解决非单 纯练习题式的问题正是数学教育改革的一个中 心论题。，那么，从数学教育的角度看，究竟什么是一个“好”的问题，它的标准该是什么？一般来说，一个好问题标准应体现在以下三个 方面：1、应该具有较强的探究性好问题能启迪思维,激发和调动探究意 识,展现思维过程。如同波利亚所指出的“我们这里所指的 问题，不仅是寻常的，它们还要求人们 具有某种程度的独立见解、判断力、能 动性和创造精神”。y这里的“探究性（或创造精神）”的要 求应当是与学生实际水平相适应的，既 然我们的数学教育是面向大多数学生的。因此，对于大多数学生而言，具有探索 性或创造性的问题，正是数学上“普遍 的高标准”，这又并非是、“高不可及”的，而是可通过努力得到解决的。从这个意义上来说，我们这里说的好问 题并不是指问题应有较高的难度，这一 点与现在数学奥林匹克竞赛中所选用的 大部份试题是有区别的。在竞赛中，“问题解决”在很大程度公 所发挥的只是一种“筛子”的作用，这 是与以“问题解决”作为数学教育的中 心环节和根本目标有区分的。2、应该具有一定的启发性和可发 展空间、一个好问题的启发性不仅指问题的解答中 包含着重要的数学原理，对于这些问题或 者能启发学生寻找应该能够识别而模式，或者通过基本技巧的某种运用很快地得到 解决。.同时，“问题解决”还能够促进学生心 数学基本知识和技能的掌握，有利于学生 掌握有关的数学知识和思想方法，这就与 所谓的“偏题”、“怪题”划清了界线。一个好问题的可发展空间是说问题 并不一定在找到解答时就会结束，所寻求的解答可能暗示着对原问题 的各部份作种种变化，由此可以引 出新的问题和进一步的结论0问题的发展性可以把问题延伸、拓 广、扩充到一般情形或其他特殊情 形，它将给学生一个充分自由思考 充分展现自己思维的空间。3、应该具有一定的“开放性”好问题的“开放性”，首先嬴在问题来源的“开放”。问题应具有一定的现实意义，与现实 社会、生活实际有着直接关系，这种对社会、生 活的“开放”，能够使学生体现出数学的价值和 开展“问题解决”的意义。同时，问题的“开放性”，还包括问题具有多种 不同的解法，或者多种可能的解答，打破“每一 问题都有唯一的标准解答”和“问题中所给的信 息都有用”的传统观念，这对于学生的思想解放 和创新能力的发挥具有极为重要的意义。二、数学问题解决（一）对“问题解决”讷理解从国际上看，对“问题解决”长期 以来有着不同的理解，因而赋予“问题解决”以多种含义，总括起 来有以下六种：1、把“问题解决”作为一种教学目的。例如美国的贝格教授认为：飞教授数学 的真正理由是因为数学有着广泛型 教授数学要有利于解决各种问题”“学习怎样解决问题是学习数学的 的”。E.A.Silver教授也认为本世纪80年代以来,世界上几乎所有的国家都把提高学生的 问题解决的能力作为数学教学的主要目 伍之一。当“问题解决”被认为是数学教学 的一个目的时，它就独立于特殊的 问题，独立于一般过程和方法以及 数学的具体内容，此时，这种观点 将影响到数学课程的设计和确定，并对课堂教学实践有重要的指导旅 用。2、把“问题解决”作为一个数学基本技能。例如美国教育咨询委员会认为“问题解 决”是一种数学基本技函他们对如何 定义和评价这项技能进行了锌学探索和 研究。当“问题解决”被视为一个基本技能时，它远非一个单一的技巧，而是若干个技 巧的一个整体，需要人们从具体内容、问题的形式、构造数学模型、设计求解 模型的方法等等综合考虑。3、把“问题解决”作为一种教学形式。例如英国的柯可劳夫M等人认为,应当在教学形式中增加讨论、研 究问题解决和探索等形式，他还 指出在英国，教师们还远远没有 把“问题解决”的活动形式作为 教学的类型。4、把“问题解决”作为一种过程。例如21世纪的数学纲要中提出“问题 解决”是学生应用以前获得的知识投入到 新或不熟悉的情境中的一个过程。美国的雷布朗斯认为：“个体已经形成的 有关过程的认识结构被用来处理个体所面 临的问题”？此种解释，可以使一个人使 用原先所掌握的知识、技巧以及对问题的 理解来适应一种不熟悉状况所需要的这样 一种手段，它着重考虑学生用以解决问题 的方法、策略和猜想。5、把“问题解决”作为法贝！J。股的解 指颖去 中新则 用法 典是的 辞性多 育特更 教的或 际“个。国决两题 解合问 在题组个 如问法一 例“方决6、把“问题解决”作为能力。例如1982年英国的Cockcroft report认为那种把数学用之于 各种情况的能力，称之为“问题 解决“O综合以上各种观点，虽然对“问 题解决”的描述不同，形式不一,但是，它们所强调的有着共同的 东西，即“问题解决”不应该仅 仅理解为一种具体教学形式或技 能，它应贯穿在整个教学教育之 中。“问题解决”的教学目的是很明 确的，那就是要帮助学生提高解 决实际问题能力，而且“问题解 决”的过程是一个创造性的活动,因而是数学教学中最重要的一种 活动？q以下是从文献中对“问题解决”、的六个不同的概念：问题解决(1)解决教科书中标题文字题，有 也叫做练习题；解决非常规的问题；(3)逻辑问题和“游戏”；(4)构造性问题；(5)计算机模拟题；I 1(6)“现实生活”情境题。在“问题解决”中，相当一部份是实际生 活中例子。从构造数学模型、设计求解模 型的方法，再到检验与回顾等整个过程要 由学生去发现、去设计、去创新、去完成,这是“问题解决”与创造性思维密切联系 之所在。、数学教师应创造更有利于问题解决的条件,在为所有年级编制出好的问题并传授解决 问题的技能、技巧的同时，尽力为学生的 创造性思维提供良好的课堂环境与机会、乃至服务。（二）数学问题解决的心理分析1、从学习心理学看“问题解 决”从学习心理学角度来看，问题解 决一般理解为一种认知操作过程 或心理活动过程。问题解决所谓“问题解决”指的是一系列有目 的指向认知操作过程，是以思考为内 涵、以问题为目标定向的心理活动过 程。具体来说，问题解决是指人们面 临新的问题情境、新课题，发现它与 主客观需要的矛盾而自己缺少现成对 策时，所引起的寻求处理问题办法的 一种心理活动过程。问题解决是一种带有创造性的高级心理活 动，其核心是思考与探索。认知心理学家认为，问题解决有两种基本 类型：一是需要产生新的程序的问题解决，属于 创造性问题解决；一是运用已知或现成程序的问题解决，是 常规性问题解决。数学中的问题解决一般属于创造性问题解 决，不仅需要构建适当的程序达到问题的 目标，而且更侧重于探索达到目标的过程。问题解决有两种形式的探索途径：试 误式和顿悟式。岚溪式是对头脑中出现的解决问题的 各种途径进行尝试筛选，直至发现问 题解决的合理途径。颜傍式是在长期不懈地思考而又不得 其解时，受某种情境或因素的启发，突然发现解决的方法和途径或方式。对中学生而言，这两种探索形式都是 问题解决不可缺少策略。2、数学问题解决的心理过程现代学习心理学探究表明，问题分为三种 状态，即初始状态、中间状态和目的状态。问题解决就是从问题的初始状态开始，寻 求适当的途径和方法达到目的状态的过程。因此，问题解决实质上是运用已有的知识 经验，通过思考探索新情境中问题结果和 达到问题的目的状态的过程。以数学对象和数学课题为研究客体 的问题解决叫做数学问题解决。一般来说，数学问题解决是在一定 的问题情境中开始。所谓问题情境，是指问题的刺激模 式，即问题是以什么样的形态、A 式组成和出现的。其内涵包括三个方面：第一、个体试图达到某二月标；第二、个体与目标之间存在一定的距离，它将引起学生内部的认知矛盾冲突；第三、能激起个体积极心理状态，即产生 思考、探索和达到目标的心向，从而刺激 学生积极主动的思维活动。.因此，数学问题解决是从问题情境开始，运用已有的知识经验，克服认知矛盾冲突,积极主动地寻求和达到问题结果的过程。数学教育家波利亚在怎样解题 一书中指出：数学问题解决过程必须经过下列 四个步骤，即理解问题、明确任务；，拟定求解计划；实现求解计划q 检验和回顾。关于问题解决的过程讨论，数学问题 解决在一定的问题情境中开始，要求 教师根据问题的性质、学生的认识规 律和学生所学知识的内部联系，创造 一种教学中问题情境，以引起学生内 部的认知矛盾冲突，激发起学生积极、主动的思维活动，再经过教师启发和 帮助，通过学生主动地分析、探索并 提出解决问题方法、检验这种方法等 思维活动，从而达到掌握知识、发展 能力的教学目的。1、数学问题解决的教学策略（一）问题解决教学的策略分析“问题解决教学”是以数学问题为中 心，在教师的引导下，通过学生独立 思考和交流讨论等形式，对数学问题 进行求解、发展与延伸、迁移与变形 等环节，培养学生处理信息、获取新 知、应用新知的能力、积极探索的科 学精神、团结协作的能力。1、“问题解决”是数学教育的核在课堂教学中设计“好%问题是极 其重要的。在每节课中，问题要努力 做到：包含明显的数学概念或技巧；，能推广或扩充到数学各单元知识和 各种情形；1有着多种解决方法。2、怎样进行问题解决教学？给学生提供一种轻松愉快的气氛和生动活泼 的环境；从学生的已有经验出发提出问题，引起学生 对结论的迫切追求的愿望，将学生置于一种主 动参与的位置；大胆鼓励学生运用直觉去寻求解题策略，必 要时给一些提示；、讨论各种成功的解决，归纳出问题解决的核 心。如果可能的话和以前的问题联系起来，对 问题进行推广，概括出一般原理。3、“问题解决”的心理机制。在从已知状态到目标状态的问题过程中，要进行一系列心理操作，课堂教学中要努 力地解决：领会与同化。学生要用自己的语言转 换命题，并整体地将问题吸入已有的认知 结构中去；寻求策略与验证。思维有跃向结论的 倾向，分析解题的过程有助于学生寻求策 略技能的提高，各种解题策略的比较与验 证更可以增强学生的创造性与批判精神。4、在数学问题解决过程中，策略的产生和 执行，首先取决于概念是杳清楚。理解是第一位的，没有理解的训练是毫无价 值和意义的。当然对概念的理解也是动态的，当学生对二 次函数的定义、性质、图像、最值有了初步 的正确的理解以后，在具体的应用中，不但 巩固了原有的理解，并且还会达到新的高度,深度的理解。5、能否在数学知识的应用中，迸发 出灿烂的思维火花，学生的智力基础,认知方式是及其重要的，原有数学知 识基础也很重要。但是教学设计也是至关重要的：精选“好的”问题，铺设合适的坡度，营 造良好的氛围。这需要教师的精心的教学设计，在“好的”问题合适的坡度和良好的氛 围创设过程中，把握“量”的度、“强”、“难”的度。6、理解和技能如何进行定量把握：要考察学生的智力基础，能力基础 和认知方式等。依据学生的基础和认知特点、寸火 学的阶段的数学知识点作定量分析,是完全可行的。同时对学生理解和技能的要求也例 一个梯度，不能不同的学生，却要 达到同一的标准。7、运算能力，要辑思维能力，空间 想象能力，分析问题解决问题能力，以及学生的智力和认知特点等构成 了学生的数学素质。把数学的概念教学、问题解决教学的 立足点放在提高学生素质上，这是今 天数学教学的方向，是完全可以做到 的。（二）问题解g教学的策略 1、重视通性通法教学，引、导学生概括、领悟常见的数学思想与方看I数学思想较之数学基础知识，有更高的居次和 地位。它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的 过程中，它是一种数学意识，属于思维的范畴,用以对数学问题的认识、处理和解决。数学方 法是数学思想的具体体现，具有模式化与可操 作性的特征，可以作为解题的具体手段。只有 对数学思想与方法概括了，才能在分析和解决 问题时得心应手；只有领悟了数学思想与方法,书本的、别人的知识技巧才会变成自己的能力。每一种数学思想与方法都有它们适 用的特定环境和依据的基本理论，如分类讨论思想可以分成、(1)由于概念本身需要分类的，象 等比数列的求和公式中对公比的分 类和直线方程中对斜率的分类等；(2)同解变形中需要分类的，如含 参问题中对参数的讨论、解不等式 组中解集的讨论等。又如数学方法的选择，二次函数问 题常用配方法，含参问题常用待定 系数法等。因此，在数学课堂教学中应重视通性通法，淡化特殊技巧，使学生认 识一种“思想”或“方法”的个性,即认识一种数学思想或方法对于解 决什么样的问题有效。从而培养和 提高学生合理、正确地应用数学思 想与方法分析和解决问题的能力。2、加强应用题的教学，提高学生 的模式识别熊力高考是注重能力的考试丁特别是学 生运用数学知识和方法分析问题和 解决问题的能力，更是考查的重点，而高考中的应用题就着重考查这方 面的能力。数学是充满模式的，就解应用题而、言，对其数学模式的识别是解决它 的前提。由于高考考查的都不是原始的实际问题,命题者对生产、生活中的原始问题的设 计加工使每个应用题都有其数学模型。在高中数学教学中，不但要重视应用题 的教学，同时要对应用题进行专题训练,引导学生总结、归纳各种应用题的数学 模型，这样学生才能有的放矢，合理运 用数学思想和方法分析和解决实际问题。3、适当进行开放题和新型题的训 练，拓宽学生的知识面要分析和解决问题，必先理解题意，才 能进一步运用数学思想和方法解决问题。近年来，随着新技术革命的飞速发展，要求数学教育培养出更高数学素质、具 有更强的创造能力的人才，这一点体现 在高考上就是一些新背景题、开放题的 出现，更加注重了能力的考查。由于开放题的特征是题目的条件不 充分，或没有确定的结论，而新背 景题的背景新，这样给学生在题意 的理解和解题方法的选择上制造了 不少的麻烦，导致失分率较高。因此，在高中数学教学中适当进行 开放题和新型题的训练，拓宽学生 的知识面是提高学生分析和解决问 题能力的必要的补充。4、重视解题的回顾在数学解题过程中，解决问题以后,再回过头来对自己的解题活动加以 回顾与探讨、分析与研究，是非常 必要的一个重要环节。这是数学解题过程的最后阶段，血 是对提高学生分析和解决问题能力 最有意义的阶段。解题教学的目的并不单纯为了求得问题 的结果，真正的目的是为了提高学生分 析和解决问题的能力，培养学生的创造 精神，而这一教学目的恰恰主要通过回 顾解题的教学来实现。下I所以，在数学教学中要十分重视解题的 回顾，与学生一起对解题的结果和解法 进行细致的分析，对解题的主要思想、关键因素和同一类型问题的解法进行腐 括，可以帮助学生从解题中总结出数学 的基本思想和方法加以掌握，并将它们 用到新的问题中去，成为以后分析和解 决问题的有力武器。（三）数学问题选择和呈示的策略课堂教学中，教师必须要向学生提 供一个好问题。一个“好问题”应 当具有以下三个特征：、第一，从学习者的角度来看，劭 问题”必须具有可接受性、障碍座 和探究性。可斐受性是指问题要容易为学生所理解 问的是什么，要有一定的意义容易引起学 生对问题的关注；x犀碍性则是要求问题要符合维果斯基的 最近发展区原理，也就是问题的解决办法 不是显而易见的，是没有现成的方法可供 使用的但又确实与已学内容有一定联系的 问题；捷究度是指学生能进行探究，而探究的 过程又有明确的价值取向，如中学数学教 学内容的价值、思维的价值或是人文的价 值等。第二，从教师角度来看，“好问 题”应当有可控卷,可劲生是指教师对所选问题在尝试 引导环节中要能对学生的活动围绕 着教学中心加以适当的控制与诱导。目前中学数学教学任务繁重，如果 要将问题解决教学应用于日常教学,那么大纲、教材的教学任务根本完 不成，因此很多教师对“问题解决 教学”采取敬而远之的态度。第三，从数学内部来看，问题要 具有可生性、开放性可生性是指所选取的问题要有新问 题或新知识的生长点，能够在部份 更改条件下能产生新的问题，或是 问题能够迁移、变形，或变换思维 角度有不同的解法。选择了一个好问题，教师必须创造性地 加工和处理教材，对教学内容做到舍取 有度，创设一定情境导入。教师在创设 情境导入设计时，应考虑以下原则：针对性:具有针对性的导入，才能满足 学生的听课需要；启发性:具有启发性的导入，可以发展 学生的思维能力；、,新颖性:具有新颖性的导入，能够吸引 学生的注意指向；趣味性:具有趣味性的导入，可以激发 学生的学习兴趣；互动性:具有互动性的导入，才有学生 的一直参与，而不是等待问题的出现；简洁性:具有简洁性的导入，能够节约 学生的听课时间。只有将课本研究活了，在教学设计中才 能有一个好的导入，这样问题解决教学 中呈示出来的问题才会有份量、有质量（四）问题解决教学策略应重点关注问题解决的教学活动过程是在教师 组织、引导下，学生一直参与活动 的过程，因此在教学活动过程中教 师的地位、作用、学生的学习方式 等都是不同于传统教学的。在教学中，教师要注意：1、构建问题解决的合作关系。问题解决教学过程中，教师是学生学习 的组织者、合作者、参与者，教师的作 用在于引导。师生之间的对话，不再将重点放在是什 么的知识上，而是着重于为什么的知覆 上，科学地应用主体发展策略、动机激 发策略和层次设计策略以及探究创新策 略。对学生的有效的尝试指导，在教学 设计时对学生的起点技能、先决技 能做认真的分析，对目标技能做恰 当的设定是十分必要的。教师可根据学生的学习能力等情况 成立学生学习合作小组，在教学进 程中，大胆把学习主动权交给学生,让学生主动探究，共同讨论，互相 交流，充分发挥学生的学习主体性。2、启发学生思维。在课堂教学中，教师的对话与指导要有一 显一隐两条主线：外显的主线是学生的活 动，内隐的主线则是学生的思维。问题解决教学设计中，根据学生的外显的 活动对学生的思维进行分析并适时进行指 导；在启发指导时使用的语言要具有发散 性，不能禁锢学生的思维；不论学生得出 的结论怎样，要在与学生的对话中鼓励学 生大胆说出自己是怎么想的；教师指导学 生的重点应是启发学生怎么去想，怎么做 则是想好以后顺理成章的事。3、教师的对话和指导应突破认知领域 而延伸到情感等其他领域。在课堂教学中，要动态地对学生进 行指导和评价。1要善于发现学生的闪光点，及时地 给予鼓励和肯定；当学生思维受阻时，教师应用一些充分 肯定、具有明确指导意义的过渡语给予 学生评价和引导，这样既指出了思考、讨论的方向，又教给学生学习的方法，增强学生战胜困难的信心，形成良好的 学习态度；面对学生的“失败”过程，教师也应肯 定“失败”的思维价值，用“想法很 好”、“要发现真理就要敢于失败”、“尽管失败，但再想一想是否还有别的 办法，也许离成功不远了。”等春雨般的语言来滋润学生“愤”、“T非”之心，使学生的感情需要得到满足，面对 挫折学生还保持乐观的态度。课堂教学中，教师热情洋溢的赞美、肯定、鼓励和褒奖，是学生创新精神和能力的生 长剂，无疑会使学生受到极大的鼓舞，会 使学生认识到自己的潜能和才智。这种积极的评价和引导，不但会有利于问 题的解决，而且会使学生增强战胜困难的 勇气和努力学好数学的决心，学生在学习 过程中形成积极的心理影响会使他们终生 受益。4、引导问题发展和迁移。问题的发展是指进行问题解决教学时，在课创设的问题情境中的问题已经获解 的情况下，在问题情境中的新问题、新 知识的生长点上，对问题进一步探究而 提出新的问题并形成新的问题情境而作 为问题解决教学的进一步延伸或升华这一环节，充分体现数学思维的深刻 批判性和创造性，教师通常采用的策略 有：(1)对学生的隼解进行剖析。在问题解决教学中，对问题的解决，既可 以指肯定性的获得，也可以指否定性的判 断，即证明了原来的问题是不可能得到解 决的或是某些方法是不可能对这一问题进 行解决的，还可以指对学生具有反面意义 的典型的错误思维方式与思维过程。后者，对于学生在问题解决中出现的一4 似是而非的“解法”进行必要的反思，是 培养和提高学生元认知能力的有效方法，是优化学生思维品质的有效途径。(2)对问题信境史的条件进行考 察、变更，探索提岬的结论。在问题获解以后，教师并没有停留 在问题表面，而是通过对条件进行 考察，得到新的发现或新的问题。(3)对课本例题进行变式思考,或者换位思考。问题的变式或换位思考，是数学思想的 根本，有利于教学内容的深化和引申，是培养学生创新意识和能力的有效途径,应当是当前数学问题解决教学中要弓帼 重视的一个方面。