数学所讲座第54讲-从太阳系的稳定性问题谈起-中科院数学研究所尚在久.pdf

数学所讲座，2016年9月7日从太阳系的稳定性问题谈起尚在久科院数学与系统科学探讨院报告摘要本报告围绕基于牛顿运动方程的太阳系的稳定性问题（简称“稳定性问题”），简要介 绍天体力学和动力系统的若干交叉发展历史片段,特殊侧重于介绍在解决“稳定性问题”的过程中 发展起来的某些动力系统基本概念、基本方法和 本结果，从中窥探一个好的科学问题如何许久 动数学基础理论发展，一个有生命力的数学牛顿(Isa a c Newton,1643-1727)Philosophic Naturalis Principia Mathematica(1687)自然哲学的数学原理 牛顿运动方程（其次定律+万有引力定律）：d 2r.ITli d2t F/ri r2 i=L，NF,(%，2n)=EGm-m.r-r.I J_I Jlrj KF N质点系统的状态空间（6N维）：TM,其中M=EXEX-E A,是碰撞流形 10个首次积分：质心做匀速直线运动：6个首次积分;动量矩守恒：3个首次积分；能量守恒：一个首次积分2（Kepl er二体问题），6N-10=2（方程可解！）；.二体问题），6N-10=8（方程不行解！）三体质量为零，被称为“限制性三体问题”，在一些特殊情形可求得 析解（但求不出全部解！）。73太阳系：是以太阳为中心，和全部受到太阳引力约束的天体集合。行星：水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星;电的卫星；5颗已经辨别出来的矮行星；数以亿计的太阳系小天体，杭乘飞行器等）。牛顿运动方程的数学推导（牛顿）伽利略时空0R（己耳伽利略变换：（1）保持时间间隔不变；（2）保持同一时 刻两事务间距离不变速直线运动空参照系原点平移系的旋转般的伽利略变换是7质,的 略变匀时坐上述三个基本变换的复合利略变换：每个质点做相同的上述伽利 Kepl er问题:N=2牛顿依据Kepl er三定律推导出天体间作用力与距 离的平方成反比 The direc t Kepl er probl em(nl e probl eme direc t):given a c urve(e.g.a n el l ipse)a nd the c enter a ttra c tion(e.g.the foc us),wha t is the l a w of this|c tion if Kepl er*s sec ond l a w hol ds?iAiKNewton):if a body moves on a nfil ter of forc e is a t one of the foc i,牛顿运动方程求解?(J.Herma nn,J.Bernoul l i,Eul er,etc Kepler 问题求解(N=2)：“The inverse Keplerproblem：牛顿验证了 Kepler 三定律；Differentia l equa tion:二 FT=0(Consta nt)Initia l c onditions a t time t=tj：J.Hermann,Johann Bernoulli(1710)：，给出了Kepler问题的精确解;殊，J.Bernoulli的解法成为 喈解法(利用了守恒律)式)=行 血I)=近 Sol utionr(t)a nd(known position)(known vel oc ity)v(t)=r(t)for a l l t1571-1630,德国天文学家，丹麦天文图台长Kepler问题f S)层(轨线方程)re cos j=r-e=-=-r=pr r!iTra jec tory(in pol a r c oordina tes)perifoc a l fra me1+6 COS f上真近点角夕X，半长轴e=离心率开普勒轨道根数：天体状态坐标：z 3KC 匕近地点 遒平面卫星赤j春分点一近地点角距一轨道偏心率X轨道椭圆中心to过近地点时刻 V长半径i轨道目角 升交点N-体问题 N-体问题：之3（无解析解！Poinc a r6）在Poinc a rS以前,牛顿运动方程的求解始 终是微分方程的主要探讨课题，鲜有实质性 进展。但是此问题刺激了常微分方程、变分 学、拓扑学、动力系统和数学其它分支的发 展涌现了大批著名数学家。本报告涉及到还有：La pl a c e,La gra nge,Poisson,Liouvil l e,il ton,Poinc a re,Kol mogorov和Arnol d,拉普拉斯(Pierre-Simon La pl a c e)：法国的牛顿 1749-1827法国数学家、天体力学的主要奠基人 Mecanique Celeste(Celestial Meehanics)5卷(1799-1825)牛顿虽然独创了微积分,但是并没有用来求解他建立的运动方程,他探讨天体力学问题还是运用繁琐的几何推理方法;经麦克劳林、伯努利兄弟、泰勒和欧拉等对微积分的发展,特殊是伯努利兄弟和欧拉对微分方程的 探讨,起先了求解牛顿运动方程的漫长征程。关于太阳系稳定性问题,第一个提出并取得实质性进展的是拉普拉斯。“太阳系的稳定性问题”：在牛顿万有引力作用下,在遥远的将来,太阳系是否还保持现在的运动状态?是否有行星会发生碰撞或者逃逸到太阳系以外?“证明”(1773)-经行星椭圆轨道离心率的一次幕级数靠近,平均系统各行星主半轴无长期变更。哲学:牛顿-拉普拉斯确定论。即目前的状态确定过去和将来(常微分方程初值问题解的存在唯一性。但是无所不在的分叉和混沌现象颠覆了Laplace的确定论信条)。*Laplace摄动法一 求解数学物理方程的主要方法 发展了摄动法，开创了天体力学探讨新局面（19世纪中叶Ada ms和Le Verrier据此精 确计算发觉了海王星-太阳系最外层一颗行星）；说明木星轨道为什么在不断地收 缩，而同时土星轨道又在不断地膨胀。用数学方法证明行星的轨道大小只有周期性 变更，为偏心率和倾角的3次塞。发觉木星三卫星和土星四卫星的公度关系（频率的 有理相关性）；给出保守力的势函数表示，提出拉普拉斯调和方程（1784-85）；摄动法：把方程未知量分成慢变量（如半长轴、离心率、倾角等）和快变量（如角 变量等），平均系统是对天体绕行一周做平均得到的系统。QO其中,拉格朗日(La gra nge,1736-1813)生于意大利，先后供职于都灵、柏林普鲁士科学院，定居巴黎分析力学“力学成为分析学的一个分支”La gra nge对稳定性问题的贡献（1774-76）：把La pl a c e的结果推广到关于椭圆轨 道离心率的全部阶靠近，对轨道平面相互间倾角的全部阶靠近以及对行星质量与 太阳质量之比的一阶靠近（照旧针对平均系统！）。La gra nge的更大贡献是建立了La gra nge力学，发展了变分学。La gra nge 函数:作用量变分:d BL 3L=(3dtQq BqLagrange力学和变分原理针对带约束的力学系统，发展了牛顿力学，建立了拉格朗日力学一-牛顿力学的一种新的表述；特殊引入作用量（La gra nge函数）、广义坐 标和广义动量，使得La gra nge表述下的运动方程（Eul er-La gra nge方程）具有形式不变性-这是一个特殊重要的性质，使得力学问题有了统一 系统的数学处理方法，更具有普适性，而且为之后更重要的Ha mil ton力 学供应了条件；除了经典力学，场论和统计物理也都接受La gra nge和 Ha mil ton表述，成为更具普适性的数学框架。由此也推动数学分析成为 一个独立的分支。La gra nge变分原理：作用量（La gra nge函数的路径积分）取微小）普遍适用的原理（任何一种物理或力学平衡态都可认为是某种“泛函取极值的态，如天体的周期运动以及各天体间稳定的位置关系都可泊松(Simoen Da nies Poisson,1781-1840)法国数学家、物理学家、力学家力学教程(2卷)-一发展了拉格朗日和拉普拉斯的思想，成为名著受到Laplace和Lagrange赏识，擅长应用数学方法探讨各类力学和物理问题，并由此得到数学上的发 觉；他对积分理论、行星运动理论、热物理、弹性理论、电磁理论、位势理论和概率论都有重要贡献;在天体力学方面，他探讨了关于月球和行星的理论以及太阳系稳定性的某些问题，计算出由球体和椭 体引起的万有引力；1定性问题：推广了Lagrange的结果，证明白行星的长轴关于质量比的二阶扰动不含长期项(1809)；Bison稳定性：质点系统的构型反复地回到初始位置旁边，则系统被称为Poisson稳定一一引出后来 加oincare回复定理(动力系统的基本定理之一)。的刘维尔(Joseph Liouvil l e,1809-1882)法国数学家 创办纯粹与应用数学杂志(Journal de matematiques pures et appli quees),并亲自主持 了前39卷的编辑出版工作，被后人称为刘维尔杂志(Liouville，s Journal)o著名的伽罗瓦群 论的文章是LiuviHe在伽罗瓦死后亲自编辑发表的。椭圆函数、微分方程、数论等方面贡献卓著；引进作用-角变量，提出Liouville可积性(Kepler问题是可积的)稳定性问题：Poisson之后近70年无进展，Liouville于1878年显著简化了Poisson很长的证明，引I入了新的方法。年轻的Spiru Haretu(罗马尼亚，1851-1912)证明：行星轨道长轴关于与太阳质|量比的三阶幕级数绽开项中出现长期项，从而明确得出与Laplace,Lagrange和Poisson相反的 结论。明中利用了牛顿运动方程的Hamilton表述和对称约化的思想，将计算推动到三阶靠近。这个证明 表期定量方法已经走向了死胡同，稳定性问题其离解决路途遥远。口*7):除了塞级数绽开法外，没有其他定量方法能解决稳定性问题。哈密尔顿(Wil l ia m Rowa n Ha mil ton,1805-1865)爱尔兰数学家、力学家和天文学家 探讨几何光学时提出并发展了Ha mil ton典则方程，后应用于经典 力学发展出Ha mil ton力学-牛顿力学的新的表述，更具普适性。哈密尔顿力学（q，p）相空间上的辛结构：非退化反对称微分2-形式 哈密尔顿系统在相空间上的演化是单参数辛变换群，即保持辛结构不变的 变换；Ha mil ton函数在辛变换下不变，自治系统能量守恒；基于哈密尔顿方程，经Ja c obi以及Lindstedt等人的发展，经典力学中基于La pl a c e扰动绽开的事级数解法已经发展的特殊成熟。在作用-角变量下，哈密尔顿函数KQ）是可积哈密尔顿函数（如Kepl er二体问题），W是小参数;Ha mil ton-Ja c obi方程：求 S,K”满足:塞级数解(Lindstedt)：若塞级数解存在且收敛，则在新的作用-角坐标(人)下，运动方程为:庞加莱(Jul es Henri Poinc a re,1854-1912)法国数学家 探讨涉及数论、代数学、几何学、函数论和微分方程等很多领域，特殊他开创了动力系统和组合 拓扑学。他被公认是19世纪后四分之一和二十世纪初的领袖数学家，是对于数学和它的应用具有 全面学问的最终一个人。他和Hilbert是对二十世纪的数学影响最大的两个人。阿达玛认为庞加 莱“整个地变更了数学科学的状况，在一切方向上打开了新的道路。”庞加莱关于稳定性问题的工作起源于1885年瑞典国王奥斯卡二世所设的一项有奖问题(Acta卜 1 Mathematica,Vol.7,1885)：f 4 一个只受牛顿引力作用的质点系统，假设没有任何两个质点发生碰撞，则各个质点的坐标作为时间的函数可表示为一个一样收敛的幕级数的和，其中幕级数的每一项由已知函数给出。K这个问题由当时欧洲的数学权威Weierstrass受命给出(评奖委员会还有Hermite和Mittag-Leff,具上世纪70年头公布的Weistrass与Kowalevskaya的通信显示，Dirichlet曾于1858年声称江明白这个问题，但是由于其很快去世，手稿遗失。但Weierstrass深信Dirichlet是对的，Wb把此间翻的是想找到Dirichlet的证明。1888年,狄利克雷(Diric hl et,Peter Gusta v Lejeune,18051859)德国数学家，高斯的继任者，解析数论创始人，庞加莱提交了关于这个问题的论文“关于三体问题的动态方程”(Sur l e probl eme des trois c orps et l es equa tions de l a dyna mique,Ac ta Ma th 1890,270页)，但并不是证明这样的级数一样收敛，相反，他证明白这样的级数一般发散，想求得“N体问题”的通解是不行能的!发散的缘由是幕级数的每一项的系数都包含所谓的“小分母”(分母是一个 固定频率映射和可随意取值的整数向量的内积一一因此这个内积随着级数项 数的增大可随意小！而且在一个稠密但零测度集合上取值为零！)。这个结果对Weierstra ss是个打击。但是评奖委员会还是确定把奖颁给 Poinc a re,因为他的工作深化了人们对“N体问题”的理解，深刻揭示了其动 力学的困难性。庞加莱之后在“N体问题”方面的工作，更开创了微分方程定站理论和动力系统新领域。动力系统的很多概念和问题来自Poinc a re(LesRethods Nouvel l es de l a Mec a nique Cel este-天体力学新方法三卷）。Brkhoff,Kol mogorov,Sma l e,Arnol d,Moser等人的工作，动力系统逐 罢困处力学的局限，成为一门独立的学科，特殊几何、拓扑和分析等强 确除窿的应用,使得动力系统获得了巨大发展，也产生了重要的应用。Weierstrass的坚决信念和Kolmogorov的深刻洞据公开的信件显示，Weierstrass细致审核了庞加莱的论文后，认为也不解除存在收敛的塞 级数解。Weierstrass的这个信念被苏联数学家A.N.Kolgmorov（1954）和V.I.Arnold（1963）证明白，即的确能够验证：从相空间的大多数初值动身的轨道其解是由 关于时间一样收敛的幕级数表达的，更好的是，这些解是拟周期的，因此是稳定的。Poincare的结果已经表明：一般来说，可积系统经扰动后不再是可积的，因此Lindstedt的 方法试图把近可积哈密尔顿系统在典则坐标变换下变成可积系统是行不通的。*Kolmogorov的思想：类似于函数求根，对微分方程在其解旁边运用牛顿迭代，但是因为“小分母”问题，迭代的收敛性证明是主要难点，但利用牛顿迭代的二次收敛性以及系统的 斤性质（解析函数Fourier绽开的系数指数衰减），正好能够补偿丢番图频率向量带来的 盒小分母的系数的累次增长，从而得以保证迭代过程收敛，而且由于丢番图向量在频率 能间是全测集，这个过程在一个大测度集合上收敛，Kolmogorov最初给的条件是可积 系统的磔率映射非退化，保证给定丢番图频率的不变环面的存在性。1998年H.Ruessmann非条面虽/)减弱幺只要频率映射的像不落在过原点的超平面就行，不过此时不变环 徒是指定频率的不变环面（频率飘移）。KAM定理间接证明白 部分收敛）。柯尔莫哥洛夫（AN Kol mogorov49前苏联数学家 实分析、泛函分析、概率论、动力系统、流体力学 Kol mogorov定理：一般情形的近可积哈密顿系统的拟周期解在相空间中占据一个正测 度的无处稠密的集，其测度随着扰动趋于零趋于一个全测集。（发表在ICM54会议文集上（闭幕演讲，仅4页，包含了证明思路）近可积系统：完全可积系统+小扰动一般情形：可积系统非退化（或者等能非退化）（不能干脆应用于太阳系！）拟周期解的频率的个数=自由度数，在最大维数的环面上遍历（微小不变环面）！E环面的频率是丢番图向量（全部丢番图向量构成全测集）。证明被其学生V.Arnol d（1963）对解析哈密尔顿系统和德国的J.Moser（1962）矗近可微的二维扭转映射给出。定理被后来的数学界冠名为KAM定理，被认为是 接演力学和动力系统的突破性成果。8题”.-Rrnol d的一系列工作（克服Kepl er退化!）VI.Arnold（1937.2010）,俄罗斯数学家（天体力学，辛几何，动力系统，代数几何）J.Moser（1928-1999）,德国数学家（微分方程，动力系统，辛几何）“小分母问题”的相关工作：C.L.Siegel（1896-1981）,德国数学家（数论，复分析，天体力学）解析函数的线性化问题（首先克服了小分母困难，1942）-Siegel disk J.C.Yoc c oz（1984,1985,1995）,法国数学家，F iel ds奖（1994）V.L Arnol d(1959):M.Herma n(1976):，Ruth,冯康 1980s)ubry-Ma ther theory（应用于解决Arnol d扩散：Ma ther+程崇庆）；J.Mather(1942-)理论在退化、无穷维、低维环面等情形的丰富和完善;潴想（1897）：有限时间内产生非碰撞奇点.Ma th.1992）：构造了一个五体问题的例；期解理论，天体力学中心构形（变分法）关于KAM定理的注记揭示了近可积哈密尔顿系统的动力学困难性（拓扑不稳定）KAM定理表明，n个自由度的非退化且完全可积的哈密尔顿系统，在系统 的结构扰动下，大多数初值动身的运动都是拟周期运动，其微小不变集是n维 环面。这些环面的并是相空间的一个大测度的Ca ntor集，余集是相空间的稠 密的开集，但测度随着扰动的减小而趋于零。当n=2时，紧的能量面是3维，每个二维不变环面把能量面分割成不连通的两部分（内部和外部），因而能 量面被不行数多的二维不变环面分割开来，而且这些不变换面在能量面上占 据了一个大测度的集合，因此保证了运动稳定性。当好3时，能量面是5维，三维不变环面不能把5维能量面分割成不连通的部分，Arnol d揣测，不变环面 以外的初值动身的相轨道可能具有运动不稳定性，1964年他举例说明这种现 存在，但扩散速度与系统扰动相比指数级慢，被称为Arnol d慢扩散。1977 Nekhoroshev证明：假如扩散存在，一般状况下扩散速度的确指数级慢（折哈密尔顿系统）。但扩散是否存在？这始终是哈密尔顿系统领域一个 制主的问题，一些学者从Arnol d的几何方法角度，另一些学者从Ma ther1991）的角度进行探讨，取得一些进展，较大的进展是由程崇庆 由度近可积哈密尔顿系统的扩散轨道的存在性）。揭示了近可积哈密尔顿系统在近乎随机选取初值的意义下的运动稳定t不变环内确定有周期解,即相空间中的闭曲线（闭轨道）。但是只、有稳定的轨道才应当是有意义的。在Poinc a re之前，Hil l（1978）探讨月 球的运动（平面限制三体问题），找到了月球方程的两个周期解，落在能量面（非紧）Hil lHil l的理论极大地吸引了Poinc a re的留意，深刻地影响了 oinc a re,依据G.D.Birkhoff的说法，“Hil l关于月球理论的探讨掀开了 R 触动力学的重要篇章”。Poinc a re证明白哈密尔顿系统在椭圆平衡点比穷多周期解，构成一张过此平衡点的二维曲面，但全部这些周 解证明。直到1979年，M.Kummer才运用KAM定理证 期轨道的稳定性，时间过去了整整一个世纪。应用KAM 修题甚至三提问体周期轨的稳定性已经有了不少工作Lindstedfs 方法S(J.科 t)=3)+.jt(j、e)+em(j)+.(6.39)Phe func tions S.mul ha ve period 2n in p The ol d a nd new Ha mil toniAn a ihfy the rel a tionJ(Ji e)=H(J +kH(equa ting here the terms of the sa me order in e we obta in tbe system of equa tions.W(J)n%(J,M(J)k3Ho岫+H1储仍。）,用(J)=等襄+丹(J,3)，i oJ dyf(6.40)Die func tion Fj is a pol ynomia l in 6s1/8中，.，8S,7，dp、the nota tion(.),for(he a vera ging opera tor a nd the integra l k?n opera tor introduc ed in 6,1.2,the sol ution of system(6.40)is given by the formul a eM H Sl-%*+贷.(6.41)亚 n 阳H S,=T为匹+S?(A J 2.KAM方法(1,0)=月0，)+8,).43)We perform a sympl oc tic nc a r-idc ntity c ha nge of va ria bl es(/.物)i(J,切 so tha t in the new va ria bl es the twims of the Ha mil tonia n of order w do not depend on the phiwes.&di a c hMie of%a rutbl es wa s a l rea dy c onstruc ted in 6,22A in the c onsktera tion of the first a ppra xhna tion for Lindstedts method.It 由 Jven by the genera ting func tion+eS 储9)，S=-Hin(J,5)*.(644)业Here a is the integra tion opera tor,话 the sum of these ha rmonic s of the F ourier a eries of the func tion H whose orders do not exc ieed a n integer AT.The integw N is dujsseD so tha t the a bsul ul e va l ue of the rema inder Rn=i-Hin“the F burier series does not exc eed e.The new Ha mil toniiui#(J,巩 e)ha the form邛,c)=力(J,)+(Z 3)，,尢(4力0(力+曲小产，/*(，叭)=0(J+dncas-为)-F而J+e Ht J+&ds uir、+6R1N 工仍).h(Jt W)=M(J)+”J)”p(i(fc,吩).(垃=同(J，A=i点3)G(*，W)*(6-45)(68)动力系统稳定性问题的探讨揭示了牛顿运动方程和更一般的哈密尔顿系统 表现出极其丰富和困难的动力学行为，有着丰富而深刻的数学内容。Poinc a re的开创性工作，经Bi rkhoff等大批杰出数学家的大力发展，动力系统发展演化成为一个重要的探讨领域和活跃的数学分支。下面 仅就与哈密尔顿系统和稳定性问题亲密相关的几个基本方面做简洁介 绍。(1)(2)圆周保向微分同胚 平面环域扭转映射 解析函数的线性化旋转数(Poinc a re):(1)圆周的保向(微分)同胚:定理1.1(Poinc a re)保向同胚存在旋转数，且旋转数不依靠圆周上点的选取。旋转数是有理数当且仅当同胚的某个有限次迭代映射有不动点。卜旋转数是一个拓扑不变量。理力2(Denjoy,1932)圆周的保向同胚属于，且旋转数 是无理数，则。1+加卜等价于标准旋转c a,e1885年揣测(对三角多项式函数)。明.不我立。稳定性(解析同胚解析共机于旋转映射)定理1.3(Arnold 1960,Ruessmann 1970,Yocc刮晒89)设A是 4 的单位圆周映射，其挺捌上仇.是无 理数，其连分数勤曾设 假如3TT1,则存在 刚性 定理1.4(Hefmmi,钝J若是解析保裔薮碗胚，旋转数满足某种丢番图条件，则 解析共机于标准的圆周旋转。所给的丢番图条件是最优 的(Yoccoz).aTTH 定理1.5(Herman 1976,Khanin&Teplinski 2009)舱L是 保向微分同胚，旋转数满足 丢JdU番图条件，0/力，-1.贝寸(1+-那光滑共朝于标准旋转。定口曲依此访&KhmeIev 2003)若两个圆周保向同 标.胞睢磕&次无理旋转数,都存在唯一的非光滑点(2)环域的保面扭转映射定理2.1(Moser 1962,Herma n 1983)环域上(3+)次可微的标准保 面扭转映射的(3+)次扰动(扰动后的映射还是保面积映射)，存是 同伦于边界的闭曲线，而且闭曲线所占据环面的测度随着扰动的消逝趋 于环面的测度。定理2.2(Poinc a re-Birkhoff)环域上保面扭转微分同胚至少存在两个 不动点。；雷理2.3(Ma ther,1982)设A是环域到自身保持边界旋转的单调扭转同,其在边界的旋转数为a B,对任一 Y：clY Ha mil tonia n func tion Equa tions of motion:dp dq=W=P dt dta se orbits:次鼾onl y equil ibrium(p,q)=(0,0)(el l iptic);f a ny ra dius c entered a t the origin;Explicit Euler:orbits expand outward(wronYJZ v)z,OUQ,O 112(o,口口;一Implicit Euler:orbits contract inward(wrop21.51time step h=0.1+YJZ v)z,OUQ,O 112(o,口口0.52time-step h=0.12_ _iiii-2-1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5 2Midpoint rule:almost circles for“long time”(right)UMqtime-step h=0.1Midpoint rule:almost circles for(right)1 1.5 2eYJZ v)z,OUQ,O 2 11 p.p,to.A nonlinear system:Pendulum Ha mil tonia n func tion:Equa tions of motion:dp.dq dt dtuil ibria 如慢,el l iptic(hyperbol ic)for evenc urves tor;time-step h=0.11.5i-Implicit Euler:orbits contract inward(wrong!)qr,Midpoint rule:closed curves for“very long timrig(0,pi/6)+(P.pi/4)(P.pi/3)time-step h=0.1Midpoint rule:saddle separatrix for a very long(symplectic,area-preserving map)-0.5 Eul er midpoint rul e是辛算法，在一个自由度的情 形，保持相平面面积不变。这特性质可以推广到 高维相空间上的哈密尔顿系统，构造一般的保持 相空间辛结构的算法（冯康等）。Midpoint rule:closed curves for“very long titime-step h=0.1-(O.pi/6)+(0,pi/4)(0,pi/3)