2019年湖南省常德市中考数学试题.pdf

2019年湖南省常德市中考数学试卷一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1.（3分）点（-1,2）关于原点的对称点坐标是（）2.3.4.A.（-1,-2）B.（1,-2）C.（1,2）D.（2,-1）（3分）下列各数中比3大比4小的无理数是（）A.V10 B.V17 C.3.1 D.M3（3分）下列运算正确的是（）A.V3+V4=Vr B.V12=3V2 c.J（_2）2=2 d.强=与（3分）某公司全体职工的月工资如下：月工资（元）18000120008000600040002500200015001200人数1（总经理）2（副总经理）34102022126该公司月工资数据的众数为2000,中位数为2250,平均数为3115,极差为16800,公司的普通员工最关注的数据是（）A.中位数和众数B.平均数和众数C.平均数和中位数D.平均数和极差5.（3分）如图是由4个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的左视图是（）A._ B.6.（3分）小明网购了一本好玩的数学，说：“至少15元.”乙说：至多12元.同学们想知道书的价格，小明让他们猜.甲“丙说：”至多10元.”小明说：“你们三个人都说错了”.则这本书的价格x（元）所在的范围为（）A.10 x12 B.12x15 C.10 x15 D.11%4,3V104,选项中比3大比4小的无理数只有，记.故选:A.【点评】此题主要考查了无理数的定义，解题时注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数.3.（3分）下列运算正确的是（）A.V3+V4=Vt B.712=372 C.1J）2=-？D.坐=等【考点】79：二次根式的混合运算.【分析】根据二次根式的加减法对/进行判断；根据二次根式的性质对3、。进行判断；根据分母有理化和二次根式的性质对。进行判断.第7页（共36页）【解答】解：/、原式=扬2,所以/选项错误；B、原式=2返，所以3选项错误；C、原式=2,所以。选项错误；D、原式=邛 乂迎=叵,所以。选项正确.V6XV6 3故选：D.【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行 二次根式的乘除运算，再合并即可.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵 活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.4.（3分）某公司全体职工的月工资如下:月工资（元）18000120008000600040002500200015001200人数1（总经理）2（副总经理）34102022126该公司月工资数据的众数为2000,中位数为2250,平均数为3115,极差为16800,公司的普通员工最关注的数据是（）A.中位数和众数 B.平均数和众数C.平均数和中位数 D.平均数和极差【考点】WA：统计量的选择.【分析】根据中位数、众数、平均数及极差的意义分别判断后即可得到正确的选项.【解答】解：:数据的极差为16800,较大，平均数不能反映数据的集中趋势，普通员工最关注的数据是中位数及众数，故选：A.【点评】本题考查了统计量的选择的知识，解题的关键是了解有关统计量的意义，难度 不大.5.（3分）如图是由4个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的左视图是（）第8页（共36页）Hzn【考点】U2：简单组合体的三视图.【分析】根据左视图即从物体的左面观察得得到的视图，进而得出答案.【解答】解：如图所示，该几何体的左视图是：故选：C.【点评】此题主要考查了几何体的三视图；掌握左视图是从几何体左面看得到的平面图 形是解决本题的关键.6.（3分）小明网购了一本好玩的数学，同学们想知道书的价格，小明让他们猜.甲 说：“至少15元.”乙说：“至多12元.”丙说：“至多10元.”小明说：“你们 三个人都说错了”.则这本书的价格x（元）所在的范围为（）A.10 x12 B.12x15 C.10 x15 D.11%14【考点】CE：一元一次不等式组的应用.【分析】根据题意得出不等式组解答即可.12,x10可得：12Vx15,.e.12x,.SAAFH（FH）2=（3_）2=9AADE DE 4 16设 Saafh=9x,则 16x,.e.16x-9x=7,解得x=l,石=16，四边形的面积=42-16=26.【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似.也考查 了相似三角形的性质.8.（3 分）观察下列等式：7=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,根据其中的规律可得7。+7+72+72。19的结果的个位数字是（）A.0 B.1 C.7 D.8【考点】1Q：尾数特征；37：规律型：数字的变化类.【分析】首先得出尾数变化规律，进而得出70+7+72+72。19的结果的个位数字.【解答】解：V7=l,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,个位数4个数一循环，J（2019+1）4-4=505,1+7+9+3=20,A70+7l+72+.+72019的结果的个位数字是：0.故选：A.【点评】此题主要考查了尾数特征，正确得出尾数变化规律是解题关键.第10页（共36页）二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9.（3分）数轴上表示-3的点到原点的距离是一 3.【考点】13：数轴.【分析】表示-3的点与原点的距离是-3的绝对值.【解答】解：在数轴上表示-3的点与原点的距离是|-3|=3.故答案为：3.【点评】本题考查了实数与数轴，熟记数轴的特点以及绝对值的几何意义是解题的关 键.10.（3分）不等式3x+l 2（x+4）的解为 x7.【考点】C6：解一元一次不等式.【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可 得.【解答】解:3x+l 2（x+4）,3x+l 2x+8,x7.故答案为：x7.【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是 关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变.11.（3分）从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识抢答赛，经过两轮初赛，他们的平 均成绩都是89.7,方差分别是S甲2=2.83,S乙2=1.71,S丙2=3.52,你认为适合参加 决赛的选手是乙.【考点】W7：方差.【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解.【解答】解：.8甲2=2.83,S乙2=1.71,S丙2=3.52,而 1.712.83/FF 2.【点评】本题主要考查了解一元二次方程的解法.要会熟练运用公式法求得一元二次方程的解.此法适用于任何一元二次方程.四、(本大题2个小题，每小题6分，满分12分)19.(6分)先化简，再选一个合适的数代入求值:9x-1 _ x-3)(2x rx+12,2 1 2X+x X-1 X-X1).【考点】6D：分式的化简求值.【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后选取一个使得原分式有意 义的值代入化简后的式子即可解答本题.【解答】解:9xT _ x_3)(2x+x+l _)2.2 1 2X+x X-1 X-X=r X-1 X 3 _2_Zx+x+l-J+Xx(x+l)(x+1)(x-1)x(x-l)=(xT)(与-1)-(x-3).x(xT)x(x+l)(x-l)2+2x+1=J-2x+l-x：+3x.1x+1 x+l)2=x+1.1x+1(x+1)2二1(x+1)2当x=2时，原式=-=.(2+1)2 9【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.第15页(共36页)20.（6分）如图，一次函数=-尤+3的图象与反比例函数=k（后W0）在第一象限的x图象交于/（1，。）和3两点，与X轴交于点C（1）求反比例函数的解析式；（2）若点尸在x轴上，且4PC的面积为5,求点尸的坐标.【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题.【分析】（1）利用点/在=-x+3上求Q,进而代入反比例函数=工（后W0）求左X即可；（2）设尸（x,0）,求得。点的坐标，则尸。=|3-%|,然后根据三角形面积公式列出方程，解方程即可.【解答】解：（1）把点/（1,4）代入=-%+3,得4=2,：.A（1,2）把/（1,2）代入反比例函数y=K,后=1X2=2；反比例函数的表达式为=2；X（2）,一次函数y=-x+3的图象与x轴交于点C,：.C（3,0）,设尸（x,0）,：.PC=3-x,Ssc=；|3-x|X2=5,，x=-2 或 x=8,0的坐标为（-2,0）或（8,0）.【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数 的解析式等知识点，能用待定系数法求出反比例函数的解析式是解此题的关键.第16页（共36页）五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21.（7分）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为元，选择这两种卡消费时，与工的函数关系如图所示，解答下列问题（1）分别求出选择这两种卡消费时，关于x的函数表达式；（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算.【分析】（1）运用待定系数法，即可求出与x之间的函数表达式；（2）解方程或不等式即可解决问题，分三种情形回答即可.【解答】解：（1）设甲=左6，根据题意得5A=100,解得后=20,甲=20 x；设乙=任什1。0，根据题意得：20+100=300,解得左2=10，寸乙=10 x+100;（2）甲乙，即20 xV10 x+100,解得xV10,当入园次数小于10次时，选择甲消 费卡比较合算；歹甲=乙，即20 x=10 x+100,解得x=10,当入园次数等于10次时，选择两种消费 卡费用一样；甲乙，即20 x10 x+100,解得x10,当入园次数大于10次时，选择乙消费卡 比较合算.【点评】此题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的解得坐 标，正确由图象得出正确信息是解题关键，属于中考常考题型.22.（7分）如图，与Z5C的ZC边相切于点C,与AB、3C边分别交于点。、E,DE/OA,是的直径.（1）求证：45是的切线；（2）若 BD=4,EC=6,求 ZC 的长.第17页（共36页）【考点】ME：切线的判定与性质.【分析】（1）连接 8、CD,根据圆周角定理得出NQC=90,根据平行线的性质 得出。4，。，根据垂径定理得出。4垂直平分，根据垂直平分线的性质得出8=OC=OE,然后根据等腰三角形的三线合一的性质得出进而证得 AODAAOC（SAS）,得到N4DO=N/CH=90,即可证得结论；（2）根据切割线定理求得得到3C,然后根据切线长定理和勾股定理列出关于歹 的方程，解方程即可.【解答】（1）证明：连接OD、CD,C是。的直径，ZEDC=90,*：DE/OA,：OA工CD,二CM垂直平分。，：.OD=OC,：.OD=OE,：.ZOED=ZODE,:DE/OA,：.ZODE=ZAOD,/DEO=NAOC,：.NAOD=NAOC,/C是切线，ZACB=90,在ZOD和ZOC中第18页（共36页）OD=OC ZAOD=ZAOCloa=oaAAODAAOC CSAS),ZADO=ZACB=90,OD是半径，/3是OO的切线；(2)解：3。是0O切线，:BD2=BEBC,设 BE=x,.BQ=4,EC=6,42=x(x+6),解得x=2或x=-8(舍去)，:BE=2,:BC=BE+EC=8,：AD、ZC是。的切线，；AD=AC,设 4D=/C=y,在 RtZUHC 中，AB2=AC1+BC1,(4+y)2=j2+82,解得y=6,：.AC=6,故ZC的长为6.【点评】本题考查了切线的判定和性质，平行线的性质，垂径定理，切线长定理，切割 线定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.第19页（共36页）六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23.（8分）为了扎实推进精准扶贫工作，某地出台了民生兜底、医保脱贫、教育救助、产业扶持、养老托管和易地搬迁这六种帮扶措施，每户贫困户都享受了2到5种帮扶措 施，现把享受了 2种、3种、4种和5种帮扶措施的贫困户分别称为4 B、C、。类贫 困户.为检查帮扶措施是否落实，随机抽取了若干贫困户进行调查，现将收集的数据绘 制成下面两幅不完整的统计图：请根据图中信息回答下面的问题：（1）本次抽样调查了多少户贫困户？（2）抽查了多少户。类贫困户？并补全统计图；（3）若该地共有13000户贫困户，请估计至少得到4项帮扶措施的大约有多少户？（4）为更好地做好精准扶贫工作，现准备从。类贫困户中的甲、乙、丙、丁四户中随 机选取两户进行重点帮扶，请用树状图或列表法求出恰好选中甲和丁的概率.【考点】V2：全面调查与抽样调查；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条 形统计图；X6：列表法与树状图法.【分析】（1）由/类别户数及其对应百分比可得答案；（2）总数量乘以。对应百分比可得；（3）利用样本估计总体思想求解可得；（4）画树状图或列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可.【解答】解：（1）本次抽样调查的总户数为260 52%=500（户）；（2）抽查。类贫困户为500X24%=120（户），补全图形如下：第20页（共36页）图1图2(3)估计至少得到4项帮扶措施的大约有13000X(24%+16%)=5200(户)；(4)画树状图如下:甲乙丁 甲乙丙由树状图知共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丁的有2种结果，所以恰好选中甲和丁的概率为2=工.12 6【点评】本题考查了扇形统计图，条形统计图，树状图等知识点，能正确画出条形统计 图和树状图是解此题的关键.24.(8分)图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点/处，手柄长/8=25加，45与墙壁DD的夹角N。AB=37,喷出的水流8C与43 形成的夹角N/5C=72,现在住户要求：当人站在处淋浴时，水流正好喷洒在人体 的。处，且使。=50cm,C=130c加.问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位 置？(参考数据：sin37-0.60,c os37-0.80,tan37-0.75,sin72 0.95,c os72 一 0.31,tan72 3.08,sin35 0.57,c os35 0.82,tan35 0.70).第21页(共36页)【考点】T8：解直角三角形的应用.【分析】过5作3G_L。于点G,延长C、GB交于点尸，根据锐角三角函数的定义即可求出答案.【解答】解：过点3作。于点G,延长C、GB交于点尸,:43=25,DE=53.sin37=c os37=空,AB ABGB25X0.60=15,G/25X0.80=20,：.BF=50-15=35,V ZABC=72，ZD/AB=37，：.ZGBA=53，：.ZCBF=55，：.ZBCF=35，V tan35CFACF-35=50,0.70=50+130=180,：.GD=FE=1SO,4D=180-20=160,安装师傅应将支架固定在离地面160c m的位置.第22页（共36页）【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属 于中等题型.七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25.（10分）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为/（1,4）,与坐标轴交于3、C、。三点，且3点的坐标为（-1,0）.（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N,且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形NHG为矩形时，求该矩形周长 的最大值；（3）当矩形的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点尸，使尸NC的面 积是矩形面积的且？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由.【分析】（1）二次函数表达式为：（%-1）2+4,将点3的坐标代入上式，即可求 解；（2）矩形 tWWG 的周长 C=27W+2GM=2（2%-2）+2（-%2+2x+3）=-2x2+8x+2,即可求解；（3）SPNC=1-XPKXCD=1-XPHX sin45 义36，解得：PH=HG,即8 2 2 4第23页（共36页）可求解.【解答】解：(1)二次函数表达式为：=(X-1)2+4,将点3的坐标代入上式得：0=4q+4,解得:4=-1,故函数表达式为：=-/+21+3；(2)设点 M 的坐标为(x,-x2+2x+3),则点 N(2-x,-x2+2x+3),贝l j MN=x-2+x=2x-2,GM=-/+2x+3,矩形 tWWG 的周长 C=2MN+2GM=2(2%-2)+2(-x2+2x+3)=-2x2+8x+2,V-20,故当x=-L=2,。有最大值，最大值为10,此时x=2,点N(0,3)与点。重合;(3)尸NC的面积是矩形NHG面积的-L,16贝U sAPNC=xmnx GM=-Lx 2X3=L,16 16 8连接。C,在CD得上下方等距离处作CD的平行线加、n,过点尸作y轴的平行线交C。、直线于点H、G,即尸H=GH,过点P作PKS于点K,7：将C(3,0)、D(0,3)坐标代入一次函数表达式并解得:直线CD的表达式为：=-x+3,OC=OD,：.ZOCD=ZODC=45=ZPHK,CD=3,设点尸(x,-x2+2x+3),则点 H(x,-x+3),XCD=LxPHX sin45 X3&，一 8 2 2解得：PH=*=HG,4贝l j PH=-x2+2x+3+x-3=3,4解得：X=f第24页(共36页)故点尸（上，匹），2 4直线n的表达式为：=-%+3-=-x+?，4 4联立并解得：一=33近,2即点P、P的坐标分别为（3+3页,-3-672）、（经返，-3+6迎）.，二 _ 斗 _ 2 _ 4 _故点尸坐标为：（三，生）或（丝返，36V2）或（三亚2,-3+6V2）.2 4 2 4 2 4【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要 会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长 度，从而求出线段之间的关系.26.（10分）在等腰三角形Z8C中，AB=AC,作交ZB于点BNLAC交/C于点N.（1）在图1中，求证：BMCgCW；（2）在图2中的线段上取一动点尸，过尸作尸/8交CM于点,作尸尸/C交3N于点尸，求证：PE+PF=BM；（3）在图3中动点尸在线段CH的延长线上，类似（2）过尸作尸/3交CM的延长 线于点,作尸尸/。交的延长线于点尸，求证：PF+OMBN=AMPE【考点】SO：相似形综合题.【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到N/BC=N/C利用44s定理证明；（2）根据全等三角形的性质得到3M=NC,证明尸sac、4BFPs丛BNC,根据相似三角形的性质列出比例式，证明结论；（3）根据BMCgaCW,得到MC=RV,证明得到幽=里,根MC MB据比例的性质证明即可.第25页（共36页）【解答】证明：(1)：AB=AC,：.NABC=NACB,V CM LAB,BNAC,：.ZBMC=ZCNB=90,在和CNS中，rZMBC=ZNCB*BM CB?:PF AC,：.BFPsBNC,BP-BC-+F PF-NCPE一BM空+此=1CB CB:.PE+PF=BM；(3)同(2)的方法得到，PE-PF=BM,BMgACNB,:MC=BN,V ZANB=90,A ZMAC+ZABN90,：/OMB=90,：.ZMOB+ZABN=90,:NMAC=NMOB,又NAMC=NOMB=90,丛 AMCsOMB,AM=pM.而 MB，第26页(共36页):AMMB=OM,MC,：.AMX（PE-PF）=OMBN,:.AM PF+OM BN=AM PE.【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角 形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.初中数学重要公式1、几何计数：当一条直线上有个点时，在这条直线上存在 条线段.平面内有个点，过两点确定一条直线，在这个平面内最多存在 条直线.如果平面内有条直线，最多存在 个交点.如果平面内有条直线，最多可以将平面分成 部分.（5）、有公共端点的条射线（两条射线的最大夹角小于平角），则存在 个角.2、AB/CD,分别探讨下面四个图形中/力吹与N为反N/O的关系。3、全等三角形的判定方法：a.三条边对应相等的两个三角形全等（简记为）.b.两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简记为）.c.两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简记为）.d.两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简记为）.e.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简记为）.4、坐标系中的位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，位似 比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于.5、边形的内角和等于;多边形的外角和都等于.6、在四边形的四个内角中，最多能有3个钝角，最多能有3个锐角.如果一个多边形的边数增加1,那么这个多边形的内角和增加 180度.4.边形有 条对角线.5、用、完全相同的一种或几种 进行拼接，彼此之间不留空隙，第27页（共36页）不重叠的铺成一片，就是平面图形的.注意要实现平面图形的镶嵌，必须保证每个拼接点处的角恰好能拼成。.总结平面图形的镶嵌的常见形式用同一种正多边形可以镶嵌的只有三种情况：个正三角形或 个正四边形或 个正六边形.用两种正多边形镶嵌用正三角形和正四边形镶嵌：个正三角形和 个正四边形；用正三角形和正六边形镶嵌：用 个正三角形和 个正六边形或者用个正三角形和 个正六边形；用正四边形和正八边形镶嵌：用 个正四边形和 个正八边形可以镶嵌.用三种不同的正多边形镶嵌用正三角形、正四边形和正六边形进行镶嵌，设用m块正三角形、块正方形、k块正六 边形，则有60m+90+120k=360,整理得,因为m、k为整数,所以,n=,k=,即用 块正方形，块正三角形和 块正六边形可以镶嵌.6、梯形常用辅助线做法：7、如图：Rt/WBC 中,则有:(1)、ZACD=ZB（2）由 Rt AZIBC s 由 Rt AZIBC s 由 Rt AZICD sZACB=90,CD LAB T D,ZDCB=ZARt AZICD 得到AC?=AD-AB Rt A CBD 得至UBC?=BD-AB Rt A CBD 得至iJCD?=AD,BD(3)、由等积法得至UABXQ);ACXBC8、若将半圆换成正三角形、正方形或任意的相似形,9、在解直角三角形时常用词语:第28页(共36页)L仰角和俯角在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做，视线在水平线下方的叫 做.2.坡度和坡角通常把坡面的铅直高度h和水平宽度I之比叫,用字母i表示，即1=,把坡面与水平面的夹角叫做，记作Q,于是i=tan a,显然，坡度越 大，a角越大，坡面就越陡.30s456010.正多边形的有关计Sin a2V2 FV3 V算边长：an=180 2Rn sinn 周长：Pn=n an 边心距：r=Cos aV3 TV22tan aV31V3180=Rn c os 面n积：Sn=-an-rn-n内角：口一2口 X 180Cot aV31出 T-360-j 360外角：中心角：nnn11、特殊锐角三角函数值12、某些数列前n项之和l+2+3+4+5+6+7+8+9+.+n=n(n+l)/2l+3+5+7+9+l l+13+15+.+(2n-l)=n2第29页(共36页)2+4+6+8+10+12+14+.+(2n)=n(n+l)13、平行线段成比例定理(1)平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比 例。如图：a/b/c,直线力与分别与直线o、b、c相交与点小B、C和。、E、DE AB DE BC EF贝lj有二，二，二 OBC EF AC DF AC DF(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的 对应线段成比例。如图：ZVIBC中，DE/BC,DE与AB、AC相交与 点。、E,则,AD AE AD AE DE DB EC =-=-=-=-DB EC AB AC BC AB AC14、极差、方差与标准差计算公式：极差：用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的 差称为极差，即：极差二最大值-最小值；方差：数据修、x2,%的方差为 则x XY+L+L火U 3 一 一 X X 十%2 一 1 十.十 Xn X代)标准差：数据修、x2.,X的标准差S,则S1 n一组数据的方差越大，这组数据的波动越大。15、求抛物线的顶点、对称轴的方法公式法:2 7(b Y 4ac-b2y=ax+bx+c=a x H-H-I 2q J 4q顶点是b 4ac-b22a 4a),对称轴是直线x=-2。2a配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a(x-ay+后的形 式，得到顶点为(心左)，对称轴是直线x=第30页(共36页)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与 抛物线的交点是顶点。若已知抛物线上两点(再/)、(,y)(及y值相同)，则对称轴方程可以表示为：、=五邃216、直线与抛物线的交点)轴与抛物线y=ax1+bx+c得交点为。c)。抛物线与x轴的交点。二次函数歹=ax2+Zzx+c的图像与X轴的两个交点的横坐标修、x2,是对应 一元二次方程ax2+bx+c=O的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次 方程的根的判别式判定：a有两个交点u(A 0)。抛物线与x轴相交；b有一个交点(顶点在x轴上)o(A=0)o抛物线与x轴相切；c没有交点o(A 抛物线与X轴相离。平行于X轴的直线与抛物线的交点同一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k,则横坐标是办之+bx+c=k的两个实数根。一次函数y=kx+n(k w 0)的图像/与二次函数y=ax2+6x+c(q w 0)的图U KX+Yl像G的交声，由方程组 2 的解的数目来确定：J y=ax+fc r+ca方程组看两组不同的解时o/与G有两个交点；b方程组只有一组解时o/与G只有一个交点；c方程组无解时o/与G没有交点。抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y=ax2+bx+c与x轴两交点 为5(x2,0),则 AB=xr-x2第31页(共36页)图形的定义、性质、判定一、角平分线性质：角的平分线上的点到角两边的 相等.判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在 上.二、线段垂直平分线L性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离.2.判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 上.点拨线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点距离相等的所有点的集合.三、等腰三角形定义、性质：L定义：有两 相等的三角形是等腰三角形.2.性质：等腰三角形两个腰.等腰三角形的两个底角（简写成等边对等角）.等腰三角形的顶角，底边上的，底边上的 互相重合.等腰三角形是轴对称图形，有 条对称轴.注意（1）等腰三角形两腰上的高相等.等腰三角形两腰上的中线相等.等腰三角形两底角的平分线相等.等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半.等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行.第32页（共36页）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高.判定：1.定义法.2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写为“等角对等边”).注意(1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形.一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.一边上的中线与三角形中这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.四、等边三角形1.等边三角形的性质等边三角形的三条边都相等.等边三角形的三个内角都相等并且每一个角都等于60.等边三角形是轴对称图形，并且有 条对称轴.注意等边三角形具有等腰三角形的所有性质.2.等边三角形的判定三条边相等的三角形叫做等边三角形.三个角相等的三角形是等边三角形.有一个角等于60的 三角形是等边三角形五、直角三角形1.定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形.2.直角三角形的性质直角三角形的两个锐角.直角三角形的斜边上的中线等于斜边的.在直角三角形中，30的角所对的边等于斜边的.(4)在直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30 度。(5)、勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为。、b,斜边长为c,那么 a2+b23.直角三角形的判定(1)、判定：如果一个三角形中有两个角互余，那么这个三角形是 三角形.(2)、如果三角形的三边长分别为。、b、C,满足小+按=。?，那么这个三角形是 三角形.(3)、如果一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。(4)、直径所对的圆周角是90度。(5)、如果一个三角形的外心在三角形的一条边上，那么这个三角形是直角三角形。(6)、圆的切线垂直于过切点的半径。六、相似三角形1.相似三角形的对应角,对应边的比.相似多边形对应角相等，对应边 的比.第33页(共36页)相似多边形周长的比等于.相似多边形面积的比等于 的平方.2.相似三角形的周长比等于.3.相似三角形的面积比等于相似比的.注意相似三角形的对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比.判定定理：1.如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.2.如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.3.如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相 似.注意直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形都相似.七、位似图形1.定义：两个多边形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样 的两个图形叫做位似图形，这个点叫做.注意位似图形是相似图形的一个特例，位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位 似图形.2.位似图形的性质位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于.对应线段互相.3.坐标系中的位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，位似 比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于.八、平行四边形1.定义：两组对边分别 的四边形是平行四边形；2.平行四边形的性质平行四边形的两组对边分别;平行四边形的两组对边分别;平行四边形的两组对角分别;平行四边形的对角线互相.总结平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点.判定：1.定义法.2.两组对角分别 的四边形是平行四边形.3.两组对边分别 的四边形是平行四边形.4.对角线 的四边形是平行四边形.5.一组对边平行且_的四边形是平行四边形.九、矩形1.矩形的定义有一个角是直角的 是矩形.2.矩形的性质矩形对边;（2）矩形四个角都是 角（或矩形四个角都相等）；矩形对角线、.第34页（共36页）总结(1)矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形；3.矩形的判定定义法；有三个角是直角的 是矩形；对角线相等的 是矩形.十、菱形1.菱形的定义一组邻边相等的 是菱形.2.菱形的性质菱形的四条边都;(2)菱形的对角线互相,互相,并且每一条对角线平分一组对角；菱形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点;菱形也是轴对称图形，两条 对角线所在的直线是它的对称轴.注意菱形的面积：由于菱形是平行四边形，所以菱形的面积=底 高；(2)因为菱形的对角线互相垂直平分，所以其对角线将菱形分成4个全等三角形，故菱形的 面积等于两对角线乘积的.3.菱形的判定定义法；对角线互相垂直的 是菱形；四条边都相等的 是菱形.H一、正方形1.正方形的定义有一组邻边相等的 是正方形.2.正方形的性质正方形对边平行；(2)正方形四边相等；正方形四个角都是直角；正方形对角线相等，互相，每条对角线平分一组对角；正方形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴有四条，对称中心是对角线的交点.3.正方形的判定定义法；有一个角是直角的 是正方形.注意矩形、菱形、正方形都是平行四边形，且是特殊的平行四边形.矩形是有一内角为 直角的平行四边形；菱形是有一组邻边相等的平行四边形；正方形既是有一组邻边相等的 矩形，又是有一内角为直角的菱形.十二、中点四边形1.定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形，我们称之为中点四边形.2.常用结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形；第35页(共36页)对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形；对角线相等且互相垂直的四边形的中点四边形是正方形.十三、等腰梯形1.等腰梯形在同一底上的两个角.2.等腰梯形的两条对角线.总结（1）等腰梯形两腰相等、两底平行；等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴.判定：1.定义法；2.同一底上的两个角 的梯形是等腰梯形.注意等腰梯形的判定方法：（1）先判定它是梯形；（2）再用“两腰相等”或“同一底上的两 个角相等”来判定它是等腰梯形.十四、三角形外心和内心（1）三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心.三角形的内心就是三内角角平 分线的交点。（2）三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心.三角形的外心就 是三边中垂线的交点.常见结论：Rt ABC的三条边分别为：b、c（c为斜边），则它的内切圆 的半径:a+b c；2ABC的周长为/,面积为S,其内切圆的半径为r,则一3r（3）、内心到三角形三边距离相等。（4）、外心到三角形三个定点的距离相等。（5）、锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形的外部,直角三角形的外心在斜边的中点处。第36页（共36页）