高二数学人教A版选修2－2：综合检测.pdf

选修22综合检测时间120分钟,满分150分。一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每 小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（2013福建理，1）已知复数z的共辗复数3=l+2i（i为虚数单 位），则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案D解析V?=l+2i,：.z=l-2i,对应点为（1,2）在第二象 限.点评复数z=a+历bR）-对应复平面内的点Z（a,b）.2.（2012沾化一中期末）曲线y=4xd在点（一1,3）处的切线 方程是（）A.y=7x+4 B.y=x4C.y=7x+2 D.y=x-2答案D解析yr x=-i=（4-3x2）x=_l=l,，切线方程为y+3=x+1,即=x2.点评求曲线在某点处的切线方程的一般步骤是：（1）求曲线在该点处的导数值（即切线的斜率）；（2）由点斜式写出切线方程.3.若函数次x）=f+加的图象的顶点在第四象限，则函数/（%）的图象是（）yoY NoA B答案Ayy分析利用/（x）=2x+b的单调性及火x）的顶点在第四象限讨论.解析/（x）=2x+6为增函数一.排除B、D；又火x）的顶点在第四象限,：.b09 排除 C,故选 A.4.（2013山东嘉祥一中高二期中）曲线y=Y 3x和y=x围成图形的面积为（）A.4B.8C.10 D.9答案B 3x，x=0,解析由 解得 nU=o,y=-2,)=2.W=2,y=x3 3x与y=x都是奇函数,J围成图形的面积为或=/+11皿，2(叶冬”一坐)则 V=2t-t=-7-，V?0,当 O v/v卡时，yf 0,二.函数)=及+11皿在(0,坐)上单调递减，在咨，+8)上单调递增,y取最小值，故选B.7.设x=3+4i,则复数2=x忖一（1一i）在复平面上的对应点在A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析Vx=3+4z,?.|x|=132+42=5,.*.z=3+4i一5一(1 一i)=(3-5一 1)+(4+l)i=13+5i.复数z在复平面上的对应点在第二象限，故应选B.8.后棱柱有人上)个对角面，则后+1棱柱的对角面个数次后+1)为()A.人上)+E1 B.次后)+左+1C.人上)+左 D.次后)+左一2答案A解析增加的一条侧棱与其不相邻的k2条侧棱形成k2个 对角面，而过与其相邻的两条侧棱的截面原来为侧面，现在也成了一 个对角面，故共增加了 k-1个对角面，火上+1)=次后)+左一1.故选 A.9.(2013浙江理，8)已知e为自然对数的底数，设函数加)=0 1)(1)=1,2),则()A.当左=1时，火工)在x=1处取到极小值B.当左=1时，於)在x=l处取到极大值C.当后=2时，於)在x=l处取到极小值D.当左=2时，加)在x=l处取到极大值答案C解析当 k=l 时,=(ex-l)(x-l),此时/z(x)=ex(x-l)+(ex-l)=ex-x-l,:.A、B 项均错.当左=2 时，小)=0l)(x I)?此时 f (x)=ex(x1)2+(2x2)(exl)=ex,x22xex+2=ex(x+1)(x1)2(xl)=(xl)ex(x+1)2,显然 f f(1)=0,x 时/，(x)0,时，在 x=l 附近 xIO,ex(x+l)2,：.f (x)0 得，0 xWl,故选 A.点评利用导数判断函数单调性的一般步骤求导数/（X）;在函数八）的定义域内解不等式/（x）0和/（x）V0；根据的结果确定函数段）的单调区间.二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分.将正确 答案填在题中横线上）13.（2013山东嘉祥一中高二期中）在等比数列斯中，若前项 之积为则有人=（岛3.那么在等差数列出/中，若前项之和为 sn,用类比的方法得到的结论是.答案S3Ts2一Sn）解析由等比数列前项积，前2项的积，前3项的积类比 得到等差数列前项的和，前2项的和，前3项的和，由等比数列 中（景另类比得等差数列中3（32-S），故有S3=3（S2-S）.14.已知函数 加）=丁+2%2 qx+i在区间（一1,1）上恰有一个极 值点，则实数。的取值范围是.答案-1,7）解析ff（x）=3x2+4x-67,其图象开口向上，由条件知/（一 1）/（1）0,（一14）（7。）0,：.la79 当 4=1 时，（X）=3x2+4x+1=0,在（一1，1）上恰有一根 x=；,当 4=7 时，广（%）=0在（一1,1）上无实根，.一1W”7.15.若xy0 且盯一（x2=2 5i,贝！J x=?y=.答案一2-1解析由复数相等的条件知 二X 十y=5,x=-2,316.（2013玉溪一中高三月考）已知不等式1=0的解集为（一A/I Ct/3I则甲一-.答案2-31n33解析由条件知方程1=0的根为一1或2,.4=1.J/I vZ3 3于1-3心=/(1-足心J o J o=x31n（x+l）|o=2 31n3.三、解答题（本大题共6个小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题满分12分）设复数(l+i)2+3(l-i)z 2+i若 z2-az-b=1+i,求实数。、6的值.解析(1+3+3(1i)2i+3(li)3 i=2+1=2+1=2+i(3 i)(2i)(2+i)(2-i)将 z=1-i 代入 z1 azb=1+i,得(1 i)2+z(l i)+6=l+i，(a+6)-(a+2)i=1+i,a+6=l,ci 3，0时，(x用广(x)+x+l0,求左 的最大值.分析(1)先确定函数的定义域，然后求导函数(x),因不确 定a的正负，故应讨论,结合a的正负分别得出在每一种情况下(x)的正负，从而确立单调区间；(2)分离参数左，将不含有参数的式子看 作一个新函数g(x),将求k的最大值转化为求g(x)的最值问题.解析的定义域为(一8,十8),(x)=e、-a.若aWO,则/(x)0,所以火x)在(一8,+8)单调递增.若。0,则当 x(8,Ina)时，尸(x)。，所以，益)在(一8,in。)单调递减，在(Ino,+8)单调递增.(2)由于 a=l,所以(xk)f(x)+x+1=(xk)(e”l)+x+1.故当 x0 时，(x)+x+l0 等价于x+1ky-+x(x0).e 1令g(x尸器+x，则g a尸尚v 1 1J(C 1)由知,函数/z(x)=ex2在(0,+8)上单调递增.而口0,（2）0,所以力（x）在（0,+8）上存在唯一的零点.故g，（X）在（0,十 8）上存在唯一的零点.设此零点为q,则a（l，2）.当 x（0,Q）时，g，（x）0；当 x（Q,+8）时，g，（x）0.所以 g（x）在（0,+8）的最小值为g（Q）.又由g/（Q）=o,可得e0=a+2,所以 g（Q）=a+1 （2,3）.由于式等价于左g（a）,故整数左的最大值为2.点评本题考查导数的应用及参数的取值范围的求法.利用导 数求参数的取值范围时，经常需将参数分离出来，转化为恒成立问题,最终转化为利用函数的最值求得参数的取值范围.19.（本题满分12分）先观察不等式（居+向（优+选）三（4/1+2人2）2（41、从、Z?2R）的证明过程：设平面向量以=（。1，b）2）则I以尸+b,网=潟+1也2.|a/Wa|网,血+台/2乓弋肃+沅y谒+比,342+-也）2 W（6Z1+质），再类比证明：（肃+沅+。力（涓+）三（的0+6也+Cl/）2.分析把平面向量类比推广到空间向量可以证明.解析设空间向量以=（。1，bl，Cl）,0=（。2,2，。2），则10=肃+而+,网=涓+证+西,“力=。1。2+6/2+01。2,马如,，色+6也+cg|或、肃+府+0/+质+道，.二（。血+b也+eg）2 W（谓+居+ci）（al+:+C2）.20.（本题满分 12 分）设函数“x）=sinxcosx+x+l，0vx2兀，求 函数小）的单调区间与极值.解析f（x）=cosx+sinx+1=/2sin（x+）+1（0 x0），出是线段442的中点,4是线段4243 的中点，4是线段424-1的中点，.（1）写出X与1、2之间的关系式（三3）；（2）设恁=居+1-X”，计算.，色，的，由此推测数列的通项公 式，并加以证明.解析由题意，当三3时，X尸;（xl+x2）1 a 1 3a（2）%i=0,12=，X3=5（、2+修）=5，工4=5（13+12）=J.，一旦 目.=12 一修=，72=13 冷=2，的=14、3=不推测an=（_2）i方法一证明：对于任意N;an=xn+xn.4+l X+2 X+l2。，1又.ai=Q0,，恁是以。为首项，以一；为公比的等比数歹L方法二下面用数学归纳法证明：当=1 时，CL=CL=d 一弓）1 I 结论 61rl=7 1 成立.2（2）假设当=后（左三1,左金N）时，a=；1成立,即ak=a）k_ _X左+X左+1 _Xk X左+1q上+1=%左+2-x左+1=5-x左+1=5则当n=k+时,=67-(-1f+1)-所以n=k+时,(2)t 成立.由可知，数列的通项公式为恁=（一g）T，金N*.22.（本题满分14分）设函数。市耳T+x+a,%e（O5l,aeR+.(1)若小)在(0刀上是增函数，求。的取值范围；(2)求处0在(0，1上的最大值.分析(1)由於)在(0,1上为增函数，知/(x)NO在(0刀上恒成 立，即在(0,1上恒成立，故a只需小于或等于1+J在(0，1上的最小值啦.(2)求处0在(0刀上的最大值时由(1)的结论可对a分类讨论，分 诲及心理两种情况，当OaW表时，由知小)在(0，1上为增 函数，可求最大值，当心地时，可由导数求小)在(0刀上的极大值点.X解析av(、)=一。丁才7+1.因为火x)在(0,1上是增函数，所以/(x)=一招9+1三0在(0J上恒成立，AJX+1由知：当0aW也时，益)在(0,1上是增函数，所以#X)max=AD=(lf)a+l；当 时，令/(x)=0,得 x=JW(O J,因为当 0 x0,当时，/(x)!2时,Xx）max=ayja21.点评已知府）在。，切上单调递增（或单调递减）可推得工 a,可时，f （x）NO（或/（x）WO）恒成立，求单调区间时，令/（x）0（或/（x）O）,求人x）的最大值时，要比较端点处函数值与 极值的大小.当/（x）的符号不确定时，可对待定系数进行分类讨论.反馈训练/一、选择题1是虚数单位，复数Z=/的虚部是（）A.0C.1B.-1D.2答案B解析2+3i(2+3i)(32i)z=3+2i=(3+2i)(32i)6-9i-4i+613=一。.二z的虚部是一1.2.（2013武汉市实验中学高二期末）若曲线）=）的一条切线/与 直线x+4y8=0垂直，则/的方程为（）A.4xy3=0 B.x+4y5=0C.4x+3=0 D.x+4y+3=0答案A解析由条件知切线/的斜率k=4,设切点为（项），为），则4x1=4,/.x0=L/.y0=L.=/的方程为 一1=4（%1）,即 4%一一3=0,故选A.3.用数学归纳法证明等式1+2+3+（+3）=当叶父（N*）时，验证=1,左边应取的项是（）A.1 B.1+2C.1+2+3 D.1+2+3+4答案D解析 当 n=l 时，左=1+2+(1+3)=1+2+4,故 应选D.4.(2013辽宁实验中学高二期中)三次函数当x=l时有极大值4,当x=3时有极小值0,且函数过原点，则此函数是()A.j=x3+6x2+9x B.j=x3-6x2+9xC.j=x3-6x2 9x D.j=x3+6x2 9x答案B解析由条件设次的二？+加+次，则f|(x)=36zx2+2Z?x+c=3a(x l)(x3)，b=-6a,c=9a,*=ctx-6ax d-9cix,火1)=4,4=1./.=x3-6x2+9x,故选 B.5.在复平面内，点力对应的复数为l+2i,菰=（1,1）,则点5对应的复数的共辗复数为（）A.l+3iB.l-3iC.l+3iD.-13i答案D解析由条件知力（1，2）,又看=（2，1）,JR1，3）,点 5 对应复数z=l+3i,故 z=-1 3i.6.已知函数如的图象在点4（1,火1）处的切线I与直 线3x+2=0平行，若数歹U?的前项和为S，则S2013的值为2012A2013B貂20092010 D20n答案A解析/（x）=2x+b,由/（l）=2+b=3,得 6=1.则加）=/+%.千._=_=1=_n2+n n（n+1）n82013=而+而+3=0 垂直，则=（）A.-2 B.一；C.1 D.2答案A2 解析W=*_)2,V|-3=一，二(一2)()=-,:a=-2.8.根据给出的数塔猜测123456X9+7等于()1X9+2=1112X9+3=111123X9+4=11111234X9+5=1111112345X9+6=111111 A.1111110 B.1111111C.1111112 D.1111113答案B解析可利用归纳推理，由已知可猜测123456X9+7=1111111.9.(2012江西文,5)观察下列事实：忖+卜|=1的不同整数解(x,y)的个数为4 5|x|+y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8,|x|+|y|=3的 不同整数解(x,y)的个数为12,，则因+加=20的不同整数解(x,内的个数为()A.76 B.80C.86D.92答案B解析本题考查了不完全归纳.由已知条件知H+m=的不同 整数解(工四个数为4%所以|x|+|y|=20不同整数解(x,巧的个数为 4X20=80.1+3i10.(2012大纲全国理，1)复数+j=()A.2+i B.2-iC.l+2i D.l-2i答案C解析本小题主要考查了复数四则运算法则，可利用除法运算 4 k、,一l+3i(-1+31)(1一i)2+4i.求斛.因为-I.=/I I-/i=-5=l+2i,所以选 C.十1(1 1)(1-1)/11.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如:1 3 6 10图11 4 9 16图2他们研究过图1中的1,3,6,10,，由于这些数能够表示成三角 形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16,这样的数 为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A.289 B.1024C.1225答案CD.1378解析 图 1 中满足。2。1=2,即=3,，an an-i=n9以上累加得 an。1=2+3+，4=1+2+3+=(+1)-1。2,图2中两足bn=n，一个数若满足三角形数，其必能分解成两个相邻自然数乘积的一半；一个数若满足正方形数，其必为某个自然数的平方.1 1225=35?49X50-2-/.选 C.12.(2012辽宁文，8)函数=%2 im；的单调递减区间为()A.(-1,1 B.(051C.L+8)D.(0,+8)答案B解析本题考查利用导数求函数的单调区间.1 1 Y2 1由 1nx 求导得，y=X-=-(X0),卜 2一 v令得 04W1.lx0.,.函数的单调递减区间为点评解答此类问题需要熟记基本初等函数的求导公式，同时 注意区间的端点.二 填空题13.请阅读下列材料：若两个正实数幻，做满足后+/=1，那 么+诲.证明：构造函数/(x)=(x供了 十仁一42)2=2f2(。1+2)x+l.因为对一切实数X，恒有人、)巳0,所以AWO,从而得4(1+色)2 8W0,所以。1+2或诲.类比上述结论，若个正实数满足肃+谒+缁=1,你能得到的结论为.答案+42 H-乜(加(e N*)解析构造函数 Xx)=(x1)2+(X6Z2)2-(xan)2=nx2 2(6Z1+Z2-ba)x+1,V 0对任意实数%都成立，二 A=4(ai+a2+。)24 W0,a?，都是正数，.al+。2-卜M小麻14.对大于或等于2的自然数加的“次方嘉有如下分解方式：22=1+3532=1+3+5542=1+3+5+7；23=3+533=7+9+11943=13+15+17+19.根据上述分解规律，若2=l+3+5d-H19,根根N*)的分解中最小的数是21,则加+的值为.答案15解析依题意得 2=3=100,.n=10.易知m3=21根-X2,整理得(加一5)(加+4)=0，又加N*,所以m=5,即 53=21+23+25+27+29,所以根+=15.15.对任意非零实数、b,若金的运算原理如图所示，则诲 sinxdx=.o答案坐角翠析s，xdx=cosx6=2,16.（2013天津红桥区高二质检）已知结论“ai，a2eR+,且Cl 2三4：若 41，。2,。3金区+，且。1+。2+。3=1，则！+三9，请 ci a?的猜想若。1，曲，qR+,且al+a2-an=?则工+!-1-ci a?答案n解析结论左端各项分别是和为1的各数船的倒数（i=l，2,），右端=2 时为 4=2?,=3 时为 9=3之，故iR+,ai+a2-+an=时，结论为-F巳/巳？）.三、解答题17.已知非零实数o,b,。构成公差不为0的等差数列，求证：P 1不可能构成等差数列.解析假设:能构成等差数列，贝憎于是得秘 CZ C/CZ vT,L+ab=2ac.而由于a,6,c构成等差数列，即如=a+c.所以由两式得，(a+c)2=4ac,即(a c)2=0,于是得Q=b=c,这与a,6 c构成公差不为。的等差数列矛盾.故假设不成立，因此i(不能构成等差数列.18.已知函数/(x)=(2 4)x21m:,(6/R).(1)若函数於)在、=1处取得极值，求实数a的值；(2)求函数/(x)的单调区间.2解析(1)由题可知/(x)=2 4式0),2 2令/(x)=0 得 2 a=0,x=2_口,又因为函数小)在X=1处取得极值，所以4=0.2(2)若 a=2,ff(x)=0),/(x)=-21nx 的单调递减区间 X为(0,+0)；2若2 一公0,即A2时，/，(x)=2 a在(0,+8)上小于0,JC所以/(X)在(0,+8)上单调递减；2若2a0,即 时2时，当x旌工时/，(x)0,於)单调递增，20 x旌二时，f(x)1),若a是从123三个数中任取的一个数，b是从2、3、4、5四个数中任取 的一个数，求)恒成立的概率.X解析若使人x)b恒成立，只需使qx+=一60在(1,+8)X 1上恒成立.T_ g（x）-ax+r-b，JC 1则 g（x）=aU?a（x一 l）2一 1=d）2 令 g（X）=。，则 a（x1）21=0,解得:尸土*+l,.x（l,乎+1）时，g（x）0.、=乎+1时，函数g(x)取得最小值为 g吊+1)=23-b,.2y/a-a+1 bQ,.当4=1时，b的值可以是2或3,当4=2时，6的值可以是2或3或4,当4=3时，b的值可以是2或3或4或5.使八工)6恒成立的取法共有9种，而数对(a,6)的所有可能取 法共有12种，9 3使加)6恒成立的概率为夕=五=不20.若a、b、c是不全相等的正数，求证：坨.+怆。+ca1g万一lga+Igb+Ige.h y a-b,b-c,c-a,角牛析 要证 1g_万一+lg(+1区万一lga+Igb+Ige,一一、(a-b bc c-a.,只需证1g 二一二一丁厂 lg(44C),a-b bc c-a 只需证一、-,一abc.-a,6,c是不全相等的正数,ac0,且上述三式中的等号不同时成立.a+bb+cc+a 2 2 2 abc.a-b bc c-a*lg-+lg-+lglga+lgZ)+Ige.21.(2012长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学模拟)已知函数/(x)ax+(al)lnx.(1)若a2,讨论函数小)的单调性；(2)已知1=1,8()=贺%)+%3,若数列恁的前n项和为S=g(),证明：H-H,vJ(三2,金N+).a?的 3V 7解析(1)可知於)的定义域为(0,+8).有,a 1%2-6zx+1f(x)=x-+-=-(X-1)%一(6Z 1)X，因为a2,所以a-ll.故当 141一1 时 f(x)-1 时 f(x)0.函数人x)在区间(1,41)上单调递减,在区间(0,1)和(a1,+8)上单调增加.(2)由 a=l g(x)=x3+x2 2x,所以 S=3+2 2n.可得an3/一一2,(三2),0,(=1).an=3n2n 2(三 2).11所以(心 2).an(3+2)(一1)11 1 1 1因为(3+2)(-1)3(一 1/所以 2+5+g_g+/_3w(i7二厂五0,即+i0,2 an a0,01,故数列即中的任何一项都小于1.(2)解法1：由知01=1,那么。21；=1一由此猜想：a.下面用数学归纳法证明：当三2,金N*时猜想正确.当n=2时，显然成立；假设当=左(后三2,左N*)时，有四成立.2)01 1 kk-1 _ 1上21 左+1二当n=k+时，猜想也正确.综上所述，对于一切WN*,都有斯：解法2：由得a+i,得。4左+1W。左一(2k=。左(1 a。,01恁+i ak ak 令后=1,2,3,，n1得: